第六章数理统计学的基本概念

1、精品文档第六章 数理统计的基本概念一、教学要求1 .理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念, 掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。2 . 了解 必分布、t分布和F分布的定义和性质，了 解分位数的概念并会查表计算。3 .掌握正态总体的某些常用统计量的分布。4 . 了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。本章重点：统计量的概念及其分布。二、主要内容1 .总体与个体我们把研究对象的全体称为总体（或母体），把组成 总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的 某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总 体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X 的分布函数称为总体分

2、布函数。当X为离散型随机变量时， 称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时, 称X的密度函数为总体密度函数。当X服从正态分布/区W 时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型：(1)1未知，但M已知；(2)b"未知，但已知；(3) 和b"均未知。2.简单随机样本数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法， 即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断， 首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行 测试或观察得到一组数据小孙小，这一过程称为抽样。由 于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场 上，设有可能得到的值为苞送维随机向量（与莅，

3、耳） 称为样本。n称为样本容量。 的，孙小）称为样本观测值。如果样本（苞名，苞）满足（1）苞名相互独立；（2）苞名，区服从相同的分布，即总体分布；则称（苞遥、耳）为简单随机样本。简称样本。设总体X的概率函数（密度函数）为了，则样本（苞名、耳）的联合概率函数（联合密度函数为）/(公,电,4) = 口/5). 2-13 .统计量完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设火汽,，区是 来自总体X的一样本，片区,玛，砥J是一元函数，如果 g中不含任何总体的未知参数，则称为一个统计 量，经过抽样后得到一组样本观测值与，n，一小，则称 式勺,叼,为统计量观测值或统计量值。4 .常用统计量(1)样本均值:一

4、1 «工二一£区«j-iGAGGAGAGGAFFFFAFAF=-ski- = -z2-2(2)样本方差:n i-1注 i-1/、 , A卫商IE泪孑(3)样本标准差： 保“ 它们的观察值分别为:这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。(4)样本(A阶)原点矩1 nAk=_fX：,k = l,2, « i-i(5)样本a阶)中心矩1 It修=_2(乂-歹)tA=2,3,其中样本二阶中心矩叫=之(乜_石2又称为未修正样本方 I差。(6)顺序统计量将样本中的各个分量由小到大的重排成X-X << X(/I)则称Xa),X,X为样本顺序统计

5、量,X-X为样本的极差。(7)样本相关系数:尾"房跪G，了其中：u分别为数据的,必的样本均值,X，S -分别为样本a标准差。5、直方图与箱线图（1）直方图先将所有采集的数据进行整理，得到顺序统计量，找出 其中的最小值巧“，最大值芭” 即所有的数据都落在区间 产上,现取区间x-上演“）+打（其中A可取0.5,1.5等），该 区间能覆盖区间,将区间-九" +A等分为机个小 区间（先取一个区间，其下限比最小的数据稍小，其上限比 最大的数据稍大，然后将这一区间等分为6个小区间，通常 较大时，取1020 ,当 <50时则机取56 o若机取得过大， 则会出现某些区间内频数为零，分

6、点通常取比数据精度高一 位，以避免数据落在分点上），小区间的长度记为, =（*二"）一（+匚火=/, 称为组距，小区间的端点称为组限， m数出数据落在每个小区间内的数据的频数力，算出频率或("12/),然后自左至右依次在各个小区间上做以 nA/% (i = 12/)为高的小矩形，这样的图形就称其为频率直方 图。显然这种小矩形的面积就等于数据落在该小区间的频率 工"12直方图的外廓曲线接近于总体X的概率密度曲 n线。(2) 分位数定义 设有容量为的样本观察值看,2.,X" J样本p(o<p<1)分 为数记为，它具有以下性质：(1)至少有“个观察

7、值小于 或等于；(2)至少有(i-p)个观察值大于或等于, 样本p分位数可按以下法则求得：将孙占,X”按从小到大的顺序排成工<X(2) < -1°,若“不是整数，则只有一个数据满足定义中的两点要求，这一数据位于大于小的最小整数处,即为位于阿+1处 的数。2。，若叩是整数，则%,X小都符合性质要求，故取木田与7 的平均值。飞叩川不是整p是整特别的：X。" med = <X +Ifn -2X 1 - 20. 25分位数又称为第一四分位数，又记为2； 0. 75分位数又称为第三四分位数，又记为4(3)箱线图：数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形，它是在基于以下

8、5个数据的图形概括：最小值M加C.MQ，最大值9做法如下：(1 )画一水平数轴，在轴上标记最小值M加,9，M.03,最大值 Max,在数轴上方画一个上下侧平行于数轴的矩形箱子，箱 子的左右两侧分别位于册03的上方，在M点的上方画一条垂 直线段，线段位于箱子的内部；(2)自箱子的左侧中点引一条水平线直至最小值上方；在 同一水平高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值上方。箱 线图完成。在数据集中某一个观察值不寻常的大于或小于该数集中的 其他数据，称为疑似异常值。第一四分位数0与第三四分位数a之间的距离：IQR = Q,-Q 称为四分位数间距，若数据小于0-1.5/0?或大于乌+ L5/0?,就 认为

9、他是疑似异常值。将上述箱线图的做法修改如下:(r )同(D(2，)计算3 =,若一个数据小于2 一 1.5/QR或大于0； + L5/0K ,则认为它是一个异常值,并以*表示；(3,)自箱子的左侧中点引一条水平线直至数据中除去疑 似异常值之后的最小值上方，再自箱子的右侧中点引一条水 平线直至数据中除去疑似异常值之后的最大值上方；这样做出的箱线图称为修正箱线图。6关于T分布(1) r (Gamma)函数r(a) = X xa-le-xdxy(s>0)它具有以下运算性质：r(a + 1) = aT(a);()= (/l 1)!, w N;特别地：771) = 1r（1）= H2的）= J。*

10、 Vx令6 = t => x =t2,dx = ltdt（：）=/e-2”/； .2tdt = 2=匚 J%令 / =广/由=/2 =（丁 山了 =（reTs）（XeT f）J-WJ-XJ -XJX=J °t rdr =九=I = & 所以*）=&(2)设随机变量x服从r分布，即：xr(a.6),其密度函数为：1士x。，-7 x >00ar(aa>0,6>0qita0定理：设随机变量X, y都服从，分布且相互独立，即:xr(&6), x串，。)其密度函数分别为:fxM = 1eard)0xX>0 qitaI.上ya e e y &

11、gt;03aT(a) . 尸 >0,6>0 qita0则z = x+丫服从参数为a+4,由Kir分布，即：x+y rg+d6)7、经验分布函数设不占,X”是总体尸的一个样本，用S(x),(一<x <+<o)表示不莅,。,中不大于x的随机变量的个数，定义经验分布函 数为:Fn(x) = -5(xX(-oo<x <+co) n例题1:设总体尸有一个样本值1,2,3,则经验分布函数为:0, x < 1%/<x <2吊 3=%,2 Wx <3l,x>3例题2：设总体厂有一个样本值1,1, 2,则经验分布函数为：0,x <1/

12、3（x） = < %<2hx>2格里汶科定理：（1933年）对于任意一实数一当-8时，居（X）以概率1收敛于分布函 数/（X）pllim sup |Fw（x）-F（x）| = oUl8.三个重要分布（1） /分布设吃,工2, ，区为独立标准正态变量，称随机变量U三+ E +幻的分布为自由度为n的*分布，记为。其密度函数为:1-1八I x2 e 2 %>°x)= 2"打(；)0性质：(1 )若%2则 E(/) = ,。(户=2因为 XjN(OJ)所以：E(Xj) = O,&(X；) = lE(X；) = D(Xj) = lE(/)= e(

13、63;x；)= f-1又 O(X；) = E(X；) (£(X：)2 =£(") 1=3-1 = 2," = 1,2,)其中：(2) /分布的可加性设Z： /(“J,。； /(%) 9并且相互独立，则有：7；+/(叫+2)(3) /分布的分位点对于给定的正数Q(O<a<l),称满足条件尸/ >/()= L：/(x恣 = a 的点N；()为/()分布的上Q分位点。(2) t分布设随机变量X与Y独立，则称的分布为自由度n的t分布，记为7小)。r分布又称为学生氏分布，其密度函数为:F(n +1)/21 t2 -h(t) = =：-(1 + )

14、 2 ,YOVfV+ocyjnfrr(n/2) nf分布的分位点：对于给定的正数a(O<a<l),称满足条件尸("，.() = J；J(f)=的点Q()为，()分布的上Q分位点。其中：，() = ()(3) F分布设随机变量U与V相互独立，U2%吐2限），则称V! m的分布为自由度的F分布,记为歹网2%密度函数为："用（*2 J mn+m J >。必入“”（外+也厂22160由定义知：若U廿3），贝4 _1尸（也） F尸分布的分位点对于给定的正数a（Ova<l）,称称满足:P（尸尸式,小）=7y/(y)dy=a的点（明M为F分布的以上分位点，且有9.

15、抽样分布(1)有限总体的抽样分布定理1、设总体中个体总数(也称总体大小)为N,样本容量为 (<N)且总体有有限均值"，方差则)£() = («)当抽样是有放回时 65)=君当抽样是无放回时b医)=联司君其中b(石即为刀的标准差。(2)单正态总体的抽样分布设总体X (不管服从什么分布，只要均值和方差存在)的均 值为,方差为为,占,X“是来自X的一个样本，取S?分别是样本均值和样本方差，则有：E(X) = D(X) = :.E(S2) = a2定理2、设为,心X”是来自正态总体xNgb?)的一个样本，K是样本均值，则有：(i)x N("£);

16、土N 7V(O,1) n b访定理3、设乂,*2,*“是来自正态总体xn(、，)的一个样本，冗S?分别是样本均值和样本方差，则有：«)"&2=4£(占-万2 a(_1) bb i.5)原与§2相互独立。定理4、设区,占,X”是来自正态总体万N(”)的一个样本，元S2分别是样本均值和样本方差，则有：(i)S2 =尸/() bb i.Fbcr缶i-D了T = X -幺 b（3）双正态总体的抽样分布定理5、设乂,*2，.*/与九丫2，匕,分别是来自正态总体N3，cr；）和V（%b；）的样本，且这两个样本相互独立，设x=lyxf.,F=±yy：.分别是这两个样本的样本均值；阳 占«2 Ms：='t(x厂打芯-方分别是这两个样本的样本 八 一1日,-11方差。则有:(又一歹)一(4一f(% + w2 - 2)2_(l)S；+(%-l闾证明：(1)因为s；,s；相互独立，则由尸分布定义(%-1)S：&叫 (w) -l,w, -1) = % Fg - I" -1)(w2-l)S;<y： ； a；(丐T)(2)斤F可血-四,至十至)所以 U = 二号/产N(O,1)er + 一Vwi %又因