中考数学压轴题专项汇编专题中点模型

1、专题19中点模型9 / 9破解策略1 .倍长中线在AB. M为BC边的中点.图1图2(1)如图1,连结AM并延长至点F,使得 ME= AM 连结CE则4AB阵 ECM(2)如图2,点D在AB边上，连结 D所延长至点 E.使得M已DM连结CE,则 BDMceim遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字.形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法.2 .构造中位线在ABC3. D为AB边的中点,图1图2(1)如图1,取AC边的中点E,连结DE则DEI BC且DF= 1 BC. 21 (2)如图2.延长BC至点F,使得CF= BC.连结CD

2、 AF.则DC/ AF,且DC= 1 AE.2三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来.常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线，3 .等腰三角形“三线合一”如图，在 ABC中，若AB= AC.通常取底边 BC的中点D.则ADLBC且AD平分/ BAD.事实上，在 ABB： AB= AC ADF分/ BAC BD= CD ADL BC.对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”.4.直角三角形斜边中线如图，在 ABC!, / ABC= 90,取 AC的中点 D,连结 BD 则有 BD= AD= CD= -1 AC

3、2反过来，在 ABC43,点D在AC边上，若BD= AD= CD= 1 AC则有/ ABC= 902例题讲解例1如图，在四边形 ABC珅，E、F分别是AB CD的中点，过点 E作AB的垂线，过点 F 作CD的垂线，两垂线交于点 G,连结AG BG CG且/ AGD= / BGC若AD BC所在直线互相垂直，求AD的值EF解 由题意可得 AG序口 DGC1共顶点等顶角的两个等腰三角形，所以 AG窿 BGC AG9 EGF方法一：如图1,连结CE并延长到H,使EHh EC连EH AH则AH/ BC AH= BC 而 AD= BC ADI BC所以AD= AH ADL AH连结DH则 ADH等腰直角

4、三角形，又因为E F分别为CH CD的中点，所以ADEF4 2DH 2方法二：如图2,连结BD并取中点H,连结EH, FH则E%AQ且EH/ AD FH=二BC 22而AD= BC ADL BC所以 EHF为等腰直角三角形，所以 AD = 2EH 2EF EF例2 如图，在 ABC中，BC= 22, BDLAC于点D CEL AB于E, F、G分别是BC DE的中点，若ED= 10,求FG的长.解：连结 ER DF,由题意可得 ER DF分别为RR BEC RR BDCM边的中线，所以 DF= EF1BC= 11,而 G为 DE的中点，所以 DG= EG= 5, FGL DE 所以 RTAFG

5、计，FG= JdF 2 DG2 2=46例3 已知：在 RTAAC街口 RTA AEF中，/ ACB= / AE已90,若P是BF的中点，连结 PCPE(1)如图1,若点E、F分别落在边AB AC上，请直接写出此时 PC与PE的数量关系.(2)如图2,把图1中的4AEF绕着点A顺时针旋转，当点 E落在边CA的延长线上时，上 述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.(3)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不 成立，请说明理由.解(1)易得PC= PE= - BF,即PC与PE相等.2(2)结论成立.理由如下：如图4,延长C汽 EF的延长线

6、于点 D,则BC/ FD易证 BP挈 FPD所以PC= PD而/CED= 90,所以 PE= 1CD= PC2D(3)结论仍成立，理由如下：如图5,过点F作FD/ BC交CP的延长线于点 D,易得PD= PC FD= BC所以AE EF EFAC BC FD而/ AFE= / PBC= / PFD 所以/ EAC= 1802/AFE= / EFD如图，连结 CE ED 则4 EACEFD 所以/ AEC= / FED / CED= / AEF= 90,所以 PE= 1 CD= PC2例 4 已知： ABC等腰三角形，/ BAG= 900, DELCE DE= CE= 1AC 连结 AE M是

7、AE 2的中点(1)如图1,若D在aABC勺内部，连结 BD N是BD的中点，连结 MN NE求证：MNLAE(2)如图2,将图1中的。口或点C逆时针旋车专,使/ BCD= 30,连结BD N是BD的中点，连结MN求MNAC解：（1）如图3,延长ENS点F,使得NE NE连结FB易证 DE隼 BFN从而可得BF II DE BF= DE延长FB, CE交于点G,则/ G= 90,从而A、B、G C四点共圆所以/ ABF= / ACE 连结 AF,所以 ABB ACE （SAS,所以 AF= AE AFL AE,而 MN/ AF所以 MN= 1AE, MN_ AE2(2)如图4,同(1)可得，M

8、Nk 1AE MN_ AE由题意可得 AO 2CE彳EHL AC于H,则 2ZECH= 600,所以 CHh 1EC= 1AC EH=虫 AC,从而 AE= J AH 2 EH 2 7 AC ,所以 2442MN 7AC 4进阶训练I.如图， AB建口ACEtB是直角三角形，其中/ ABD=/ACE= 90 ,且点 C在AB上，连结DE M为DE的中点，连结 BMI CMI求证：BMk CM【答案】略【提示】延长 CM D皎于点F,则/ CBF= 90 , CMEA FMD 从而BM= - CF= CM2AE2.我们把两条中线互相垂直的三角形称为中垂三角形” .如图 1, AF, BE是 AB

9、C的中 线，且AF BE于点P,像 ABC这样的三角形均.称为中垂三角形，设 BC= a, AC= b, AB= c.(1)猜想a 2, b2, c2三者之间的关系，并加以证明；(2)如图2,在平行四边形 ABC前，E, F, G分别是 AD BC CD上的中点.BEL EGAD= 2 75 , AB= 3.求 AF的长.【答案】（1） a2 + b2 =5c2,证明略；（2） AF= 4. r PE PF EF 1,【提布】（1）如图，连结EF,由中位线定理可得 =.在RtAAPEBPB PA BA 2RtAAPEB口 RtBPF中，利用勾股定理即可得到a 2 + b2 =5c2;（2）如图

10、，取 AB的中点H,连结FH, AG由中位线定理可得 FH/ AC/ EG从而FH ，BE,易证 AP降AFPB5所以AP= FP,所以 ABF是“中垂三角形”从而利用（1）中结 论求得AF的长.ADE3.巳知： ABC和4ADE是等腰直角三角形，/ACB= / AD号90 , F为BE的中点.连结DF CF.图3（1）如图，当点D在AB上，点E在AC上时，请直接写出此时线段 DF, CF的数量关系 和位置关系（不用证明）；（2）如图2.在（1）的条件下将 AD或点A顺时针旋转45 .请你判断此时（1） 中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3 .在（1）的条件下将 ADE点A顺时针

11、旋转角 风,请你判断此时（1） 中的结论是否仍然成立，井证明你的判断.【答案】（1） DE CF, DCF; （2）成立；（3）成立.【提示】（2）延长DF交BC于点G则 DEg GBF从而得DF= GF CD= CG即得证.(3)延长CF至点G,使得FG= CF,连结EG则GE= C比CA GEL AC可彳导/ CAD= ZGE).连结 DG CD 从而 ADC2 EDG(SAS ,即得证.4一巳知：P是平一行四边形ABCD寸角线AC所在直线上的一个动点（不与点 A C重合）.分 别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为 E, F, O为AC的中点，如图1.将直线BP绕点 B逆时针旋转，当/ OF