西南大学《数理统计》作业及答案

1、数 理 统 计 第-21、设总体X服从正态分布 N(,)，其中n 2,则下列说法中正确的是()。2 n2 .(A) (X i )是统计重 n i i2 n(C) (Xi)2是统计量n 1 i i已知， 2未知，Xi,X2, ,Xn为其样本,2 n2 一，、.一(B) X i是统计重n i i n2 一 ,一(D) Xi是统计量n i i2、设两独立随机变量X N(0,1) , Y 3X -=-服从(Y2一、 4X3、设两独立随机变量 X N(0,1) , Y (16),则衣服从(4、设X1， ，Xn是来自总体X的样本，且EX,则下列是 的无偏估计的是(5、设 X1 ,X2,X3,X4 是总体_

2、2N(0,)的样本,2.一一 一未知，则下列随机变量是统计量的是(A) X3/；(B)4Xi；(C)442 ,2X1;(D) Xi /i 16、设总体 X N( , 2),X1,L ,Xn为样本，X,S分别为样本均值和标准差，则卜列正确的是(7、设总体X服从两点分布Bp是未知参数， X1, ,X5是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为(A ) . X1X2(B ) maxXi,1(C) X5 2p(D ) X5X18、设Xi, ,Xn为来自正态总体N(2)的一个样本,2 , 一未知。则2 , 一，的最大似然估计量为(1、n(Xii 1)21 n(B) Xin i 12/1X (C

3、)n 1(Xi、2)(D)n2Xi Xi 1(D) ; 2、(C);3、(C); 4、(A); 5、(B);6、(C) ； 7、( C )；8、(B) o第二次2、i、设总体XN( , 2), Xi, ,Xn为样本，X,S分别为样本均值和标准差，则弧X)服从()分布.S2、设Xi,Xn为来自正态总体N(2)的一个样本,2 .一 、则的置信度为的区间估计的枢轴量为(n2Xi(A)2(B) 口Xi(C)i n- 2-Xi X i i(D)n2Xi Xi i3、在假设检验中，下列说法正确的是(A)(B) (C) (D)如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； 如果备择假设是

4、正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误;第一类错误和第二类错误同时都要犯；如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。4、对总体2、X N( ,)的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间()。(A)平均含总体95%的值(C)有95%的机会含样本的值(B)平均含样本 95%的值(D)有95%的机会的机会含的值5、设.是未知参数 (A)极大似然估计的一个估计量,(B)有偏估计，则.是的(C)相合估计6、设总体X的数学期望为 ,Xi ,X2 ,L ,Xn为来自(D)矩法估计X的样本，则下列结论中正确的是(A) X1 是(O Xi 是).的

5、无偏估计量.的相合(一致)估计量(B)(D)XiXi是的极大似然估计量.不是 的估计量.7、设总体X N(2),2 未知，Xi,X2,L,Xn为样本,2S为修正样本方差,则检验问题：H 0:Hi :0 ( 0已知)的检验统计量为(,n i X(A)0,一 (B)Si、(D) ; 2 (C) ; 3、(A) ; 4、(D);第三次5、(B)(O；6、i、设总体X服从参数为的泊松分布P()，本，则DX2、设Xi, X2 ,X3为来自正态总体 XN(,0,一(D)(A) ; 7、 (D).Xi , X 2 ,Xn是来自总体X的简单随机样2、)的样本，若aXi bX2CX3为的一个无偏估计，则a b

6、c2、3、设X N(,)，而1.70, 1.75, 1.70, 1.65, 1.75是从总体 X中抽取的样本，则 的矩 估计值为。 24、设总体X服从正态分布 N(,), 未知。X1, X2, ,Xn为来自总体的样本，则对假设H0：2(2; H1：2(2进行假设检验时，通常采用的统计量是 ,它服从 分布，自由度为。.1015、设总体X N(1,4),X1，X2, L , X10为来自该总体的样本，X -Xi，则10 i 1D(X) .6、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是 .7、已知 F0.9(8,20) 2,则 F0.1(20,8) .8、设XUa,1, X1,Xn是从总体

7、X中抽取的样本，求 a的矩估计为 9、检验问题：Ho：F x F % , Ho：F x F X0 (F0 x含有l个未知参数)的皮尔逊 2检验拒绝域为10、设X3X2, ,X6为来自正态总体N(0,1)的简单随机样本，设若使随机变量CY服从2分布，则常数C x 5,则 的置信2 11、设由来自总体 N(0.92)的容量为9的简单随机样本其样本均值为度为0.95的置信区间是 ( 0.9751.96 )则最小二乘估计量为Y X12、若线性模型为E 0,Cov1、3、1.71, 4、40n 1,5、2/5, 6、独立性，代表性;7、1/2; 8、2X 1; 9、r ni n?i 2i 1 np?n

8、1 l ； 10、1/3; 11、(4.412, 5.588)； 12、? XX 1 XY第四次1、设总体X服从两点分布 B （1, p）,其中p是未知参数， Xi,L ,X5是来自总体的简单随机样本。指出 X1 X2,max Xi,1i 5 ,X5 2p, X52X1 之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么?2、设总体X服从参数为（N, p）的二项分布，其中（N, p）为未知参数,Xi,X2,L ,Xn 为来自总体X的一个样本，求（N, p）的矩法估计3、设Xi,X2,L ,Xn是取自正态总体 N21的一个样本，试问 S2 Xi Xn 1 i 12 .是的相合估计吗?X 2-4、设连续型总

9、体 X的概率密度为 p X,0 , X1,X2,L ,Xn 来自总-e 2 ,x 00, x 0体X的一个样本，求未知参数的极大似然估计量？，并讨论的无偏性。5、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.132.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉长服从正态分布。若已知b =0. 01 （厘米），试求总体均值的0.9的置信区间。（u0.95 1.65 ）6、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布N 2, 22 ,为比较两台机床的加工精度有无显着差异

10、。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，结果如下:总体样本容量直径x（机床甲）820.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9Y（机床乙）720.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2试问在a =0.05水平上可否认为两台机床加工精度一致?（F0.975 6,75.12,FO.975 7,65.70.）7、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列：编号12345678910服药前血压134122132130128140118127125142服药后血压1401301351261341381

11、24126132144假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为0.05,从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论?1、解：X1 X2,max Xi ,1 i 52X5 Xi都是统计量， X5 2p不是统计量，因p是未知参数2、解：因为 EX Np,EX2 DXEX 2 Np 1 p.2in 2 八Np ,只需以X -Xi2分n i i3、别代EX ,EX2解方程组得X2S2解：由于一服从自由度为n-12,-分布，故4222_ES ,DS 2 2 n 1n 1从而根据车贝晓夫不等式有0 P S22DS22-21 n 2 一0,所以S Xi X 是n 1 i 1n InnInxii

12、 1d In Ld0,得nXi2i 12n.由于E?二 1EX2n 2x2 - e 2 dx02 x 一 e2因此的极大似然估计量的无偏估计量的相合估计。4解：似然函数为n2Xii 125、,22解： 0.01 ,X1 2.14162.10 L2.112.125,置信度 0.9,即=0.1 ,查正态分布数值表，知1.65U1/20.95,即 P U1.65 10.90，从而U1/2U0.951.65, y=U1/20.01,161.65 0.004 ,所以总体均值的0.9的置信区间为nU1/2 , Xn U1 /22.125 0.004,2.125 0.0042.121,2.129 .6、解：

13、首先建立假设：在 n=8 , m=7, a =0.05, 22故拒绝域为 F 0.195,or F 5.70 ,现由样本求得 S1 =0.2164, S2 =0.2729,从而 F=0.793,2.2均未知，这些未落入拒绝域，因而在a =0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。7、解：以X记服药后与服药前血压的差值，则 X服从N资料中可以得出 X的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2待检验的假设为H0:0,H1:0这是一个方差未知时，对正态总体的土值作检验的问题，因此用t检验法当TX_* t1 /2 n 1时，接受原假设，反之，拒绝原假设。依次计算有|S/vn| _1

14、_21_2_2_x 6 8 L 7 23.1,s2 6 3.1 L 2 3.117.6556,1010 13.1 0 t -f 2.3228 ,17.6556/10由于t1 /2 n 1 t0975 92.2622, T的观察值的绝对值t 2.3228 2.2622.所以拒.绝原假设，即认为服药前后人的血压有显着变化1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料:日售出台数2 3 4 5 6合计天数20 30 10 25 15100求样本容量n,样本均值和样本方差。7 ._ _2.2、设X1,L ,X7为总体X服从N 0,0.25的一个样本，求 PXi2 4i 1(02975 716.01

15、28)3、设总体X具有分布律X123Pk窿2 0(1- 0)(1 - 0) 2其中0(0长1)为未知参数。已知取得了样本值X1 = 1, X2=2, X3=1,试求0的最大似然估计值。4、求均匀分布U 1, 2中参数1, 2的极大似然估计.均值为XA 81.31 ,方差为sA 60.76；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为2Xb78.61,方差为Sb48.24。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差A B的置信水平为0.95的置信区间。(t0.975 227.266)6、设A, B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量值的2

16、222修正万差分别为Sa 0.5419, Sb 0.6065 ,设a和b分别为所测量的数据总体(设为正态 22总体)的万差，求万差比A / B的0. 95的置信区间。7、某种标准类型电池的容量(以安-时计)的标准差1.66,随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下146, 141, 135, 142, 140, 143, 138, 137, 142, 136设样本来自正态总体N( , 2), 2均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设(取0.05) : H 0 : 21.662, H1 : 21.66208、某地调查了 3000名失业人员，按性别文化程度分类如下:文化程度 性别大专以上中专

17、技校高中初中及以下合计男4013862010431841女20724426251159合计60210106216683000试在a =0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。(2 37.815)0.95第五次1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：日售出台数2 3 4 5 6合计天数20 30 10 25 15100求样本容量n,样本均值和样本方差。72.2、设Xi,L ,X7为总体X服从N 0,0.25的一个样本，求 PXi4i 1,2一一 一(0.975 716.0128)3、设总体X具有分布律X123Pk2 0(1- 0)(18) 2其中0(0长1)为未知参数。已

18、知取得了样本值X1=1, X2=2, X3=1,试求0的最大似然估计值。4、求均匀分布U 1, 2中参数1, 2的极大似然估计.5、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平2均值为Xa 81.31 ,方差为Sa 60.76；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为2Xb78.61,方差为sB2 48.24。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差A B的置信水平为0.95的置信区间。（t0975 227.266）.6、设A, B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量值的2222修正万差分别为S

19、a 0.5419, Sb0.6065 ,设 a和b分别为所测量的数据总体（设为正态22总体）的万差，求万差比 a/ b的0. 95的置信区间。7、某种标准类型电池的容量（以安 -时计）的标准差1.66,随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下146, 141, 135, 142, 140, 143, 138, 137, 142, 136设样本来自正态总体 N（ , 2）, 2均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取0.05） : H。： 2 1.662, H1 : 21.662O8、某地调查了 3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：试在a =0.05水平上检验失业人员的性别与文化

20、程度是否有关。（37.815）0.951、解：样本容量为 n=100差，样本修正方差分别为，- Xi 0 c、， 一，一Xi与总体X有相同分布，故 2Xi服从N 0,1 ,则0.574 Xi2服从自由度n=7的2 -分布。因为i 177P 4 Xi2 161 P 4Xi2 16，查表可知 o975 716.0128,.i 1i 10.025.样本均值，样2、解：因每个Xi 00.57Xi217Xi2文化程度 性别大专以上中专技校高中初中及以下合计男4013862010431841女20724426251159合计602101062166830003、解：似然函数l( e)PXi Xi PXi

21、1PX2 2P(X3 1ln L( 0)=ln2+5ln 什ln(1 0)求导d ln L(0)51dTe 6 1 e得到唯一解为?立64、解：由X服从a, b上的均匀分布，易知EX 上上，EX2 DX22EX2b a12求a,b的矩法估计量只需解方程?2,得？12X3Sn5、解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差A B的置信水平为0.95的置信区间为6、解：n=m=10, 1- a =0.95 , = =0.05,Fi /2 n 1,m 1F0.975 9,94.03,F ? n从而SA1SA1SB F1 /2 n 1,m 1 S； F /2 n 1,m 11,m 1F1 /

22、2 m 1,n 10.2418 ,0,0.541910.222,3.6010.6065 4.03 0.6065 0.2418故方差比A/ B的0.95的置信区间为0,222 , 3.601。7、这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。 检验统计量为_ 2(n 1)S1.662代入本题中的具体数据得到2(10 1) 121.66239.193。检验的临界值为0975 (9) 19.022。因为2 39.193 19.022 ,所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设H 0,即认为电池容量的标准差发生了显着的变化，不再为 1.66。8、解：这是列联表的独立性检验问题。在本题中 r=2, c=

23、4,在a =0.05T,2.2._ 2 一一0.95 r 1 c 10.95 37.815,因而拒绝域为：W7.815 .为了计算统计量(3.4),可列成如下表格计算ni. n.j / n ：大专以上中专技校局中初中及以下男36.8128.9651.71023.61841女23.281.1410.3644.41159合计60210106216683000从而得由于22240 36.836.8220 23.223.22625 644.4 7.236,=7.3267.815 ,样本落入接受域，从而在644.4a =0.0冰平上可认为失业人员的性别与文化程度无关。1设X1,X2是取自正态总体 N,1

24、的一个容量为2的样本，试证下列三个估计量都是科的、一 ，一 213无偏估计量：2X1 1X2,3X1 332 4可见第三个估计量更有效。111,-X2,-X1 -X2,并指出其中哪一个估计量更有效。 42 21222设X1,X2,L ,Xn是取自正态总体22的一个样本，试证 S2_1 2 IXiX 是耕=所以2的相合估计。57w二证明：由于 白 服从自由度为n-1的2-分布，故4j(,E寸三 02 Hp 三-07 5F从而根据车贝晓夫不等式有的相合估计。2.14 2.10 2.13 2.15 2.132.11设钉长服从正态分布，试求3随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）2.14

25、2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11总体均值的0.9的置信区间。（1）若已知b =0. 01 （厘米），（2）若b未知。cr1 =0,= (2,14 + 2.10 +-F2.il) = 2.125解：(1)16 ,置信度0.9,即a =0.1,查正态= Ofit. -) = 0 95 PflEZl& 1.65)= l-ff= 0.90分布数值表，知 l m ,即u ,从而为.1-0/2(2) b未知0.01xl.65 = 0,004所以总体均值的0.9的置信区间= 2,125-0X04,2.125+0,004 = 2,1212.129工二2.

26、125看=（244一2.125户+ 10-2.125）?+（）112125）=0.00029置信度0.9,即a =0.1,自由度n-1=15 ,查t-分布的临界值表所以置彳t度为0。9的R的置信区间是4某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6, 7.9, 9.3, 10.7, 11.2, 11.4,9.8, 9.5, 10.1, 8.5 （单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6, 10.2, 11.7, 12.3, 11.1, 10.5, 10

27、.6, 12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。答：设正态总体 &厅分别表示施肥和不施肥的每1/20亩的水稻收获量，据题意，有t a （期+附一 2） - 2.12对1-a =0.95,即a =0.05 ,查t分布表（自由度为 n+m-2=16）,得人手，于是所以在置信概率 0。95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产0.6到2.8市斤。1某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布N 100,1.152，某日开工后，随机抽查 10 箱，重量如下（单位：斤）：99.3,

28、 98.9, 100.5, 100.1 , 99.9, 99.7, 100.0, 100.2, 99.5, 100.9,问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100有显着差异（给定水平a =0.05,并认为该日的 0仍为1.15答：以该日每箱重量作为总体占,它服从）,问题就归结为根据所给的样本观察值对方差已知的正态总体检验,可采用U检验法。原假设凡 = 1 0 ,由所给样本观察值算得云二 99.9，于是对于a =0.05,查标准正态分布表得3 ，因为“1-1%，所以接受“口，即可以认为该日每箱重量的数学期望与100无显着差异，包装机工作正常。2设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标

29、准重量为500克，标准差不得超过 10克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取 9袋，测得其净重如下（单位：克） 497 , 507 , 510 , 475 , 解：均取未知，检验凡d二说二世一%dn户484,488,524,491 , 515 .问此时包装机工作是否正常 （0.01）选取检验统计量：端 27（建 1），计算得/, 20-$ ,在n=9, a =0.05时,因此此时包装机工作是危=15,707 o拒绝域小总，T /匕3 正常的。3由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从N 1,7.5 N 2,2.6 .现从两矿各抽n=5, m=4个试件，分析其含灰率为（）甲矿24.320.82

30、3.721.317.4乙矿18.216.920.216.7问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望1, 2有无显着差异（显着水平a=0.05） ?答：分别以甲乙两矿所采煤的含灰率作为总体4和总体不，问题归结为根据所给的样本观察值对方差已知的两个正态总体检验= 可采用U-检验法。原假设/为二处,由所给样本观察值算得耳=21.53 = 18 ,于是 =1 64对于a =0.10 ,查标准正态分布表得1 I,因为口|一 j,L6，,所以拒绝 为 即可以认为%出有显着差异。豆4两台车床生产同一种滚珠 （滚珠直径按正态分布见下表），从中分别抽取8个和9个产品,比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（a=0

31、.05） ?甲床15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8乙床15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.114.8答：已知 n=8, m=9, a =0.05 ,假设 “。 U 二/，” =0.05 , “ /2 =0.025 ,第一自由度n-1=7,第二自由度 m-1=8,在 正。成立的条件下选取统计量时 服从自由度分别为 7, 8的F分布查表：与9乃(7闾.53,因为f=3.694.53,所以接受假设儿，即可以认为两台车床生产 的滚珠直径的方差相等。5自某种铜溶液测得 9个铜含量的百分比的观察值为8.3,标准差为0.02

32、5。设样本来自正态总体N( , 2) , 2均未知。试依据这一样本取显着性水平0.01检验假设：H0:8.42, H1:8.42。解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题， 检验统计量为,X 8.42 tOs/ . n代入本题具体数据，得到 t 8.3 8.经14.4。0.025/ . 9检验的临界值为t0.01(8)2.8965。1 从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量(单位：kg)为：230, 243, 185,240, 228, 196, 246, 200。(1)写出总体，样本，样本值，样本容量；(2)求样本的均值，方差及二阶原点距。答：(1)总体为该批机器零件

33、重量E ,样本为九，量,样本值为230, 243, 185, 240,228, 196, 246, 200,样本容量为 n=8;_1 1F = -(230+243 + 185+240 + 228+196+26 +200) = 221(2)=2 一“.2 .2设总体X服从正态分布 N , ，其中 已知， 未知，Xi,X2,X3是来自总体的简 单随机样本。(1)写出样本Xi,X2,X3的联合密度函数;/X X2 X3X2 X22 X32,（2）指出23, max Xi,1 i 3 ,X1 2 ,-22-之中哪些是统计量,3哪些不是统计量。答：（1）因为X服从正态分布（启/）,而无如苍是取自总体X的

34、样本，所以有Xi服故样本的联合密度函数为P（孙孙口尹（叫j = 不（2）含任何未知参数，而叼：叼+段,max （工W 3）.禺 + 2区都是统计量，因为它们均不包不是统计量。3设总体X服从两点分布B（1, p）,其中p是未知参数，Xi,L ,X5是来自总体的简单随机样本。指出X1 X2,maxXi,1 i 5 ,X522 P, X5 X1之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么?答：X1maxX2,XMX51 i 5Xi）2都是统计量,X5 2p,不是统计量，因p是未知参数。4设总体服从参数为的指数分布，分布密度为P（x；）e0,x,x求 EX, DX 和 ES2.解：由于一次所以_ 1 1 * 1 1 B 1 1 1=七营制=铲二就:I W一1 wH1破2 =现一-0=一y D()=K:K%-三 1 七 1/ (”1)第。5设总体X服从N 0,1 ,样本X1,L ,X6来自总体X,令222YX1X2X3X4X5X6 ,求常数C,使CY服从2 -分布。解：因为样