考研高数讲义新高等数学下册辅导讲义——第十二章上课资料

1、第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的收敛与发散给定一个数列1，2，3广,，”,将各项依次相加，00简记为n=l即+ 2 + 3 称该式为无穷n=l级数，其中第项勺叫做级数的一般项.级数的前项和S = Z以=1+2+3 + 称 k=l为级数的部分和。若limS=S存在，则称无穷级数收敛，并称S为>00级数的和，记作S=2>；若limS不存在，则 n=l->8称无穷级数发散。【例1】（93三）级数七吧n=l 2的和为【答案】In 32 ln3结论：等比（几何）级数君W当141Vl时收敛 当时发散 二、收敛级数的和00若收敛，则其和定义为n=l00S = &

2、#163;un = lim £"k = Hm S。n=lw->0%=ins三、无穷级数的基本性质00(1)若级数收敛于S,即则各项n=ln=l乘以常数C所得级数£。册也收敛，其和为蟾。 n=l注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变(2)设有两个收敛级数S=W即，久，则 n=ln=l级数会土%)也收敛，其和为S±6 n=l注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减【例】取4=(-1产,%二（-1严+1,而+6=0。盛癖前面加上或去掉有限项,不会影响级（4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级 数的和。推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。 注：收

3、敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。【例】(1 1) + (1 1) + =0 9 但 1 1+ 1 1 +发 散。【例2】判断级数的敛散性：1 1 1 1、/2 1 2 + 1 、3 1 % 3 + 1I、级数收敛的必要条件必要条件：若收敛, n=l贝=0o00逆否命题：若级数的一般项不趋于0，则级数必 发散。 mr 12 3 4-i、i n例h- -H h (-1)7 +17 2 3 4 5n + 1注：lim"=O并非级数收敛的充分条件oo【例】调和级数自1=1H111F 2 3 n【例3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和:00（1） 2 In 1 +n=l 【答案】（1）发

4、散：（2）发放(2) £n=ln 1-cos v n五、两个重要级数：几何级数与。级数的敛散性00（1）几何级数：、>，当i，i<i时收敛；当n=l时发散.Q0 1 （ 001、（2）p级数（或对数p级数）：y-A-,npnnpn）当p>l时收敛，当p<l时发散。第二节常数项级数的审敛法-V正项级数及其审敛法00正项级数：若>0,则称为正项级数。n=l00收敛定理1:正项级数收敛等价于部分和序n=l列§ ( = 1,2,)有界。收敛定理2 ：（比较审敛法）设是两个n=l n=l正项级数，且存在NeZ+,对一切N,有un<kvn （常数左&

5、gt;0）,则有(1)若强级数Z七收敛，则弱级数Z也收敛; n=ln=l(2)若弱级数三发散，则强级数外也发散。 n=ln=l调和级数与P级数是两个常用的比较级数。【例1】判断下列级数的敛散性00(1)2 In=l 15J不n(a > 0, w 1)【答案】 收敛;(2)当Ovavl时,发散；当。1时,收敛;00（3） 2 赢 n=l/【答案】（3）收敛;（4）发散:00IZ-n=l7n +n + l00(5) £1n=l【答案】(5)收敛n 1 +【例2】(97-)设 i = 2,an+l =+ )( =1，,), 200 "证明：(I )lim%存在；(II)级数

6、£('-1)收敛.w->00an=l un+l【解析】(1)用单调有界必收敛证明；(2)用比较审敛法证明收敛定理3 ：（比较审敛法的极限形式）设两正项级数n=l外,满足limk=1,则有:（1 ）当 0 V/ V8 时,两个级数同时收敛或发散;n=l一8 Vn0000（2）当1 = 0时，且2%收敛时，2X也收敛;n=ln=l（3）当/ = 8时，且Z七发散时, n=l00Z 也发散。n=l【例3】判断下列级数的敛散性,n1 Q 瑞 加5+巧+有+.+1).(2)玄7 (其中常数P>0)n=2 (lnn)p【答案】(1)收敛；(2)发散00【例4】(04)设

7、63;明为正项级数，下列结论中n=l正确的是oo(A)若lim* =0,则级数收敛.(B)若存在非零常数人使得lim6=九则级数800£狐发散n=loo(O若级数S>收敛，贝IJlim2%=0.71=1(D)若级数发散，则存在非零常数；I,使得n=limnan =九n>oo【答案】（B）收敛定理4：(比值审敛法)设Z"为正项级数, n=l且limU = m则有：n>oo(1)当?<1时，级数收敛；(2)当夕1或夕=8时，级数发散。(3)当/=1时,级数可能收敛也可能发散.【例】P-级数n=inp【例5】判断级数的敛散性裁00n(2) £ n

8、=110【答案】(1)收敛；(2)发散n=l+100 收敛，若名册收敛，则En=l%包1,则七人发散.n=l若lim a【例6】(04 H)设有下列命题：0000若£(2吁1 + 2“)收敛，则E"收敛n=ln=l000000若Z (Hn + %)收敛，则2X , 2X都收敛. n=ln=ln=l则以上命题中正确的是巡【例7】(88三)讨论级数七”产的敛散性. n=l n【答案】收敛.收敛定理5:(根值审敛法)设9即为正项级数，且 n=lhmlun=p,则有：(1)当夕1时，级数收敛；(2)当夕1时，级数发散；(3)当夕=1时,级数可能收敛也可能发散。001【例】P-级数n

9、=inp【例8】判断级数的敛散性【答案】收敛:（2）发散(2) L n=l321(2 - l)22n二、交错级数及其审敛法设un >0,n = l,2< «,则各项符号正负相间的级数1 -2 + 3卜(-1)" 4” 称为交错级数。收敛定理6 ：(莱布尼茨判别法)若交错级数满足 条件：(1) un > un+1 5 = 1,2,)；(2) limun =0,oo则级数去-1)1%收敛=【例9用莱布尼茨判别法判别级数的敛散性：L (-1 尸n=2【解析与答案】单调性，极限inn【例(95)设% =(-1门n 1+,则级数0000(A) Z即与Z都收敛. n=

10、l n=l(B)表与5小都发散.n=l n=l008(O z/收敛而发散.n=ln=l(D)表发散而名力收敛=1=三、绝对收敛与条件收敛定义：对任意项级数七，若自收敛，则称原 n=ln=l级数七即绝对收敛；若原级数收敛，但取绝对值 n=l以后的级数发散，则称原级数9条件收敛。n=l00工 1【例】z（-1尸1条件收敛；23为绝对收敛。n=ln=i 定理7绝对收敛的级数一定收敛。【例11】判断级数的敛散性。七（T），q七（-1）13n=l Cn=l7 n(3) Z(-1 尸n=l(4) n=l n【答案】(1)绝对收敛：(2)条件收敛；(3)绝对收敛；(4)绝对收敛【例12(87-)设常数左 0

11、,则级数L (-1)n=l(A)发散.(B)绝对收敛.(O条件收敛.(D)收敛或者发散与人的取值有关.【答案】(C)【13（90）设a为常数，则级数官 吗。一1 n=i_ nL 7n（A）绝对收敛.（B）条件收敛.（O发散.（D）收敛性与a的取值无关.【答案】（C）【例 14（92）级数，-cos。）（常数 a>0） n=l（A）发散.（B）条件收敛.（O绝对收敛.（D）收敛性与a有关.【答案】（C）00-【例15(94-)设常数丸0,且级数收敛,n=l则级数Z (-1) ：kn=i a/ n +4(A)发散.(B)条件收敛.(O绝对收敛.(D)收敛性与;I有关.【答案】(C)【例16(

12、96-)设% >0( = 1,2,)且2册收敛, n=l常数丸e (0百，则级数£ (-l)n(ntan2n2n=in(A)绝对收敛.(B)条件收敛.(O发散.(D)敛散性与;I有关.【答案】(A)【例17】(96三)下述各选项正确的是(A)若三说和七琮都收敛，贝槎(即+%尸收敛.n=ln=l n=l(B)若收敛，则2%与2以收敛. n=ln=l n=l(O若正项级数z发散, n=l(D)若级数三"收敛，且即之%( = 1,2,)，则 n=l级数升也收敛.n=l【答案】(A)第三节幕级数一、函数项级数的概念设即(%)( = 1,2,)为定义在区间/上的函数,则称()

13、= "1(%) + 2(%)+ + (%) + ,n-为定义在区间/上的函数项级数。对/£/,若常数项级数表(%。)收敛，称与为其 n=l收敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域；若常数项级数9%(工。)发散，称X。为其发散点, =所有发散点的全体称为其发散域。在收敛域上，函数项级数的和是X的函数 S(x),称它为级数的和函数，并写成00S(x)= n=l【例】等比级数+%+ n=0二、孱级数及其收敛性 形如：8£an (x - x0) = %)+ i(x - x0) + a2(x - x0) + n=0+ Un(X Xq)W + 的函数项级数称为幕级数，其中数列 册

14、( =03)称为幕级数的系数。下面着重讨论勺=0的情形，即82= 00 + CLX + 2工 + + dnXn + =0定理1 （阿贝尔定理）若幕级数2>小在 =点收敛，则对满足不等式I«=0“0 I的一切X幕级数都绝对收敛。反之，若当 = %°时该幕级数发散, 散。则对满足不等式|>|x0 的一切X,该幕级数也发A称为收敛半径，（-凡氏）称为收敛区间。（-/?,/?）加上收敛的端点称为收敛域。00 "定理2若2。/的系数满足lim| 久坦| =小 则«=o->8 an(1)当夕，0时，R = (2)当夕=0时,1? = oo；(3)当

15、夕=oo时，氏=0。【例1】(95)幕级数-1的收敛=12+(3)半径氏=【答案】V3【例2】（02三）设幕级数£小和的收 n=ln=l敛半径分别为与则塞级数七号“的收敛半 33n=ibn，I径为(A) 5.(B)(C) 1.(D) L335【答案】(A)【例3】求幕级唯*的收敛半径及收敛域。【答案】收敛域为-2,2)【例4】（88）求幕级数后注的收敛域.【答案】0,6）【例5】(88-)若1)在x = -1处收敛, n=l则此级数在 = 2处()(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定答案：（B）三、幕级数的运算定理3设塞级数方M及强的收敛半径分 n=0h=0别为

16、g,&,令K = minRi，&,则有：2 anxn =g;1册"（4为常数）| x | < Ri =0=0Yanxn ± Ybnxn = X(an±bn)xn x<R n=0h=0h=0(5)(")= lcnxn x<R n=0n=0«=0(其中 C = akbn_k ) 左二0a:定理4若幕级数的收敛半径氏0,则其和 n=0函数S(x)在收敛域上连续并有任意阶导数，且在 收敛区间内可逐项求导与逐项求积分，运算前后 收敛半径相同：S'(%)= Y(anxny= 1nxi xw(-R,R) n=0n=l

17、00004fS(x)dx= XaJxndx= Z xn+1 =o=o + lx (R,R)a:例6 (97 -)设幕级数的收敛半径为3, M=0oo则塞级数严的收敛区间为.n=l【答案】(-2,4)第四节函数展开成幕级数与级数求和一、泰勒级数复习泰勒中值定理：若函数/(%)在X。的某邻域内具有+1阶导数,则在该邻域内有/(X)= /(x0) + /r(x0)(x - x0) +弓了n(x-xor+/?n(x)泰勒级数的定义：若/(%)在工。的某个邻域内具有任意阶导数，则称“/(x) = /(x0) + /r(x0)(x-x0) + (x-x0)2 + -n(X Xq)1 +为/(%)的泰勒级数

18、。当勺=0时泰勒级数又称为麦 克劳林级数。函数展开成泰勒级数的充要条件(数一)：设/(%)在X。的某个邻域内具有任意阶导数，则/(%)在该 邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是/(%) 的泰勒余项凡=(x-%o)"+l f 0(f 8), X 是该邻域中的点，4介于X。与工之间).此时，有泰勒级数/v /(%) = /(/) + £k=l00= /(/)+£n=ln(X %0)" o二、几个常见函数的麦克劳林展开式op n(1 ) ex = V 一,X G (-00,4-00)；念！(2) ln(l + x) = Y-xn+x e (-141;省+ 1

19、sinx81 V二 ?Gx”y,+8)；8 (_1 V(4) cos x = V-x2，x G (-00,+00);n=Q (2)！00= Jx%xg(-14)；n=0(6) (1 + x)a = 1 + ax +x2 + 2!a(a-l)(a- + l)nHX +,%£ (-1,1)00Fl=0三、函数展开成塞级数展开方法直接展开法一利用泰勒公式间接展开法一利用已知其级数展开式的函数1、直接展开法由泰勒级数理论可知，函数/(%)展开成幕级数的 步骤如下：第一步求函数及其各阶导数在 = 0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(-凡内lim此(X)

20、是否00为0。【例1】将/(") = /展开成X的幕级数。答案】ev = V , x e (20, +oo) 念！2、间接展开法黄体方法：冒用一些已知的函数展开式及孱级数 的运算性质，将所给函数展开成幕级数。【例2】（87三）将函数%）= 2 1 一展开工的x -3x + 2级数，并指出收敛区间.X1 X1【答案】/（x） = 2>"+ Z（l + F）a其收敛区间为（T/）2 o 2【例3】（95三）将函数y = ln（l-工一2%2）展成的 幕级数，并指出其收敛区间.3c 11、【答案】ln（l-x-2x2） = -.vn,收敛区间为彳,7.【例4】（89-）将函

21、数/（x） = arctan；展为的 1-%塞级数.【答案】-+y-x2w+1,（-i<<i）.4 白 2 + 1例 5 （94 一）将函数/（%） = -In + X + arctan x-x4 1-x 2展开成工的幕级数.8r4/1+1【答案】_-（-i<x<i）W4 + 1【例6】将邛山展成”的幕级数。【答案】F(x) =00E0(p <x< +s)K级数求和(-)幕级数求和具体方法：利用已知塞级数的展开式间接求解和 函数。oo【例7】求幕级数2(-的和函数。n=lX2 -1 【答案】，xe(1,1)(1 + 广)-【例8】求幕级数£网等”1

22、的和函数。n=l 2【答案】丁:，(I)00 2n【例9】求幕级数£ J【答案】一上（1一/）, xe（U）的和函数。00【例10】求幕级数n=l【答案】-2xarctanx + ln( 1 + /)，xe-ijx2nn(2n-l)的和函数。00【例11】(90)求幕级数£(2 +l)x"的收敛域,二0并求其和函数.1 4- r【答案】收敛域是(一 1,1)； S(x) = , -1<x<1.(1 一切【例侬三)求幕级数后(白TN"在区 间内的和函数S(x).Ixle(OJ),x = 01 , 1+X1【答案】S(x)= 2x 1-x 1-x

23、2 。，【例13】(87)求塞级数七 七”计1的收敛域, 并求其和函数.【答案】收敛域为一2,2), S(x) = 2xln=, xe-2,2).2 - x(-)常数项级数求和具体方法：选择适当的幕级数求和，然后将的数 值带入求值。【例14】求数项级数£ 一'的和。"=1(2 -1)2【答案】ln(V2+l) 2【例15】2 (96-)求级数2n=2会的和. (n2-l)2n【例16(93-)求级数七(一1汽"：一"+ 1)的和. =o 2n【答案】2221第五节傅里叶级数（数一）一、函数的傅里叶系数与傅里叶级数(1) /(X)在-兀,兀上的傅里

24、叶级数定义为a 00/(x) +cosnx + bn sinnx)；2 n=l71其中/(x)cosnxdx,n = 0,1,2,-f /(x)siiindx,n = 1,2< «,称为/(%)的兀一兀傅里叶系数。a0°/(%)寸+£/ n=l(2)若(1)中的区间换为一般的-/用，则mi , 兀an cosx+bn smx-fc4- -J.a r，/、 兀 i八.a其中 =: /(x)cos 丁 xdx/ = 0,1,2,I JTIa=；1/(x)sin岸%dx/ = l,2,，称为/(%) 的傅里叶系数。【例1】（93-）设函数/（%）=乃%+ %2（_

25、/工） 的傅里叶级数展开式为a 00cosnx + bn sinnx）,则其中系数。3的值2 n=l为2 【答案】【例2设/（尤）是周期为2万的周期函数，它在 -万，万上的表达式为X .-7T<X < 0.= I /T7/（X）= 2x, 0<x<将/（X）展成傅里叶级数。二、狄利克雷收敛定理设函数/(%)在-/用上连续或只有有限个第一类 间断点，并且至多只有有限个极值点，则/(%)的 傅里叶级数收敛，并且(1)当是/(%)的连续点时，级数收敛于/(%);(2)当是/(%)的间断点时，级数收敛于/(D + /(x + O)2(3)当x = ±/时，级数收敛于/

26、(Z + 0) + /(Z-0)O【例3】求/(%) =-1, -7T<X<Q1 + x2, 0<x<,以2%为周期的傅里叶级数在 = 0,1两点处的值。【例4】(88-)设/(%)是周期为2的周期函数,它在区间上定义为/(%)=缶二:'，则/(%)的傅里叶级数在X = 1处收敛于3【答案】-2三、正弦级数和余弦级数(1)若/(%)在-/,4是奇函数,BP/(-x)=-/(x), 其傅里叶级数为正弦级数，即勾=0, = 0,1,2,f (x)身b 11sin?x,其中仁=r/(x)sin与xdx. I/JOI(2)若/(x)在J是偶函数，即/(-%)= /(x)

27、, 其傅里叶级数为余弦级数,即d=0, = 0,2, /(X)? + £猴 cosx,/ n=lIr4-i 2 f，r /、 HTl= yjo /(x)cos-xdx.（3）如果是定义在0用上的函数，将其作奇 延拓，就可利用（1）将其展开成正弦级数；将其 作偶延拓，就可利用（2）将其展开成余弦级数.【例5】(89)设函数/(%) = /, ovxwl,而00S(x) = »" smn;rx, -oo < x < +oo. 其中n=lbn =2 /(x)siiintZx, = 1,2,3,则3()为Jo2(A)(B)(C) L (D) L2442【答案】

28、(B)【例6】（08 ）将函数/（x） = l-2（o4%4万）展oo /_1 n-l开成余弦级数,并求的和 n=l 本章强化练习 一、常数项级数的判别1、(11 H)设%是数列，则下列命题正确的是( )008(A)若以收敛，则£(21+%)收敛 n=ln=l00oo(B)若£(2l+2)收敛，则以收敛 /z=ln=loo8(C)若1收敛，则6他1/)收敛 n=l九=18oo(D)若£他1T2)收敛，则E"收敛 71=1n=l答案：(A)2、(09 -)设有两个数列%,a,若!吧 =0，0000(A)当收敛时，£*勿收敛n=ln=l0000（B

29、）当2勿发散时，发散n=ln=l0000（O当£i久畋敛时，忍收敛n=ln=l0000（D）当£也/发散时，发散n=ln=l答案：（C）003、(06-H)若级数收敛，则级数()n=loooo(A) 收敛.(B) £(-L)Z"收敛.n=ln=l00001(C) 收敛.(D)之审任收敛.n=ln=l4答案：（D）004、(05三)设册0/ = 1,2,，若£明发散, n=l00£(-1厂4收敛，则下列结论正确的是n=l(A)七。2-1收敛，玄。2发散.n=ln=l(B)七2收敛，发散.n=ln=l(C)工(2一1+。2)收敛。工(21

30、-。2)收敛 n=ln=l5、（03 三）设。"=6,狐=6, = 1,2, 乙/则下列命题正确的是(A)若七册条件收敛, n=l则七P与七册都收敛.n=l n=la】(B)若Z %绝对收敛, n=l则Z P与2卷都收敛. n=l n=l(O若2册条件收敛，则2 P与2狐敛散性都 n=ln=l n=l不定.(D)若玄册绝对收敛, n=l不定.答案：(B)则EPn与工qn敛散性都n=l n=l6、（04）设有方程, + nx -1 = 0,其中为正整 数.证明此方程存在唯一正实根乙，并证明当oo时，级数2球收敛.n=l二、幕级数的收敛半径和收敛域求解为答案：e"003、（08

31、-）已知孱级数£X（x + 2）存在x = 0处收00敛，在“ = -4处发散，则塞级数£%（工-3）"的收=0敛域为答案：(1,54、3三)级数罗萨答案：(0,4)一的收敛域为三、幕级数的和函数求解1、(10 -)求幕级数之n=l(-If12n-l,的收敛域及和函数.答案：收敛域为一11：和函数为xarctanx，(-1广(2一1)的收敛域及和002、(06 H)求骞级数£n=l函数s(x).答案：收敛域为 和函数 S(x) = 2x2 arctan x-xln(l + x2),xe-Ux2nIn(|x|vl)的和函3、(03 H)求幕级数 1+2(-

32、1) n=l数/(%)及其极值.答案：/(x) = l-Lln(l + x2)(|x|<),极大值为 1 24、求下列幕级数的收敛域及其和函数:(1)M + 1l,x = O,答案：(1) (-1J)S(x) = <00(2) £( + l)x"S(x) =，- 1<X<1n=l答案：(2) (1,1)K函数展开成幕级数1、(07 H)将函数/(%) =展开成x2 3x 4 的幕级数，并指出其收敛区间.答案:Hr7yt9+猿k-。"心（-1,3）1 - 4 D =（）L J 乙2、（06-）将函数/（无）=展开成”的幕 "i级数。1 X1答案：fW = -X -(-l)n xx< 3 L 2_3、(03 )将函数/(%)：=arctanW展开成X的幕级氮并求级畛黑的租答案：/(x) = 1_2f4/1-()(-2/7 +1 I 2 2:y ("iy，五、常数项级数的求和问题1、（ 09 ）设%为曲线j = xw与oon=ly