选修1第一讲椭圆中知识点总结--附带涉及到的公式推导过程

1、椭圆:1、（第19 定义：|PE| g 2a IF1F2 ；平面内与两个定点FF?的距离的和等于常数（大于的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意:1平面内一这是大前提2动点M与两个定点Fi和F2的距离的和是常数3常数要大于焦距|叫1 +【加61=松 当IM耳l + IMBIXFiFJ时，动点的轨迹为椭M2）当fMFl十IMEHFRI时，动点的轨迹为线段?/工Mf2 当1乂耳| + 1响|<|耳耳I时,动点的轨迹为不存在2、椭圆标准方程及离心率:焦点在x轴上的椭圆标准方程为:22£ 3 1(a b 0)a：长半轴；椭圆中a,短半轴;c的关系

2、:c：半焦距.椭圆的离心率e a （0，1）.设点设政局必是椭圆上任意一, I椭圆的焦距2g0）, M线段的垂直平分线为y列式解：取过焦点弓的直线为*轴, 轴，建立平面直角坐标系（如图）.与片和G的距离的和等于正 常数2司（2a>2c）,则尸 1、后的 坐标分别是（GO）.由椭圆的定义得：I MF, I -hMF2 1= 2a 根据两点间距离公式I MF1 1=. + y' J MF21= (xc)3 4-y1得方程+、（工一）2 +=2aX 移项 yl(x + c)2 + y2 = 2a-yl(x-c)2 + y2平(x + c)2 + y? =4a2 -4«-J(x

3、-c)2 + y2 +(x-c)2 + y2整理得a2 ex = a J(x c)? + y2两边再平方，得a4 - 2a2cx+c2x2 =a2x2 2a2cx+a2c2 +a2y2整理得(a2-C2)X2 +a2y2 =a2(a2_c2)两边除以CT CT 2)得?=1-长轴长：2a 短轴长：2b， 焦距：2c“关于两坐标轴对称”。国识应用.1例1写出适合下列条件的椭圆标淮方程(1) a=4, b=1,焦点在x轴上；+ y2 = 11 GO2(2) a=4, c=3r焦点在Y轴上；了H =167写出适合条件：b=1,3,焦点在坐标轴上的椭的标准方程。答:22F y2=+IO1O总结：求椭圆

4、标准方程的步骤：(1)判断焦点位置(2)根据焦点位置设出恰当的方程(3)求出a、b代入标准方程即可求得(待定系数法)续习1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： 两焦点的坐标分别是(-4, 0), (4, 0),椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10;解：G)因为焦点在x轴上，所以设它的标准方程为:22二 十 9=1 (a > b > 6) cT D由题意可知：2a=10、2c=8、a=5, c=4：.b = 322工+乙=125 9.方二。2一。2 二 2516二9 因此，这个椭圆的标准方程是:例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点时笫标分别是F1 且椭圆经过点Pjfp(0,

5、-2),F2(0, 2),并解：(2)因为焦点在y轴上，所以设它的标准方程为:2 + 1=1(6/ > Z? > 0)CT 由椭圆的定义可知2a =IP£I + IP6I二旧呜加+样+加=。0+,710 =2Vfb22.a V?0 乂 c = 2 ；. b =。2 c2 =10-4 = 6所以椭圆的标准方程沏亮后一页能力提高练习3、根据下列椭圆的方程，写出a、bo说明焦点在哪个坐标轴上，并写出焦点的坐标。X V .(1) +=125 16答：a=5f b=4 ； X轴；(-3, 0)、(3, 0)52144 1692)=1 nr +1/c、 X(3) + nr答：a=13

6、,b=12 ； Y轴；(0, -5)、(0, 5)答:a = ylm: +,h = m =l 171 I； 丫轴；(0,1)、 (0, 1)规律总结:(1)大分母为，小分母为人2。(2)哪个的分母大，焦点就在哪条轴上。丛练习4、(1)如果椭圆；+ 襦 =1 上一点P到F1的距 离等于6,则点P到另一点四点力而距离是14(2)方程4/ +6。= 1的曲线是焦点在Y轴上的椭,求k的取值范围。答：k的取值范围是k0<k<4课后思考当2a为定值时，椭圆形状的 变化与2c有怎样的去系？答：2c越小，椭圆越圆2c越大，椭圆越扁3、弦长公式:直线l：y kx b与椭圆C：E工1(m n)交于两点

7、 m nM(xi, y) _N(x2, y2)则 相 交 时 的 弦 长MN | 相1 x1 x2| Ji1Hy1y2弦长公式是由两点距离公式与两点 斜率公式推导出来，故适用性比较十£的佟广J Xi-工v匕，1 IIHTJ 十 ATG4、中点弦结论（点差法）椭圆c4 y2 1（m n）上的两点 M（xi,yi）,N（X2,y2）,弦MN的中点P（气0,七当,则 kMN kOP2 n -2 mp j地广由“ 7 ' ' Jk4:一於史一至;M 一商o3乱尸耳次开屋（y?；A5、焦点三角形面积：椭圆CW £项b 0）的两个焦点分别为F，、 a bF2,点P是椭圆

8、C上除左、右端点外的一电，令 F1PF2 ,则： 2.S PF1F2 b tan-.该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换 推导出来。证明：iS| PF1 |= r1；| PF2 |= r2,由椭圆的第一定义得22勺+，2 = 2 a, .(八十 G)' = 4 a " 在尸:PF2中，由余弦定理得：rj +七- -2r/2 cos 0 = (2c)2.配方得：(r： + r2Y - 2r/2 cos 0 = 4c=即 4a ' - 2r2 (1 + cos 0) = 4c2(> - c2)2/r：r2 =.1 + cos 01 4 cos 0由任意三角形的面积公式得：C 83.2 sin cos 一1.2sin 02222。Sb =一/r,sin8 = b' b.-= 6" tan一S 2 11 + COS 8,2 822 cos S入28tan7-同理可证，在椭圆二十 =1 （。匕0）中，公式仍然成立.6、直线与椭圆位置关系：联立 l:Ax By C 0与椭圆 c：£ £ 1(m n) m n消去y (或x )得一元二次方程，b2 4ac ,相离0；相切0；相交0 ；7、与点坐标相关的面积公式:0(0,0) , A(Xi,yi) , B(X2,y2) 点0, A, B