最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案【最新整理】

1、【复习资料、知识分享】最新人教版高中数学选修4-5测试题第一讲不等式和绝对值不等式一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）八c3、”1.设集合 A = x|y= log2（4-2x-x2） , B= x 1,则 ACB 等于（A. x|-1<x<V5-1B. x|-3<x<2C. x|1<x<1D. x|1V5<x< 3 或正一1<xW2 解析：不等式42xx2>0可转化为x2+2x-4<0,解得1-75<x<-1+75,A= x| 1 ,T5<

2、x< 1 + 5；3不等式1可转化为x 2<x+ 10,解得一1<xW2, B=x|-1<x<2, .An B=x|-1<x<J5-1.答案： A2.不等式* <1的解集为（）x 1A. x|0<x<1 U x|x>1B, x|0<x<1C. x|1<x<0D, x|x<0解析：方法一：特值法：显然x= 1是不等式的解，故选 D.方法二：不等式等价于|x+1|<|x-1|,即（x+1）2<（x1）2,解得 x<0,故选 D.答案： D3.设a, b是正实数，以下不等式>020

3、? a>|a-b|-b,a2+b2>4ab3b2, ab+>2 abB.D.恒成立的序号为（）A.C.解析:正确.答案:2ab / 2ab。而眄即姆R篝,故不正确,排除A、B; ab> 2y2>2 ,即ab4.已知a>0 , b>0 ,则： + :+ 2405的最小值是()A. 2B. 272C. 4D. 5解析:a>b, b>0,a=b时取等号,a+b+2婀-蠢+2婀婀=4当且仅当a = b= 1 且=2婀时成立，能取等号，故1 1 ，.占十石+2q0b的取小值为4,故选C.答案： C5 .设 |a|v 1, |b|<1,则 |a+

4、b|+|ab|与 2 的大小关系是()A . |a+ b|+ |a b|> 2B. |a+b|+|a-b|< 2C. |a+b|+|a-b|= 2D.不可能比较大小解析： 当(a+b)(ab)> 0 时,|a+ b|+ |a- b|= |(a+b)+(a-b)|= 2|a|< 2,当(a+b)(ab)<0 时，|a+ b|+ |a- b|= |(a+b) (ab)|= 2|b|v 2.答案： B1 16 .设 x, yCR, a>1, b>1.右 a = by=3, a+ b= 2/3,则 十 的取大值为()3A. 2B.21C. 1D,解析：- ax

5、= by=3, .x=loga3, y= log b3,1,11,1 ，一 . 一+=；-+； 宁 log3a + log3bx y loga3 10gb3 _ .a+ b2 ，二小小 =log3ab< log34=log33=1,故选 C.答案： CA. 0<a<1,下列不等式一定成立的是()A . |log1 +a(1 a)|+ |log(1 a)(1 + a)|>2B. |log1+a(1 a)|<|log(1 a)(1 +a)|C. |log(1+a)(1 a)+ 10g(i a)(1 + a)|<|log(1 +a)(1 a)|+ 110g(1 a

6、)(1 + a)|D. |log(i +a)(1 a) 10g(i a)(1 + a)|>|log(i + a)(1 a)| |log(i a)(1 + a)|,1解析：令a=点 代入可排除B、C、D.答案：A8,若实数a, b满足a + b=2,则3a + 3b的最小值是()A. 18B. 6C. 2 3D.43解析：3a+ 3bA 2.>y3 = 2aJ3= 2a = 6.答案： B.|a| |b| |a | |b|n之间的大小关系是（）9.已知 1a产 1b1, m= -, n=,则 m,|a一 b|a十 b|C. m = nD.mW n解析：|a|- |b|< |ai

7、b|w|a|+|b|,. m=jurnbi =1,|a-b| |a|-|b|'|a|+|b|a|+|b| 、,n= = 1,，mW1Wn.|a+ b|a|+|b|'答案： D10.某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P1,第三年比第二年增长的百分率为P2,第四年比第三年增长的百分率为P3,则年平均增长率 p的最大值为（）A. 3/p1 p2 p3P1 + P2+ p3B. 1P1 P2P3C. 3D. 2-1 + P1 1 + P2 1 + P3解析： -.(1 + p)3=(1 + P1)(1 + p2)(1 +p3),1 + P=知 1 + p1 1+ P2 1 + p

8、3 <1+ P1+ 1 + P2+ 1 + P3P1+P2 + P3-p<3答案： B11.若 a, b, c>0,且 a2+2ab + 2ac+4bc=12,贝U a+b+c 的最小值是()C. 2解析：a2+2ab + 2ac+4bc=a(a+ 2c)+ 2b(a+ 2c)= (a+2c)(a+2b)a 2c a 2b2,(a+ b+ c)2> 12,又 a, b, c>0,a+ b+ c>2：.13.答案： A,%一 i 1+cos 2x+8sin2Xg 日 一士二 ,、12.当0<x<2时，函数f（x）=sn2X的最小值为（）A. 2B.

9、 2J3C. 4D. 473解析：方法,2cos2x+8 sin2 xf(x)=2sin xcos x1 +4tan2 xtan x=4tan x+1tan x>4.、一一 1，一，. 一这里tan x>0,且tan x= /时取等3.、上，1 + cos 2x+ 8sin2 x 5 3cos 2x万法一：f(x) =-= (0<2x< 兀)sin 2xsin 2x ''入 53cos 2x令 尸sin 2x, 有 (Bin 2x+3cos 2x= 5./+ 9sin（2x+（f） = 5, 5 sin（2x+ =-.,+ 95尸"得.6.户4

10、或产4.又60.答案： C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上13 .已知2< “V峰2,则取值范围是.解析：利用不等式的性质进行求解.由2< “年和得.6加兀 a 3 -答案：2w2-20.14 .设集合 S= x|x-2|>3, T=x|a<x<a+8 , SUT=R,则 a 的取值范围是 解析： x- 2|>3,''' x 2>3 或 x 2< 3,x>5 或 x< 1,即 S= x|x>5 或 x< 1.又. T= x|a<x<a+8, S

11、UT=R,a< 1，画数轴可知a需满足a+8>5. 一 3<a< 1.答案： 3<a<1x* 5 x* 2 15 .设x>1,求函数y= x x 的最小值为 x+1解析： x>- 1,，x+1>0,x+ 5 x+ 2 x+1 +4 x+ 1 +1yx+1x+1= (x+1)+5+-4>2、/x+1 -4- + 5=9.x+1,x+ 1一，4 r，- 一 ,当且仅当x+1=-,即x= 1时，等号成立. .V的最小值是9.答案： 916.某商品进货价每件 50元，据市场调查，当销售价格 （每件x元）在50<xW80时，每天售出的件1

12、05数P= 10c 2,若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为元.x 40解析：设销售价格定为每件 x元（50<xw 80）,每天获得利润y元，则:y=(x 50) P =105 x- 50x-40 2 '设 x 50= t,则0<tw 30,105t105ty= t+10 2=t2+20t+100-5< 上=2 500.t+华+20 20 + 20当且仅当 t=10,即 x=60 时，ymax=2 500.答案： 60三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）x,17. (12 分)已知 30vxv42,16v yv

13、24,求 x+ y, x-2y, y的取值氾围.解析：30 vxv 42,16 vyv 24,-46<x+y< 66. 16<y<24,一 48V 2yv 32,18<x-2y<10.30<x<42,111一< 一 v -24 y 16.218 .a b18. (12 分)已知 a, b, x, yCR+, x, y 为变量，a, b 为常数，且 a+b=10, x+y=1, x+y 的最 小值为18,求a, b.a b解析： x+y= (x+y) + 一 x y=a+ b+ bX+ a.y> a+ b+ 2ab=(小+邓K,当且仅当

14、空=ay时取等号. y x又(x+ y)min = (a + (B)2= 18 ,即 a + b + 2 ab =18又 a + b=10由可得a= 2b= 8a= 8或b=219. (12 分)解不等式 x + 1|+|x|<2.解析：方法一：利用分类讨论的思想方法.,一一 3当 xw 1 时，一x 1 x<2,解得一2<xw 1 ；当一1<x<0 时，x+1x<2,解得一1<x<0;1 当 x>0 时，x+ 1 + x<2,解得 0Wx<2. 31因此，原不等式的解集为x|-2<x<2.方法二：利用方程和函数的思

15、想方法.令 f(x) = |x+ 1|+ |x| 22x1 x> 0 ,-1 - K x<0 ,2x 3 x< 1 .作函数f(x)的图象(如图),.,31知当 f(x)<0 时，-2<x<2.故原不等式的解集为,31x|一2<x<2 .方法三：利用数形结合的思想方法.由绝对值的几何意义知，|x+1|表示数轴上点P(x)到点A(1)的距离，|x废示数轴上点P(x)到点0(0) 的距离.由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为31x|2<x<2 .方法四：利用等价转化的思想方法.原不等式？ 0WR+ 1|<

16、;2-|x|, .(x+1)2< (2-|x|)2,且 |x|<2, 即 0<4|x|<3-2x,且 x|<2. . 16x2v(3 2x)2,且2vxv2.一 31解得2vxv2.故原不等式的解集为420. (12分)求函数y=3x+ x2(x>0)的最值.解析： 由已知x>0,3x 3x 4万 + 2+x221. (12分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d(m)正比于车速与车身长s(m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为s(m),且车速为距恰为车身长s,问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q最大？解

17、析：由题意，知车身长 s为常量，车距d为变量.且d=kv2s,把 v= 50, d=s代入，得 k=7烹，把 d = gs 代入2 5002d：/示v2s，得v = 2542.所以 2 500v(km/h)的平方50 km/h时车|s 0<v< 25v2 ，d=则车流量益v2sv>25 2.1 000v-d + s1 000v32s0<v< 25v2 ,1 000v2- vs 1 + 2 500v>25 2 .当0<vW25艰时，Q为v的增函数，所以当 v= 2542时,50 000 23s，1 000vQ1 = -2s当 v>25 ,2时，1

18、000v1 000Q2= 2-= s 1+ 2 500 s v 2 5001 000° 1 vs . 2. J 2 50025 000s当且仅当1=-,即v=50时，等号成立.即当v= 50时，Q取得最大值Qz：25000因为Q2>Q1, v 2 500s所以车速规定为50km/h时，该地段的车流量Q最大.f x x>022. (14分)已知函数f(x)=ax24(a为非零实数),设函数F(x)=.f x x<0(1)若f(2)=0,求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，解不等式 1W|F(x)|W2;(3)设 mn<0, m+n>0,试判断 F(

19、m)+F(n)能否大于 0?解析： (1) . f(-2)=0,4a + 4=0,得 a=1, f(x)=- x2+4,x2 + 4x>0F(x) = 2.x2 4 x<0(2)/|F(-x)|=|F(x)|,. |F(x)|是偶函数,故可以先求x>0的情况.当 x>0 时，由 |F(2)| = 0,故当0<xW2时，解不等式1Wx2+4W2,得mwxw J3；x>2时，解不等式1Wx24W2,得於wxw证；综合上述可知原不等式的解集为x|>/2< x< V3或V5w x< V6或一3V x< 爽或一V6wxw 乖.(3).f(

20、x) = ax2+4,ax2 + 4x>0l- F(x) =2 ax24 x<0mn<0,不妨设 m>0,贝U n<0.又 m+n>0, 1. m> n>0 , 1- m2>n2, F(m) + F(n)= am2+ 4 an2 4=a(m2n2),所以：当a>0时，F(m) + F(n)能大于0,当a<0时，F（m）+F（n）不能大于0.第二讲证明不等式的基本方法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1 .已知自提，则下列不等式一定成立的是（）A. a2>

21、;b2B. lg a>lg bd.3T解析：从已知不等式入手：亳>? a>b（cw0）,其中a, b可异号或其中一个为0,由此否定 A、B、C,应选D.答案： D2 .若1<；<0,则下列结论不正确的是 （）a bb aC->2a bA. a2<b2B. ab<b2D. |a|+|b|>|a+b|行化1 11-b<0b-ra <0斛析： 因为 a<b<0? a b ? ab ? b<a<0.a<0且b<0a<0, b<0由此判定A、B、C正确，应选 D.答案： D3 .用反证法证明

22、命题“设 a, b为实数，则方程 x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设 是（）A ,方程x3+ax+b= 0没有实根B,方程x3+ax+b=0至多有一个实根C,方程x3+ax+b=0至多有两个实根D,方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a, b为实数，则方程x2+ax+b = 0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程 x2+ax+ b=0没有实根.故应选 A.答案： A4 .用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60。”时，反设正确的是（）A .假设三内角都不大于 60°B.假设三内角都大于 6

23、0°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60 °解析：至少有一个不大于 60度是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60。所以，反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60度.答案:5 .设x>0, y>0, x+y=1,5+5的最大值是(B. 2A. 1C.解析：x>0, y>0, 1- 1 =x+ 户 2邓y,1产而，木十$W、2 x+y =2（当且仅当x= y=2时取"="）.答案： B6 .用分析法证明：欲使 A>B,只需C<D,这里是的（）A.充分条件B.必要条件C

24、.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即 ？，所以是的必要条件.答案： B7 .已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中，正确的是（）A.log2a>0B.2a b<2, cc°a+b 1C.log2a+log2b< 2D .2b a<2.，一、. 12. 、i解析： 方法一：特值法令a=1, b= 2代入可得. 33方法二：因为0<a<b且a+ b=1,所以 0<a<1,所以 log2a<0.11<a b<0 所以 2<2a b<1,又因为b+a

25、>2所以2b+b>4, a ba b 'h - a+ b 21而 ab< 2=4，所以 log 2a + log2b< 2 成立.答案： C8. a>0, b>0,贝U a>b”是"a1>b 1” 成立的()a bA .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件解析：a-b+1= a- b+ a-b = (ab)1+ 一a babab,. a>0, b>0,1 a>b? (a- b) 1 + 4 >0? a->b- 1. aba b-11 可得a>b”是a 1>

26、b 1成立的充要条件.a b答案： C9.设a>0, b>0,则以下不等式中不恒成立的是()1 1A. (a+ b) a + b >4B. a3+b3R2ab2C. a2+ b2+2>2a + 2b解析： 因为(a+ b) a+b >2'Jab = 4，所以A正确 a3+ b3>2ab2? (a b)(a2+abb2)>0,但 a, b 大小不确定，所以 B错误.(a2+b2+2)(2a+2b)=(a 1)2+(b1)2>0,所以 C 正确.1|a b|> 5-加？ 1|a b|十 加>血？ 7b a b > 0,所以答

27、案： BD正确.a2 b210 .设 a, bCR + ,且 awb, P=豆 + 占，Q=a+b,贝U(A. P>QB. P>QC. P<QD. PWQa2 b2斛析：P Q = "b+(a+b)=a3+ b3 ab a+ba + ba2+b2-2ab a+b a b 2. a, b都是正实数，且 awb,a+ b a bab2->0, P>Q.答案： Aababab11 .若函数f(x), g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x) g(x) = ex,则有()A. f(2)<f(3)<g(0)B. g(0)<f(3)<

28、;f(2)C. f(2)<g(0)<f(3)D. g(0)<f(2)<f(3)解析： 因为函数f(x), g(x)分别是R上的奇函数、偶函数.所以 f( x)g(x)=f(x)g(x) = e x,f(x)-g(x)=ex,联立，解之得ex- e xex+ e xf(x) = -2, g(x)=- -2一代入数值比较可得.答案： D12 . “a = ；是"对任意的正数 4”+2>1”的()8xA .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析： 因为 2x+ a>2-/2xa,1一，当a = 8时2仔=1.但当a=2

29、时，2相 =4,当然有2x+ ；> 1所以是充分不必要条件.答案： A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上）13. 设 a=y3，2, b = J6J5, c= <7 46,则 a, b, c的大小顺序是 .解析： 用分析法比较，a>b?甲+472+® 8+2甲5>8+202,同理可比较得b>c.答案： a>b>c14. 已知三个不等式：ab>0; (2)-c<-d; (3)bc>ad. a b以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为 解析：运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式

30、（2）切入，去寻觅它与（1）的联系.-c<-d? c>d? -d>0 a b a b a b一 bc ad? -ab->0? ab bc ad)>0.答案： (1)、(3)? (2); (1)、(2)? (3); (2)、(3)? (1)115. 右 f(n)= /n2+1n, g(n) = n 一4吊一1, 45)=布，则 f(n), g(n), ©n)的大小顺序为 解析： 因为f(n) = 52n n =n2+ 1 + n'1 g(n)= n->/n2-1 = r yn 1 + n又因为 1 + n<2n</n2 +1 +

31、n,所以 f(n)<(j)(n)<g(n).答案： g(n)> ©n)>f(n)16. 完成反证法整体的全过程.题目：设a1, a2,，a7是1,2,3,7的一个排列,求证：乘积 p= （a1一 1）（a22）（a77）为偶数.证明：反设p为奇数，则 均为奇数.因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数=.=0.但奇数w偶数，这一矛盾说明p为偶数.解析： 反设p为奇数，则（a1 -1）, （a2-2）,，（a77）均为奇数.因为数个奇数的和还是奇数，所以有奇数=1) + 但22)+ (a77)= (ai+a2+ +a7)(1+2+3+ + 7)=0.但奇数w偶数，这

32、一矛盾说明p为偶数.答案： (ai 1), (a2 2),，(a77)(ai1)+(a2 2)+ + (a77)(ai+a2+ a7) (1 + 2+3+ 7)三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (12 分)若 a<b<c,求证：a2b+b2c+ c2a<a2c+ b2a+c2b.证明：a<b<c, "ab<0, bc<0, a c<0,于是：a2b+ b2c+ c2a (a2c+ b2a+ c2b)=(a2b a2c) + (b2c b2a) + (c2a c2b)=a2(b

33、 c) + b2(c a) + c2(a b)=a2(b c) b(b c) + c2(a b) b2(a b)= (b-c)(a2 b2) +(a-b)( c2 b2)=(b c)(a b)(a + b) + (a b)(c b)(c+ b)=(b c)(a b)a+ b (c+ b)=(b c)(a b)(a c)<0 , a2b+ b2c+ c2a<ab2 + bc2+ ca218. (12 分)已知 a, b, cC R+,且 a+ b+c= 1.求证：11 11 1-1 >8. a b c证明： a, b, cC R+ , a+b+c=1,/_1 = Z = b&#

34、177;c =b,c> 遍.a a a a十 a a '同理11>坐，1T>遍. b b c c由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，1 A J乐福38. a b ca b c，一 .，1一，一当且仅当a=b=c= 1时取等号. 319. (12分)求证： 由+也>1+砺.证明：用分析法证明V8+ 5>1 + ,710?8+3+ 2724>1 + 10 + 2师?2 ,24>2 ,10? ,24> ,10.最后一个不等式是成立的，故原不等式成立.20. (12分)若x, y>0,且x+ y>2,则号)和上广中至少有一个小于

35、2.证明：反设虫>2且>2,x, y>0,. 1 + y>2x,1 + x>2y 两边相加，则2+(x+ y)>2(x+ y),可得 x+ y< 2,与 x+y>2 矛盾,少有一个小于2.21. (12 分)已知 a, b, c, d 都是实数，且 a2+b2=1, c2+d2=1,求证 |ac+bd|W1.证明：证法一（综合法）因为a, b, c, d都是实数，所以|ac+ bd|< bc|+ |bd|w a2+ ba2+ b2+ c2+ d2又因为 a2+b2=1, c2+d2=1.所以 |ac+ bd|< 1.证法二（比较法）显

36、然有|ac+bd|W1? 1 < ac+ bd< 1.先证明ac+ bd > 1.- ac+ bd ( 1),11 =ac+ bd +2 2a =ac+ bd+ -2+b2 c2+d2a+ c 2+ b+ d2->0. ac+ bd 25 1.再证明ac+ bd< 1.11,.1 1 (ac+bd) = 2+ (ac+bd)a2 + b2 + c2 + d2bd a c 2+ b d 22 0， ac+ bd< 1.综上得 |ac+ bd|< 1.证法三（分析法）要证|ac+ bd|< 1.只需证明(ac+bd)2w1.即只需证明 a2c2+ 2

37、abcd+ b2d2< 1.由于a2+b2=1, c2+d2=1,因此式等价于a2c2+ 2abcd+ b2d2< (a2+ b2)(c2 + d2)将式展开、化简，得(ad-bc)2>0.因为a, b, c, d都是实数，所以式成立，即式成立，原命题得证.3,22. (14分)数列an为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn,数列bn为等比数列，且ai bi=1,数列ban是公比为64的等比数列，b2S2= 64.(1)求 an, bn；(2)求证：+ !<*Si &Sn 4解析：(1)设an的公差为d, bn的公比为q,则d为正整数，23. 3+(n1)d

38、, bn=qn Mban+ 1q3+nd _ d_64_ 26-Z 3+ n- 1 d q 64 2 5依题意有ban qS2b2= 6 + d q = 64,由(6+d)q= 64知q为正有理数，故 d为6的因子1,2,3,6之一, 解得d=2, q=8.故 an=3 + 2(n 1)=2n+1, bn=8n L(2)证明：. $ = 3+5+ (2n+1)=n(n+2).,1,1, 11,1,1,1+ + + =+ + +S1 S2Sn 1 X 3 2X 4 3X 5 n n+ 2=11423 2 4 3 5 n n+ 2111=2 1+2-n+113n+2 <4.第三讲柯西不等式与

39、排序不等式、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)1.若a, b R,且a2 + b2 = 10,则a+ b的取值范围是()A. -2乖，2V5B. -2710, 210C. -V10,阮D. -V5,响解析：由(a2+b2)(1 +1)>(a+b)2,所以 a+bC -2a/5, 2乖,故选 A.答案： A2.若 x2+x2+ + xn= 1, y1 + y2+ + y2= 1,则 x1y1 + x2y2+ xnyn 的最大值是()A. 2B. 1C. 3D. 3解析： 由(x1y1 + x2y2+ Xnyn)2W (X2

40、+x2+ xn)(y2+y2+ y2) = 1 ,故选 B.答案： B3.学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花（）A. 300 元C. 320 元D. 340 元解析：由排序原理知，反序和最小为320,故选C.答案： C111,4.已知a, b, c为非零实数，则（a2+b2+c2） a2+ 2+2的取小值为（）B. 9D. 18A. 7C. 12111解析：由（a2+b2+c2） 了+ 萨 +/= （1 + 1+1）2=9,，所求最小值为9,故选B.答案： B5.设 a, b, c>0, a2+b2+c2=3

41、,则 ab+bc+ca 的最大值为（）A. 0B. 13 3C. 3D.卷3解析：由排序不等式a2+ b2+ c2> ab+ bc+ ac,所以ab+bc+caw3.故应选C.答案： C6.表达式xj1 -y2 +y亚丁X2的最大值是（）A. 2B. 1C. 2D.-23解析： 因为x-71 -y2 +31 x2 <q x2+ 1 X2 1 y2+y2 = 1,故选 B.答案： B1 17,已知不等式（x+y）X+y >a对任息正实数x, y恒成立，则实数a的最大值为（）A. 2B. 4C.V2D. 16一一 ,11C解析： 由（x+ y） x+y >（1 + 1）2=

42、4,因此不等式（x+ y）（x+ y） ：+； >a对任意正实数x, y恒成立，即a<4,故应选B.答案： B8.设a, b, c为正数，a+b + 4c= 1,则 的+2#是的最大值是()A. 5B. 3C. 273D当解析： 1 = a + b+4c=(ya)2+(4B)2+(2迎21=崔平)2+()2+(2m)2.件 12+12)3一 一 -1> h/a+ 侬+2)3，3(木+ b+2/c)2<3,即所求为 73.答案： B9 .若 a>b>c>d, x = (a+b)(c+d), y= (a+c)(b+d),z= (a+d)(b+c),则x,

43、y, z的大小顺序为()A. x<z<yB. y<z<xC. x<y<zD. z<y<x解析： 因a>d且b>c,则(a+ b)(c+ d)<(a+ c)(b+ d),得 x<y,因 a>b 且 c>d,则(a+ c)(b+ d)<(a+ d)(b+ c),得y<z,故选C.答案： C10 .若0 v a v a2,0v b v b2且a1 + a2 = b +b2= 1,则下列代数式中值最大的是 ()A. a1b1+a2b2B. aa2+b1b21C. a1b2+a2bD2解析：利用特值法，令a1

44、 = 0.4, a2=0.6, b1 = 0.3, b2= 0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大.答案： A11.已知a, b, c, d均为实数，且a+b+c+ d = 4, a2+b2+c2+d2=q，则a的最大值为()3A. 16B. 10C. 4D. 2解析：构造平面 兀：x+ y+z+(a4)=0,球 O: x2+ y2+ z2= 136 a2,则点(b, c, d)必为平面 兀与球。的公共点，一七 |a 4|/16-从而了忘飞，【复习资料、知识分享】即 a2-2a< 0,解得 0WaW2,故实数a的最大值是2.答案： D12. x, v, z是非负实数，9x2+12y

45、2+5z2=9,则函数u= 3x+ 6y+5z的最大值是（）A. 9B. 10C. 14D. 15解析：u2= （3x+6y+5z）2& （3x）2 + （2艰y）2+ （®2 2什（W）2 + 洞2 = 9X9=81, 1. u<9.答案： A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上）111,13.已知a, b，cifc正数，且4a+9b+c=3,则z + E+c的取小值无 解析： 由 4a+9b+c=3, -4a+3b+ c= 1, 334 c 4 c 4 c-a+ 3b+ - -a+ 3b + - -a+ 3b+ -3 3333

46、3+K+abc4 13bl c c 14al c 1114al 3b33 a 3a 3b 3b 3 3c c53b4ac4ac3b= 3+r+ -+ + + + + 3a3b3a3c3bc54>3+-+ 4+ 二+ 2=12. 33答案： 1214 .已知a, b是给定的正数，则 - + 一吟的最小值是 . sin a cos a解析：M+-b2rSin2 a cos2 a=(sin2 a+ cos2 ) 0r -bF >(a+ b)2. sin a cos a答案：(a+b)2x, y, z,贝U x, y, z所15 .已知点P是边长为2娟的等边三角形内一点，它到三边的距离分别

47、为 满足的关系式为 , x2+y2+z2的最小值是 .解析：利用三角形面积相等，得2x2#（x+ y+z） = 243x（2镜）2,即 x+ y+z= 3;由(1 + 1+ 1)(x2+y2+z2)+(x+ y+z)2=9, 则 x2+ y2+ z2> 3.16 .若不等式|a1|>x+2y+2z,对?足x2+y2+z2=1的一切实数x, y, z恒成立，则实数 a的取 值范围是.解析：由柯西不等式可得(iz + ZZ + ZW+yZ+z'lx+Zy+Zz)2,所以x+2y+2z的最大值为3,故有 |a- 1|>3,a>4 或 aw 2.答案： a>4或a

48、w2三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17 . (12 分)已知 a2+b2=1, x2 + y2=1.求证：ax+ by< 1.证明：a2+ b2= 1, x2 + y2=1.又由柯西不等式知 . 1 = (a2 + b2)* + y2)>(ax+ by)21 > (ax+ by)2,1 > |ax+ by|> ax+ by,.所以不等式得证.18. (12分)设x2+2y2=1,求 产x+2y的最值.解析： 由 |x+2y|=|1 x+W 小丫 :x2+ 2y2 = g当且仅当1=甯，即x=y= 雪时取等号.

49、所以，当x=y=9时，厮ax=炉.当 x=y=当时，即in= 43.19. (12 分)设 a>b>0,求证：3a3+2b3>3a2b+2ab2.证明：a> b> 0,1. a>a>a> b>b>0, a2>a2>a2> b2> b2> 0,由顺序和 乱序和，得a3+ a3+ a3 + b3+ b3>a2b+ a2b+ a2a+ ab2 + ab2.又 a2b+a2b+ a2a+ab2+ ab2> 3a2b + 2ab2.则 3a3+2b3>3a2b+2ab2.20. (12 分)已知

50、x, y, zCR,且 x+y+z=3,求 x2+y2+z2 的最小值.解析： 方法一：注意到x, y, zC R,且x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到(x2+y2+z2)(1 2+12+12) (x T y 小z 2)=9,从而x2+y2+z2>3,当且仅当x= y=z=1时取“=”号，所以x2+ y2+ z2的最小值为3.方法二：可考虑利用基本不等式“a2+b2>2ab”进行求解，由 x2+ y2+ z2= (x+ y+ z)2- (2xy+ 2xz+ 2yz)>9- (x2+y2+x2+z2+y2+z2),从而求得x2+y2+z2>3,当且仅当x=y=z=1

51、时取“=”号，所以x2+y2+z2的最小值为3.21. （12分）设a, b, c为正数，且不全相等，求证:2229，一.a+b b+c c+a a+b+c证明：构造两组数yja+ b, <b+ c, /c+a;111，一，一j ,贝U由柯西不等式不于5/a+ b bjb-c c yc+ a111°(a+b+b + c+c+a)=+bZ百“1十、1)2,r111即 2(a+ b+ c) + -'a+ b b + c c+a十日 2,2,2 、9于 -rr+ ,77-+ - -TT7- a+b b+c c+a a+b+c2,2,2、9+ ：- > -, a+b b+

52、c c+a a+b+c由柯西不等式知,中有等号成立？ 牛=甲=用 a+b ?b + c c+aa+ b= b+ c= c+ a a= b= c.因题设a, b, c不全相等，故中等号不成立，于是2,2,291+X11+X21 + Xnn+1+ r- + -： TT-.a+b b+c c+a a + b+c22. (14 分)设 X1, X2,，XnCR + ,且 X1+X2+ Xn= 1 ,求证:证明： 因为X1 + X2+ Xn= 1 ,所以 n+1=(1+X1)+(1+X2)+ + (1+Xn).X2x2X2又 丁 一+ + (n+ 1)1 + X11 + X21 + Xn '&q

53、uot;X2X2X2(1 +X1)+(1+X2)+ + (1+Xn)+ +1 + X11 + X21 + Xn> (X1 + X2+ + Xn)2= 1 ,”,、，X2X2X21所以+ +>1 + X1 1 + X21 + Xn n+1第四讲数学归纳法证明不等式、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1111 .用数学归纳法证明 1 + 2+1+ 2，<n（nC N , n>1）时，第一步应验证不等式 （）一 ，1八A. 1+2<2八. 1,1C. 1 + 5+3<32 31 1B. 1 + -

54、+-<22 3 1 1 1解析:nCN*, n>1,，n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为 22三=3 故选B.D- 1 + 2+3+/3答案： B12 .用数学归纳法证明 12+ 32+ 52+ (2n 1)2 = §n(4n21)的过程中，由n=k递推到n= k+1时, 等式左边增加的项为()A. (2k)2B. (2k+ 3)2C. (2k+ 1)2D. (2k+ 2)2解析： 把 k+1 代入(2n1)2得(2k+ 21)2即(2k+ 1)2,选 C.答案： C3 .设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对 角线的条数岫+1)为()A . f(n)+n + 1B. f(n)+nC. f(n)+n1D, f(n) + n2解析： 凸n+1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(n)+n1条对角线，故选 C.答案： C.2 ,6-5 .3-7 ,1-10 ,24观察下列各等式：0 十三=2,三+三=2, 口 +口 =2,记；十二 =2,依照以上各式成立的