河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷含解析

1、河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。0.3 一 .1.设 a log8 02 b log 0.3 4,c 4 ,则()D. b a cA.cba B.abc C.acb【答案】D【解析】【分析】结合指数函数及对数函数的单调性【详解】由 log 0.3 4 log 0.3又 1 log 8 0.12540.3 1,即 C 1,，可判断出 1 a 0,b1,c 1,即可选出答案10一 1,即 b 1,3log 8 0.2 log 8 10，即 1a 0,所以b a c.故选:D.，属于基础题

2、.本题考查了几个数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性的应用2.已知函数f(x)ex b的一条切线为y a(x 1),则ab的最小值为1A. 一2e【答案】AD.1B.4e求导得到f'(x)ex,根据切线方程得到b aln a ,故 aba2 ln a，设2,一一 一x ln x ,求导得到函数1在0,e万上单调递减，在上单调递增，故1g x min g e 2,计算得到答案.【详解】f (x) ex b ,则 f '(x) ex,取 ex0 a , a 0 ,故 ln a , f x°a b.故 a b a(ln a 1),故 b aln a , ab a2

3、1na.21设 gx x ln x, g ' x 2xln x x x 2ln x 1,取 g'x 0 ,解得 2. x e111故函数在 0,e 2上单调递减，在 e 2, 上单调递增，故 g x ming e 2 一min2e故选： A .【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力2，则3.定义在R上的奇函数fx满足f 3 x f x 30,若fl 1, f 2f 1 f 2 f 3 L f 2020 （）A1B 0C 1D 2【答案】C【解析】【分析】首先判断出f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值.【详解】由已知

4、f x 为奇函数，得f x f x ，而 f 3 x f x 30，所以 f x 3 f x 3 ，所以 f xf x 6 ，即 f x 的周期为6.f 11， f 22， f 00，所以 f 3 f 3f 3 f 30，f 4 f 2 f 22，f 5 f 1 f 11，f6 f0 0.所以 f 1 f 2f 3 f 4 f 5 f 60，又 2020 6 336 4，所以 f 1 f 2f 3 L f 2020 f 1 f 2 f 3 f 41.故选： C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题1,4如图，在平面四边形ABCD 中， AB BC,AD CD, BAD 120o

5、,AB AD若点 E 为边 CD 上的动点，则uuuv uuuvAE BE的最小值为21A.16【答案】A3B.一225C.16D. 3【解析】【分析】【详解】分析:由题意可得ABD为等腰三角形，VBCD为等边三角形，把数量积 Ae B/分拆，设uuivDEUULVtDC (0 t1),数量积转化为关于 t的函数，用函数可求得最小值。详解:连接BD,取AD中点为O,可知4ABD为等腰三角形，而 ABBC, ADCD ,所以VBCD为等边三角形,BDuuiv tDC(0 t 1)uuv uuvAE BEuuiv (ADUUU/ UUUVDE) (BDULUVDE)UULV ULUVAD BDUL

6、UV UUIV UUIVDE (AD BD)UUUV2DEUHV UHV UUU/2BD DE DE= 3t2 3t22(0t 1)所以当t1 ,一，一时，上式取最小值42116选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。5.1 2x 的展开式中x2的系数为(xA.84B. 84C.280D. 280由题意,Tk 1根据二项式定理展开式的通项公式k2 C；xk ,则x2的系数为2 3 C3Tk 1C：an72x展开式的通项为71 2x 展开式的通项为Tk 12 kC；xk1,由k 1 2,得k 3,所以所

7、求280 .故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用,以及组合数、整数哥的运算等有关方面的知识与技能,属于中低档题，也是常考知识点 .在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式Tr 1r n r rCna b ,再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出 r ,将r的值代入通项公式进行计算，从 而问题可得解6.已知函数f x x x ,其中x表示不超过x的最大正整数，则下列结论正确的是（）A. f x的值域是0,1B. f x是奇函数C. f x是周期函数D. f x是增函数【答案】C【解析】【分析】根据x表示不超过x的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域

8、、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由x表示不超过x的最大正整数，其函数图象为选项B,函数f x为非奇非偶函数，故错误；选项C,函数f x是以1为周期的周期函数，故正确；选项D,函数f x在区间L 0,1 , 1,2 , 2,3 L上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故 错误.故选：C【点睛】 本题考查对题干 x的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题r ,c是平面内二个单位向量，若rr irrr rrl,一一,ab ,则a2c3a2bc的最小值（A. V29B. V29 372C. M 28 D. 5rrrrrr ra 2c由于ab,且为单位向量，所以可

9、令a1,0 , b0,1 ,再设出单位向量 c的坐标，再将坐标代入r r r3a 2b c中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果.rr解：设 c x, y , a【详解】r221,0 , b 0,1 ,贝U x2y21 ,从而r ra 2cr r r3a 2b c22；22x 1 2y x 3 y3 x2 y2 x2 y2 4x 1; x22.22x 2 y , x 3 y 2J52 22 V29,等号可取到.故选：A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题.8.直线匚一 X 7 = p经过椭圆-； 中-1+不="匚口0的左焦点二，交

10、椭圆于二二两点，交二轴于二点,由直线一,则该椭圆的离心率是()D-您一 1二-v3n +第=o过椭圆的左焦点二,得到左焦点为匚£一屈,峙，且匚工再由一而，求得,-一，代入椭圆的方程，求得" 口售白也下 进而利用椭圆的离心率的计算公式,即可求解.【详解】由题意，直线_. 口 +心=c经过椭圆的左焦点所以二二*/j,即椭圆的左焦点为药,且匚二_二工 直线交一轴于 因为二=击，所以匚匚| =m，所以一/号输，E(-又由点二在椭圆上，得Z3 + q? = 4由二二，可得-却匚" 解得吗f所以.-二 .，丁=于=4不二=所以椭圆的离心率为 故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几

11、何性质离心率的求解，其中求椭圆的离心率（或范围），常见有两种方法：求出化为关于二的方程,29.已知双曲线x2 a只需要根据一个条件得到关于匚工的齐次式，转化为匚£的齐次式，然后转即可得二的值（范围）.2-yr 1（a 0,b 0）的左右焦点分别为 bFi( c,0)，F2（c,0）,以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为若直线PF2与圆E : xb2b-相切,16则双曲线的渐近线方程是a. yB.2xC. yD. y2x先设直线PF2与圆E :b2一相切于点M ,16根据题意,得到 EM/PFi,再由F2EF2F14'根据勾股定理求出b2a ,从而可得渐近线方程设

12、直线PF2与圆E : xy2 J相切于点M ,16因为 PF1F2是以圆O的直径F1F2为斜边的圆内接三角形，所以F1PF2900,又因为圆E与直线PF2的切点为M ,所以EM /PFi ,F2F14-,所以PF1因此PF2因此有 b2 (2 a b)24c2,所以b 2a ,因此渐近线的方程为 y 2x .故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型10 .设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2 4x上任意一点， M是线段PF上的点，且PM MF ,则直线OM的斜率的最大值为()1A. 1B.-2【答案】A【解析】【分析】D.费22设 P（近，y&

13、#176;）, M（x, y）,因为 PM 2p2MF ,得到x p血，y 4 4p近,利用直线的斜率公式，得到2yo22koM 一 J ,结合基本不等式，即可求解R血艮弛4 4p y0P【详解】由题意，抛物线y2 4x的焦点坐标为F(-,0),22设 P(4,y0),M(x, y),2p因为PMMF ,即M线段PF的中点，所以x221 / p y。、 p y。y。一（一 一）,y 2 2 2p 4 4p 2V。，金山士 k5221所以直线OM的斜率kOM C ,2 1 ,P 10卫次 2 P y04 4Py0P y0 p当且仅当 y0 ,即y° p时等号成立, y0 P所以直线OM

14、的斜率的最大值为1.故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查 了推理与运算能力，属于中档试题.11.已知f是定义是R上的奇函数，满足3 x f 3 x ,当x2230,-时,2_.2f x In x x 1 ,则函数f x在区间0,6上的零点个数是()A. 3B. 5C. 7【答案】D【解析】【分析】根据f x是定义是R上的奇函数，满足 f 3 x23函数的性质结合已知可得f( -) f( 1) f(0)2间0,6上的零点个数.【详解】 f x是定义是R上的奇函数，满足 f - x 2可得 f(x 3) f(x),函数f x

15、的周期为3,一 3. 一2当 x 0,一 时，f x ln x x 1 2，令 f ( x)0 ,则 x2 x 1 1 ,解得 x 0或 1,又函数f x是定义域为R的奇函数，3 3，在区间3,3上，有 f( 1)f(1 0, f(0)4 25 33由 f 一 x f x,取 x 0,得£( 一)6 227 3 f( -) f( 1) f(0) f(1f(-) 0.22又函数f x是周期为3的周期函数，D. 9f - x ,可得函数f x的周期为3,再由奇23、f(1 f(-) 0，利用周期性可得函数 f x在区2,3/33、，33、f x ,f(x)f (x-),222220.33

16、3f(-),得 f(-) f( -) 0,22239.万程f x =0在区间0,6上的解有0,1,2,3,4,56 共9个,22故选D.本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力, 属于中档题.一1 3212.正项等比数列 an中的ai、a4039是函数f x - x 4x 6x 3的极值点，则10gy6 a2020()3A.1B. 1C. 72D. 2【答案】B【解析】【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为【详解】解：依题意a1、a4039是函数f x根0,得出31340396,再由等比数列的性质可得1322-x3 4x2 6x 3的极值点，

17、也就是 f x x 8x 6 0的两个3a1a40396又3n是正项等比数列，所以320203 34039 爬log 6 32020 log 6 .61.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题二、填空题：本题共2 x13.已知双曲线x3【答案】、,54小题，每小题5分，共20分。2冬1(3 0,b 0)的一条渐近线经过点 b(1,2),则该双曲线的离心率为根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示b 23,再由双曲线3, b, c关系表示c J53,最后结合双曲线离心率公式计算得答案.【详解】2 2b因为双曲线为冬与1(3 0,b 0),所以该双曲线的渐近线方程

18、为y -x.3 b3又因为其一条渐近线经过点(1,2),即2 2 ,则b 23,3由此可得c 32 b253 e 5 .3故答案为：. 5 .本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题c5八14 . 3x2 2x 1的展开式中，X2的系数是.(用数字填写答案)【答案】25【解析】【分析】根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果【详解】由题可知：x2项来源可以是：(1)取1个3x2, 4个1(2)取2个2x, 3个14c2 c3x2 的系数为：c5 3 C： 1 C； 2 C；125故答案为：25【点睛】本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质

19、上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.15 .若复数z 1 3i (i是虚数单位)，则z(z 10) 【答案】30i【解析】【分析】直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可.【详解】qZ=1 3， z(z 10) (1 3i)(1 3i 10) 30i .【点睛】本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用.16 .设复数z满足(1 i)z 4 2i ,其中i是虚数单位，若Z是z的共轲复数，则z 【答案】1 3i【解析】【分析】【详解】4 2i (4 2i)(1 i)由于 z 1 3i ,则 z 1 3i .1 i2'三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过

20、程或演算步骤。17. VABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 ccosB bsinC 0, cosA cos2A.1求C ；2若a 2,求，VABC的面积SVABC(1) 一 . (2) 3 点【解析】【分析】1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB 1 ,结合范围B 0,，可求B 4由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2cos2A cosA 1 0 ,结合范围A 0,，可求A,根据三角形的内角和定理即可解得C的值.2由1及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.1 Q由已知可得ccosBbsi

21、nC,又由正弦定理sinB sinC,可得 ccosB csinB ,即 tanB 1,Q B 0,2 -Q cosA cos2A 2cos A1 ,即 2cos2 A cosA又A 0,cosA1一,或1（舍去）,2可得A B 122,由正弦定理sinA-b-,可得 sinBa sinBsinA22322； 63QsinCsinsinAcosBcosAsinBSVABC1absinC 2. 6243 .33本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于 中

22、档题.18,平面直角坐标系xOy中，曲线C ： (x 1)2,1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为，以。为极 6点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A, B两点，且|PA |PB 1,求实数m的值.【答案】(I)2t(t为参数)；(n)m 1或m 1 J2或m 1四.试题分析：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，用x2 y22,x cos化简表达式，得到曲线 C的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参

23、数方程；第二问，直线方程与曲 线方程联立，消参，解出 m的值.试题解析：(1)曲线C的普通方程为:(x 1)2 y2 1,即x2 y2 2x,即2 2 cos ,2cos .x m直线l的参数方程为y 2t3 2 (t为参数).(2)设A, B两点对应的参数分别为 白品将直线l的参数方程代入 x2 y2 2x中,得t2 (J3m 拘t m2 2m 0,所以 0,也 m2 2m,01 m 3由题意得m2 2m 1,得m 1,1 &或1 也符合题意考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.19.己知圆 Fi： (x+1)1+y1= r(1

24、Wrq 艰 Fi： (x-1)1+y1= (4-r) 1 .(1)证明：圆Fi与圆Fi有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；(1)已知点Q(m, 0)(m<0),过点E斜率为k(kwQ)的直线与(I)中轨迹 E相交于M, N两点，记直 线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k1,是否存在实数 m使彳导k(k1+k1)为定值？若存在，求出m的值, 若不存在，说明理由.22【答案】(1)见解析， L 1 (1)存在，m 2 43【解析】【分析】(1)求出圆F1和圆F2的圆心和半径，通过圆 F1与圆F1有公共点求出F1F2的范围，从而根据PF1PF24可得P点的轨迹，进而求出方程;(1)过F2点且

25、斜率为k的直线方程为y k(x 1),设M X1,y1 ,X2,y2 ,联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理以及k1, k1x1mV2X2一，可得 k k1k2m24；/2 3m2 12根据其为定值，则有3m2 120,进而可得结果.F2(1,0),所以 F1F22,因为圆F1的半径为r ,圆F2的半径为4 r ,又因为1 w r w 3,所以|4r r I F1F2 |4r r I,所以圆E与圆F2有公共点,设公共点为P,因此PF14,所以P点的轨迹E是以F1( 1,0), F2(1,0)为焦点的椭圆,所以2a 4, c 12, b2即轨迹E的方程为4(1)过F2点且斜率为k的直线方程为y

26、k(x 1),设 MX1,y1 , N X2,y2224人匕12由 43消去y得至1J 4k2 3y k(x 1)222x 8kx 4k120,贝 u x1 x28k24k2 3*22-4k 122)4k 3y1因为k1, k1X1my2X m所以k k1k2kyy2x1 m x2 mk x1 1x2 1x1mx2 mk2 x11x21 k2x1mx2mx11 x2mx2 1 x1mx1mx2 m2 2x1x2 (m 1) x1 x2k-_:x1x2 m x1x22m-2 ，m将式代入整理得k k1k2(6m 24)k222""2 Z4(m 1) k 3m 12因为m 0,

27、所以当3m2 120时,2时，k k1k21即存在实数m2使得k k1k21.本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题20.如图，在四棱锥 P ABCD中，BC CD, ADCD, PA 3J2， ABC和 PBC均为边长为2J3的等边三角形.(1)求证：平面 PBC 平面ABCD ；(2)求二面角C PB D的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) 3313平面ABCD ,转证OP 平面ABCD ,即证(1)取BC的中点O,连接OP,OA,要证平面PBCOP OA, OP BC即可；

28、(2)以O为坐标原点，以uuv uuv uuvOA,OB,OP为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面PBD与平面PBC的法向量，代入公式，即可得到结果(1)取BC的中点O,连接OP,OA,因为 ABC, PBC均为边长为2J3的等边三角形,所以 AO BC , OP BC ,且 OA OP 3因为 AP 3J2,所以 OP2 OA2 AP2 ,所以 OP OA,又因为OA BC O , OA 平面ABCD, BC 平面ABCD ,所以OP 平面ABCD.又因为OP 平面PBC ,所以平面 PBC 平面ABCD.（2）因为BC CD, ABC为等边三角形， 一一 2所以

29、 ACD 又因为 AD CD ,所以 CADADC ,663 ACCD在 ADC中，由正弦定理，得： ，所以CD 2.sin ADC sin CADuuv uuv uuv以O为坐标原点，以 OA,OB,OP为x,y, z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,则 P 0,0,3 , B 0,73,0 , D 2, 73,0uuv BP- uuv0, V3,3 , BD2, 273,0 ,v设平面PBD的法向量为n x, y,z ,vuuv v BP v uuv n BD3y 3z2x 2.3y令z 1,则平面PBD的一个法向量为v3,J3,1 ,依题意，平面PBC的一个法向量m 1,0,0所以

30、cos(m, v3 1313故二面角C PB D的余弦值为3/1313【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21 .如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 ABC为正三角形，D, E分别是AC, CC1的中点，平面 AACiC 平面 ABC, AE AG.(1)求证：DE平面 AB1C1 ；(2)求证：AE 平面BDE.【答案】(1)见解析；(

31、2)见解析【解析】【分析】(1)根据D , E分别是AC , CCi的中点，即可证明 DE/ACi ,从而可证DE平面ABQ ；(2)先根据 ABC为正三角形，且D是AC的中点，证出BD AC ,再根据平面 AA1C1C 平面ABC ,得到BD 平面AACiC ,从而得到BD AiE ,结合AE ACi ,即可得证.【详解】(1) D , E分别是AC , CCi的中点DE /ACi. DE 平面 AB1cl , ACi 平面 AB1clDE平面 AB1cl.(2) ABC为正三角形，且 D是AC的中点BD AC平面AA1C1C 平面ABC ,且平面AAC1CI平面ABC AC , BD 平面ABCBD 平面 AAC1cAE 平面 AAC 1cBD A1EAE ACi 且 DE/ACi AiEDEDE , BD 平面 BDE ,且 DE BD DAiE 平面 BDE.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中 档题.22 .如图，在四B P ABCD中，底面ABCD是矩形，