第华罗庚杯赛决赛初一组试题及答案

1、总分第二十一届华罗庆金杯少年数学邀请赛决赛试题（初一组）（时间:2016 年 3 月 12 日 10:0011:30）一、填空题（每小题10分，共80分）1 .已知n个数x1，X2,，Xn,每个数只能取0, 1, -1中的一个.若X1 +X2 十十 Xn =2016,贝u X12015 +X2015 +x2015 的值为.号证赛参二二二二名姓 二二二二二二校学2 .某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同.张明 2月份白天 的停车时间比夜间要多40% , 3月份白天的停车时间比夜间要少 40% .若3月 份的总停车时间比2月份多20%，但停车费用却少了 20%,那么该停车场白 天时段

2、与夜间时段停车费用的单价之比是 .题答勿请内线封密3 .在9M 9的格子纸上，1父1小方格的顶点叫做格点.如右图， 三角形ABC的三个顶点都是格点.若一个格点P使得三角 形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”.那 么在这张格子纸上共有 个“好点”.4 . 设正整数x, y满足Xy -9x 9y =20,贝U X2+y2 =5 .甲、乙两队修建一条水渠.甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，两队所用的天数为 A；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分 之一，两队所用天数为B；甲、乙两队同时工作完成的天数为C.已知A比B多5, A是C的2倍多4.那么甲单独完成此项工程需

3、要 天.6 .已知 x +y + z = 5 ,2+1+1=5 , xyz =1,贝U x2 + y2 + z2=. x y z7 .关于x, y的方程组1-x y 二a2|x| -y = 1只有唯一的一组解，那么a的取值为.8 .右图是一个骰子的展开图，每个面是一个单位正方形.用四个骰子粘成 一个2父2父1的长方体放到桌面上，要求每 两个粘在一起的 面上的“点数”相同.长方体放到桌面上 的六个面分别记为 上、下、左、右、前、后六个面，两个 长方体不同是指对应 六个面的“点”的拼图不同.不考虑长方体的旋转，共 可以粘出.种不同的长方体、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9

4、.在恰有三条边相等的四边形中，有两条等长的边所夹的内角为直角.若从该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形 所对的角的度数.,求该直角10 .围着一张可以转动的圆桌，均匀地放着8把椅子，在桌子上对着椅子放有8 个人的名片.这8个人入座后，将圆桌顺时针转动，第一次转45、从第二 次开始，每次转动比上一次多转 45°.每转动一次，当某人对着自己的名片 时，取走自己的名片.如果入座时谁都没有对着自己的名片，那么桌子至少 转多少度才能保证所有入座可能的情况下8个人都拿到了自己的名片？11 .两张8父12的长方形纸片重叠地放置，有一个顶点重合，尺寸如 右图所示.问图中阴影部分的

5、面积是多少？1212 .证明：对任何非零自然数n,n33n221+ 2 n - 1 ,都是整数，并用3除余2。三、解答下列各题（每小题15分，共30分,要求写出详细过程）13 .如右图,ABCD是正方形，F是其两条对角线的交点,EBC边上，BE： EC =1： 2, DE与对角线AC的交点为G, 角形DFG的面积等于2.求正方形ABCD的面积.14 .排成一行的学生，从左到右1至3报数，最后一个人报在2.从右到左1至m报数，最后一个人报1,这里m与3互质.现凡报过1的学生出列，其余原 地不动，共留下62名，其中只有21对学生原来相邻.问原来有多少名学生？ m的值是多少？第二十一届华罗庚金杯少年

6、数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、填空题（每小题10分，共80分）题号12345678答案201625:16122003015-1288二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9.【答案】135。，45。【解答】在恰有三条边相等的四边形中，三条相等的边相邻，不妨设为AB = BC = AD .若直角顶点引出的对角线恰好把四边形分成两个等腰三角形,则有两种情况.图9-2图9-1（1）如图9所示，直角顶点4引出的对角线.4C分成的两个等腰三角形中，AB = BC、AD = AC .在等腰三角形且8。中：因为.铝= 3C = .4C：所以三角形H3C为等边三角形.进 而ZB

7、CA =/.CAB =60°, ZDAC =30°.在等腰三角形神中中：ZJCD = 1（180°-ZZ）JC）= 75oI所以 N5CD =135。.（2）如图9-2所示，直角顶点4引出的对角线4c分成的两个等腰三角形中，AB = BC、AC = CD .取40的中点及连接CE：贝IJCE_4P.所以刈CH.过3作* J,CE于£则四边形.43隹为矩形.所以BF =-AD=-BC.22在直角三角形BC尸中：因为5c = 25尸，所以N5CE=30。.因为.”=5C ,所以 Z.BCA = ZACE .得Z.BCA = NACE =15°.最终

8、，4BCD =45°.10.【答案】1260*【解答】按照题目的设定，第一次转45。，从第二次开始，每次转动比上一次多转45。，所以从第1次到第上次共转了-Arx(jt4-l)x45°.除以8的余数.要想保证每个人都拿到自己的名片，则需要每个人至少与桌子上的卡片位置对 上一次.从某个人名片开始顺时针记每张名片时应的椅子位置为第0J, 2= 3, 4, 53 6/号.第k次转动后.0位置的名片对应的椅子位置的号数为k123456789沁(4+1)136101521283645触(加1)除以8的余麴1362754454x(4+1)x452=ifcx(fc + l)452可以看出

9、.前7次旋转：第。号名片所处的位置各不相同：并且都不在0卡片的 起始位置,因此由抽屉原则：。卡片的主人一定可以拿到自己的卡片.由对称性, 旋转七次.所有的人都拿到了卡片.当旋转次数小于7时.第。号名片在第4号位置上没有停留过.如果第。号 的名片上的人正好坐在第4号位置上，则这个人就拿不到自己的名片.所以旋转的度数为28 x45 = 1260 .11.【答案】54【解答】如右图将重叠部分标上字母：连接,4U由于 .10 = 12, CD = 8-7 = 1,所以A4co 的面积=6, AC2 = 1+12 = 145.又N3=8,所以BC2= JC2-82 =145-64 = 81. BC=9.

10、因此M8C 的面积 2x8x9 = 36.2所以四边形ABCD的面积=6 - 36 = 42 .因此阴影部分面积8x12 -42 =54.12.【证明】首先，有«3+-w2 +-n-l=-(2n3 +3n2 +)-1 2221 , 1 z 、=+3w+1)-1 = -w(2w(«+1)+m+1|-12 2= w(A2+l)(2w+l)-l.因为+1)是偶数，所以1是整数.又-m(m+1)(2m+1)-1 = j"/"+DQ"+.) -1= /"Q'+LQ'+Q -3+2, 288而2威力?+1)(2+ 2)是三个相继的

11、整数的乘积：是3的倍数，是3和8的公倍数.所以，/-1被3除余2.三、解答下列各题(每小题15分，共30分，要求写出详细过程)13.【答案】40【解答】设正方形288的面积是q连接EF,见右图，则三角形BCF的面积=三角形DFC的面积=, 4三角形BE产的面积三角形EC尸的面积=幺 0三角形的面积=2 O三角形FED面积=三角形BED的面积-三角形BEF的面积=.由共边定是,a aAECF的面积_皿C的面积=CF 7_4 A£G一的面积一 ADFG的面积一才巴12得到：a = 40 .14.【答案】125,4【解答】设原来有N人，原来的队伍从左到右编号，1, 2,，N,则第一次报1 的有寸+ 1人，他们的编号是，V-2 3k+1, 3=0,12,-+1；第二次报1的有上1+ 1人，他们的编号是 mV-1wZ + L Z = 0sls2,-,-+1.m两次都报1的人满足条件:3/c+1 = m2 +1.因为GM = 1,所以，=3乙r = o2千甘两次都报1的人的编号是共计有若卜队.首先让第一次报1的人出列，出列宁+1人，留下的人成2人相邻一组共有三组和最右边一个一人组；让第二次报1而第一次不报1的人出现出来N-1 , + 1-N-13mN-13m队）.另一方面，第二次出列的除了最