不等式的几种证明方法及简单应用

1、本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用数学与计算机科学学院数学与应用数学姓 名 院 系 专 业 班 级 学 号 指导教师 答辩日期不等式的几种证明方法及简单应用摘要我们在数学的学习过程中，不等式很重要.其中不等式的证明方法在不 等式基础理论中非常重要.文中总结了部分证明不等式的常用方法：作差法、 分析法、作商法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等，和不等式的证 明经常会利用函数极值、拉格朗日中值定理等，以及部分著名不等式，比如： 均值不等式、柯西不等式等.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究 不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善.【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名

2、不等式MethOd and application Of SeVeraI SimPle PrOOf Of inequalityAbStraCtWe are in the PrOCeS Of Iearning mathamatics, inequality is Very importent WhiCh InethOd IneqUaIity IneqUaIity BaSiC theory is Very importent PaPer SUmnariZeS the COmmOn methods SeCtiOn PrOVeS inequality： for differemce method, a

3、nalysis, FOr LaWr and Inequality SyntheSiS method, COntradiCtiOnt mathematical inductian, SCaIing Inethecl Often benefit With function extreme, Lagrange mean VaIUe theorenf as Wel 1 as Same WelI-knawn inequalities, SUCh as： mean inequality, CeUChy inequality, eta and thus make inequality PrOOf becam

4、es more CliVOrse, researah inequality PraVed Prabe PrOOf CabIe in equality makes in equality PrOVed to be more PerfeCt 【Key WOrdS : inequality. the COmmOnIy USed method, function, famous in equalities目录一、常用方法1（一）比较法1（二）分析法2（三）综合法3（四）反证法3（五）迭合法4（六）放缩法4（七）数学归纳法5（A）换元法5（九）增量代换法6（十）三角代换法6（十一）判别式法7（十二）等式

5、法7（十三）分解法8（十四）构造函数法8（十五）构造向量法8（十六）构造几何不等式9（十七）构造方程法9（十八）“1”的代换型10（十九）排序不等式 10二、利用函数证明不等式H（一）函数极值法11（二）单调函数法11（三）泰勒公式法12（四）优函数法13（五）拉格朗日中值定理法14三、利用著名不等式证明15（一）利用均值不等式15（二）利用柯西不等式15（三）琴生（JenSen）不等式16（四）切比雪夫不等式17（五）赫尔德（HoIder）不等式18（六）伯努利不等式19（七）三角形不等式20小结20参考文献21致 22不等式的几种证明方法及简单应用学生姓名：指导老师：引言不等式是数学中较为

6、重要的一部分容，为帮助数学爱好者掌握这方面的知识， 故论述几种简单的证明方法.在实际生活中，不等式的运用要比等式更加常见，而 人们对不等式的了解要相对晚一点.在17世纪后，不等式才被深入发觉，建立相应 的理论，真正进入数学理论部分.从不等式的探究过程可以发现，在生活中有重要的作用，例如：不等式性 质、证明方法、解法.在本文中，介绍部分证明不等式常用方法、函数证明不等式 和用一些著名不等式证明不等式.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科 的特点，培养数学逻辑思维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增 加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索 不

7、等式的证明使不等式证明更加完善.一、常用方法(一) 比较法E1.作差法两个实数"和b的大小，可由a-b的正负比较判断.如果"一/?>0,那么，a > b女口果-bv 0,那么，a <b .如果-" = 0,那么、u = b» 例题1:若两个角O<<y, O<<y求证：Sin ( a + ) <siDa+sinB.证：Sin (a+B) -(S in a +si nB)=si a COS +cos a Sin -Si a - SinB=Si na (COS -1)+Si nB (COSaT)因为a、都是正锐角

8、，所以Sin a >0且SinB >0, COS -KOF且COS a -KO 于是 Sin a (COSBT) <0, Sin (CoSaT) <0.所以 Sin a (COS -1) +sin (COS a -1) <0 即 Sin (a+B) -(Sin a +sin ) <0 所以 Sin (a+B) <sin a +sin 2作商法作商法证明不等式时，一般a>0. 7>0, 则a>b;如果巴二1时，则a-b.b如果戶时，则a®如果巴>1时;b例题 2 设 a b c Rj 求证：aabb (ab) abba证

9、:作商严）2a+b a-b b-a a 1 b 2 ahbaa-b当a = b时,-=lbO时,巴 >1,b 2a-b>0,>bO时,IQb0< <L<0,() - >1b 2 ba-b故得竺Lahba即ab) 2 aba（剩余同理可证）（二）分析法在证不等式题的过程中分析法是从结论入手,一步步的向上推导,探索下去,进而证明己知的题设条件，在证明的过程中,推导的每一步都要可逆.例题3：已知：a. b、C为互不相等的实数.求证：Cr +b2 +c2 >ab + bc + cc.证明：要证2 +b2 +c2 > ab+bc+ca 成立,即证明

10、Cr +b2 +c2 -ab-bc-ca>O 成立,需要证 2a2 + 2Jr + 2c2 - Iab- 2bc- 2Ca > O 成立，即(“一b) + (Z? c) ÷(c n) >0成工因为"hc,所以(a-Z?)' >0,(bc) >0, (c-d) >0由此逆推,即可证明a2 +b2 +c2 > ab+he + ca(三) 综合法E综合法，就是由命题的条件证明题设条件.例题4：设纠,a1,曾都是正数，并且它们的乘积坷。2n =1.求证：(l + J(l + "2)(l + w,l)2,'.证明：因

11、为 i- = 7, 所以 l+612.同理可知l+n2j石 + a2 2? I+® 2ya.因为4，“2,，都是正数，根据性质把不等式的两边相乘，得(1 + 角)(1 + 勺)(1 + a” ) 2" Jq 勺a” = 2" 因为在q=l的时候， + g2込取等号，所以原式只在 al = a2 =atl=l的时候取等号.(四) 反证法反正法就是要证明与命题相对立的结论，可以先假设一个错误的结论，应用所 学的知识证明出假设错误.例题 5： 已知 , b , C 为实数，a+b + c>0 , ab+bc+ca>0 , UbC > 0 ,求证： &g

12、t;0 , Z?>O, c>O.证明：假设a,方，C不全是正数，即其中至少有一个不是正数.可以假设a0.分为“ =0和"<0证明.(1) 如果a = 09则UbC = O T与UbC > O矛盾所以“ =0不可能(2) 如果“VO,那么由CIbC > O可得bcv.由因为 a + b + c>O ,所以 b +o -a >0.这和已知ab+bc + ca > O相矛盾因此，也不可能.综上所述，">0.同理可证b>01 c>0.所原命题成立.(五) 迭合法通过简单命题的成立，利用不等式性质，将简单不等式合成复杂

13、不等式而证明结论的过程就是迭合法.例题 6：已知：姑+打+rtzr2 = n , /?+»+bn2 =H ,求证：ab + a2b2 +心仇 n .证明： 因为 al +a +al1 = n , bi +h2 +2 = H所以 Jq2+ j =亦，Jbj +乞2 + bj = 4n ,由柯西不等式albl +a2b2 +anbn <yal1 +a21 +an2 XJ+ ' =4n×4n =n所以原不等式获证.(六) 放缩法2yn .放缩法是依据不等式式的性质而衍生得到的一种方法，利用一些著名的不等式 寻找中间量，又或者是别的方法，但最重要的是可以丢弃某些不重要

14、的部分，得到所要 著证明的结论命题.例题7证明：当il时,7 + 7二Tv2 从而有2(-TT)故1 +丄+丄+23I1 + 2(/2 -1) + 2( - +=2yii 1 2T所以原不等式获证.(七) 数学归纳法川数学归纳法是在证明含H(H eN)的不等式，能否在n = k(n e N)成立的条件下,证明n = k + 时成立.("取第一个值时不等式命题成立)证明8： 求证：(2-)(2-)(2-i)1.(是正整数)H Hn 7z(7/-1)×2×1证明： 左边和右边都有“个因数， 当的时候，2 丄1 ,2-l,nn 22一11, / nH上述个不等式相互累乘

15、,(2-)(2-)n n/2(72-1)×2×1故原不等式成立(八) 换元法在部分不等式证题过程中，通过变量代换，可以使不等式证明过程更加简单, 选择适当的辅助未知数，代替原方程的部分式子，而证明命题.例题9 ：已知"，b, C是小于1的正数，求证：a + b + c-abc<2证明： 设 = ! , b = , C = 1 + P1+g1 + r由假设可知，p>0, <7>0, r>0a+b + c-abc1 1 1 1+1 + P l + <71 + r (l + ")(l + q)(l + /)通分后以(l +

16、)(l + p)(l + r)为分母时，则，分子= (l + °)(l + O + (l + J(l + p) + (l + ")(l + g)-l= 2 + 2(p + ( + r) + qr + rp + PCl)又 2(1 +q)(l + P)(I + r) =2 + 2(p + q + r) + 2(qr + rp + Pq) +2Pqr因为是的优函数，所以将、除以正数(1 + )(1 +/7)(1+ r)得1111C11< 21 + P + q 1 + r (1 +")(l + g)(l +厂)艮卩,a+b + c-abc<2 (九) 增量代

17、换法增量代换法就是在证明不等式时，通过增加一个中间量而使在计算的过程中减少运算量的方法在证明比较复杂的不等式时经常使用的手法.例题 10 :已知 a, beR,且 a+b=l,求证：(a + 2) 2 + (b + 2) 2.2证明：因为 a, b R 且 a + b = 1, '设 G = ÷r, /?=/, (r R)2 2则(d+2)2 + (b+2)2=(丄 + /+2)2 + (丄一/+2)2= (z + -)2 + (r-)2 =2 2 2 22 2所以(a+2)2 + (b+2)2-.2(十)三角代换法山例题11 :解不等式冬二m>l2解：因为(y5-x)

18、1 +(x + 1)2=6,故可令 5-x =Vb Sin , Jx+ 1 =恵 cos.0 0,-2则原不等式化为V6 si - y/6 COS >丄所以A sin 0 >丄+ 6 COS2 2由0W O,-知丄+茴cos0>O,将上式两边平方并整理，得2 2解得 0cos< -l'2s2-'6 所以 x = 6cos2K 24''47,且 x$ 1,故原不2412等式的解集是x-lx<24v'47 .12(十一)判别式法冋学习一元二次方程时，可以用判别式来判断有无实根，而有些特殊题目中,可以通过判别式证明所要证明的命题.

19、例题12 A、B、C为AABC的角，x、y、Z为任意实数，求证：X2 + y2 +z2 2yzcosA +2XZCOSB+ 2XyCOSC证明：构造函数，判别式法令/(x) = X2 + y2 + Z2 一(2)ZCoSA+ 2XZCoS3+ 2AyCOSC)=X2 一2 X(ZCOSB + y cos C) +(y2 + z2 -2yzcosA)为开口向上的抛物线 = 4(ZCoSB + ycosC)2 -4()" + z2 -2yzcosA)=4(-z' sin2 B 一 y2 sin2 C + 2yzcosBcosC + 2yzcos A)=-4z2 sin2 B +

20、y2 sin2 C - 2yzCOSBCOSC + 2yz(cos BCOSC-SmBSm C)=-4z2 sin2 B + y2 sin2 C - 2yzsin BSin C = -4( ZSin B 一 y cos C)2 < 0无论y、Z为何值，A0所以XeR /(x)° 所以，命题真(十二)等式法由学过的公式、定理，巧妙的变形为一些不等式，而证明命题的方法.例题13： UbC为ABC的三边长，求证：2ch2 +2u2c2 + 2b'c2 > ClA +b4 +c4.证明由海伦公式SSABC = pp-a)(p-b)p-c),其中 p = -(a + b +

21、 c).2两边平方，移项整理得16(5C)2 = 2a2b1 +2a2c2 + 2b2c2 一宀Z -疋而 IABC > ° '所以2a2b2 +2a2c2 +lb2c2 > ClA +h4 +c4.(十三)分解法把复杂命题转化为简单易解的基本命题，而一一解决，各个击破，而去证明不等 式例题14 :/1 2 ,且neN9求证：1 +丄+丄+丄> Hd +1 1)23 n证明:因为 + 二 +二+ I H = (1 + 1) + - ÷lj + -+1 + I 1C 34/? + 1 L 3 4 H +1T=2 + + + +> 7×

22、j 2×-X ××= n × Vn + 1.23 2 3H所以1 +出+抽如7.(十四)构造函数法M例题 15：设 OWa、b、C 2,求证'+c'+b C $2 b+2bc+2c.证明：构造一次函数f (x) = Aa - b '+ c 2 + a b c 2a b 2b c 2c a =(b c-2b -2c+4) a + (b 2+c2 2b c), ( 为自变量)由 0 t2, 知表示一条线段.又 /(O) = b ' + C 2 2b c = (b C)2 >0,/(2) = b 2+c2-4Z-4c+8

23、= (b2) $+ (c2) $ 20,可见上述线段在横轴及其上方，所以函数20,即"+b 2+c2+ah cM2"b+2b c+2c.(十五)构造向量法构造向量法主要是不等式与向量形式之间的相互转换，利用山 ZZ I /77 证明一些具有和积结构代数的不等式命题.例题 16 :设 a、bR 且 a + b =1,求证：(a÷2) 2 + (b + 2) 2 . 2证明：构造向量=(÷2, /?+2), n= (1, 1).设总和F的夹角为,其中n I = yp2 ,所以 m H /H ! n I COS a = y(a+ 2)2+ (b+2)2 /T

24、* COS a ；二 J(a + 2)' + (b + 2) ,另一方面，m n = (a+2) l+(b+2) 1 = a+b + 4 = 5, 而 OW ICOSa L所以 y(a + 2)2+ (b+ 2y yp2 25,从而(a÷2) 2 + (b÷2（十六）构造几何不等式将不等式两边与图形建立联系，则可以化数为形，利用图像的性质，解决不等式的方法就是构造几何不等式例题 17：设 a>0, b>0, a + b = 1,求证：y2a + +2+1 22 .证明：所证不等式变形为：'2-1 ,'2 + 1-2.这可认为是点2A（屈齐

25、妙HT）到直线x + y = 0的距离但因(y2a + 1 ) 2 + (2?+ 1) 2= 4,故点 A 在圆 x2 +y2= 4 (x>0> y>0)±.如图所示，AD丄BC,半径AO>AD,即有：W + V宀W2,2所以 y2a+ ÷2+1 22 .（十七）构造方程法例题18 ：已知实数a f b f c .满足 + b + c = 0和"be = 2,求证：U , b , c中至少有一个不小于2证明：由题设比b.C其中必含有一个正数，假设a > 0,b+ c =-a2 即b，. a7C是二次方程X2 +ax+- = O的两个实

26、根.=>a2（十八）“1”的代换型例题19：已知a.b,c w /?中,且d + b + c = 1,求证:丄+丄+ -9. a b c策略：做“1”的代换.证明：111 a+b+c a+b+c +b+c=3 +C Cl一 + +(£+件P3+2+2+2=9C) b C)(十九)排序不等式如 ai R、bj /?(1 i /1)Ji a2 -atl,bx b2 S Sbn则 albl + a2b2 + + CInbn albj +a2bh +- + anbj aibn + axbn + + anbx2,J是12M的任一排列当且仅当GI =a2 = = %或 =b2 = = &#

27、187;时等号成立2 2 2例20： 已知a、-Cln丘/?十求证上丄+ 仝一 + +色一Xd +a. +' + an a. a.a.不妨假设ClehCln有次序即Cll a2 - an,那么 -5°2%由于 ai,a2 a wR-,所以 al a21 alj2由排序不等式可知f>72+ (I2丄+十；丄F+e+s6 a； /ar; . 2 1+ + - q a2 ci3°°得证二、利用函数证明不等式(一) 函数极值法W通过某些变换，把问题转形为求函数的极值，实现证明不等式.例题21 : 证明，Vx>O,有不等式xa -ax + a-O, OV

28、aVl证明：讨论函数f(x) = Xa -OX+ a-在区问(0,+9)的最大值.f,(x) = axai - a = a(xal -1)令广(X) = O,解得唯一定点1,它在区间(0,+S)分成两个区间(0,1)与(1,+Co),列表如下：(0,1)1(1,+s)f,M+O/(-V)/极大点X = I时是函数/(X)极大点，极大值/(1) = 0.由此表可得X=I时是函数/Cr)在定义域中的最大值，故 x>0,使 f(x) < f (1) 或 Xa-OX+ a-0.所以原不等式得证(二) 单调函数法当 X 属于定义域,有 f,M O,则(%ix2) /(x1) )；若 f,MQ

29、,则 f(×) f(x2) 若要证明fM 8M,只须要证f(a) = g()及广(x)g'(x),gb)例题22：设XV1,且XH 0,试证：-+1< 1X In(I-X)证明：令/(X) =丄+XIn(I-X)In(I - x) + X - xln(l 一 x)XIn(I-X)分子 g(x) = x + ln(lx) xln(l-x),对 g(x)求导得 g'(x) = -In(I-切,分两种情况来讨论：(1) 当O VKV1时,g'(x)v,因此g(x)单调递增.由 g(0)=0,故 g(x)>O,分母 ArIn(I - X)V 0,所以 f(

30、x) < 0 即原不等式成立.(2) 当x<0时，g,(x)<O,因此g(x)单调递减.由 g(0) = 0,得 g(x)>0,分母 XIn(I-X)V0,故知 f(x) < 0, 所以原不等式成立.综合(1) (2)即得结论成立.(三) 泰勒公式法E定义 若函数/(x)在"存在"阶导数，则xU(U),有 f (X) = Tll(x)+ o(x-a)n 称为函数在“(展开)的泰勒公式.卄，丁, 、 C、，广(叫 、厂(")/ 、2 , I fna 、” 其中，7；QW +(一0 +丁(Xi) + +rr(xi) 例题23证明：若函数几

31、对在仏切上有“阶导数，且/(“)=/(历=0,i = 1,2,丿-1 , 则存在ce («,/?),有证明：将函数/(x)在点"和点方分别展开，即Vx a,b,有f(x) = f(a) + (x-a)+-+(x-a1!n/(X) = /)+晋 ab)+ 广竽)(X 一 W1!n!由已知条件，"字则分别有«+/? j= (d)+/c0()p-6V,*(b)+%2)"i 丫!a + b <2 S以上两式相减，有他-心）+严（诙/?!严心）卩丫_0Hl他一他）,）3" 丫广乜）SbY广)©)b _ aft丄严（）h aHI2

32、十川2nl2丿mHf(a)-f(b)令 /(W)(C)I = max(ZO(),(W>(<2),则有(a)-()2z'(C)I,即)卜胃恥)-皿(四) 优函数法当/（丄刃是g（兀*）的优函数时,aO,bO f（a.b） g（,b）例题24 :已知S b, C是小于1的正数，求证:a + b + c-abc<2证明： 设 = !, b = ! , C = ! 1 + P +q1 + r由假设可知，/?>0, q>0, r>0a+b+ c-abc1 1 1 1=+1 + P 1 + g 1 + r (l + /?)(l + )(l + r)通分后以(l+

33、q)(l + p)(l + C为分母时，则，分子=(1 + 0)(1 + r)÷(l + r)(l ÷p) + (l + p)(l ÷<)-l= 2 + 2(p + q + r) + (qr + rp + PCl)又 2(l + g)(l + p)(l + r) = 2 + 2(p + <7 + r) + 2qr + rp + Pq) + 2 Pqr 因为是的优函数，所以将、除以正数(1+ g)(l+ p)(l +门得1111C11< 21 + P 1 + (71 + r (1 +")(l + g)(l +厂)即，a + b + c-a

34、bc<2(五) 拉格朗日中值定理法定理：函数/(X)满足，闭区间仏创连续、开区间(d,b)可导. 则函数在开区间上)至少存在一点C ,使广(C) ")-/(“)b-a如果广(C)介于两个数加与M之间，则有下面的不等式：加 "7(化Mb a证明2i1Q形式不等式，可用拉格朗日中值定理法法. b-a例25： 证明，当x>0时，有ex->x.证明：由原不等式，因为x>0,可改写为=>1的形式,X或改写为SS>1的形式，这里f(t) = eti区间为0, x,X-O用拉格朗日中值定理,= x T = x T,12 = Xi;令f（t） = e,.

35、 r0, x,则/（/）满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在0,CN Co门，=X-O所以，有不等式x.三、利用著名不等式证明（一）利用均值不等式W设口心,心 是“个正 实数，则.+_+乞AWH当且仅当al=a2=-=an时取等号.例题 26：求证：l + x+x2 +x2n（2n + Y）xn （X 为正数）证：由算数平均值与几何平均值不等式，得又等差数列求和为 C CC 2/1(272 + 1).、1 + 2 + 3 +2/1 二 (2? +1),2故 2MAyl-X-X2 X2/，= 2啷U2间)=X所以 l + x + <+ x2z, (2n + Y)xtl.（二）利用柯西不等式

36、2定理:设山现=12 F）则等号成立当且仅当勺=S.（l in）.例题27：证明不等式(X +? +x,t) (1h*)X X2兀（其中 X , XI ,证明：若令T X均为正数）X血XnW卩內+几勺+ "届 P + Pl ÷+几当且仅当Xl =X2=占时，等号成立.特别地，另Pi = -（n = 1,2小则有fxy+x2+-+xn=/'(舛)+/(兀)+/(")勺2 =JL ,时=丄Vl心根据柯西一一布雅可夫斯基不等式，则有u1÷2+÷)1 (丄+丄+xI兀2=将上式两边平方后，得(召+x7+)(- + - + +) n2.Xl x2

37、Xn（三）琴生（JenSen）不等式山设A e/?+（/ = U -）（x）是区间D上的严格的凸函数，则对任意I 门/（丙）+“2/（勺）+- +几/（兀）,Pl+Pl+ +Pn例题 28：若 XiWfr ( iin ),z,1Y xz = 1,求证：(X1 + ) X证明：对于，£舌=1, r-1Xi >0,不妨设 /(x) = ln(x + 丄), X考虑证明对Da,处（OJ）有Ina蔦HIne+卫n皿出+丄）22a + b即证(a + -)(Z? + -J-) + -2-)2,Ub 2 a + b即证 ah + - + - + -1 +!j + 2 ,CIb b a 2(

38、a + h)2又比2,沁（号尸且厂“在（W为减函数,.1 彳d + b O1ab + (y +ab 2 a + b 2综上十+心+1 ttrl 1-+ 2 ,即 /(x) = In(X+ -),Q+b 2X在（0 , 1 ）是凸函数，又JenSen不等式得ZrV Xi1"1厶1所以一工 In(Xf- + -) In(I + ) = InS + -)H /.I兀n f XHJ-I所以(册+丄)(总+丄)(n+-) (+-r(四) 切比雪夫不等式由于 al <CI2 an , bib2bn,则HIl例题 29 : 已知：abcd e y a+b + c + d + e = 求彳正:

39、ad + dc + cb + be + ea -5证明：先看ad + be、由于a b c d、由切比雪夫不等式，M + bc + cb + da/Wm), 4(1 一小 (l-a)因此 d + ClC + Cb + be + ea +8 8下面只需要字+中1 - 5<-Q即(I-)2+(l-6)2+8tcp视"为主元，记/() = (l-0)2 +(1 «)2 + Sue = a2 +(80 2)° +，-2e + 2 , 对称轴为I-4 由已知条件CcS"及c+b + c + " + w = l 知-4eat f(a)在定义域内单调递

40、增，因此f(a) < /(|).取等条件是叫，因此2dW,综上,ad + ClC + ch+ be + ea -,当且仅当 = , = c = d = e =丄时取等号(五) 赫尔德(HOlder)不等式设 ai,bi(ii <n)是 2n 个正实数,>O,0>O, + 0 = l,则1洋/=!例题30：设阳,xo,f ,求函数/W=厶JSinXqJCoS X的最小值解:取 Ct = - = Sy4于是I=a ：1由HOIder不等式有：4444525 + 护=-(SinX) +-护9*>(COSX) 54I ( S-+ . CI )5 (sin2 X + cos2 X)5 T,、Z 7snx cosx(Sln Xy(COSXyf(x) = -= + -= (l+qf 当且仅当姮M =氾上sill X JCOSXCl CoS-tanx = (-)5时,等号成立