求点到平面距离的基本方法

1、求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也 是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出 求点到平面的距离的几种基本方法.例 （2005年福建高考题）如图1,直二面角D AB E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB, F为CE上的点，且BF 平面ACE .（I）求证：AE 平面BCE;（11）求二面角8 AC E的大小；（田）求点D到平面ACE的距离.图1图2（I ）、（ H）解略，（田）解如下:、直接法2, A利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.如图l , AMl ,则AM . AM

2、为点A到平面 的距解：如图3,过点A作AG0EC ,连结DG ,CG ,则平面ADG /平面BCE ,平面BCE 平面ACE,平面ADG 平面ACE ,作DH AG,垂足为H ,则DH 平面ACE. DH是点D到平面ACE的距离.在RtADG中，DH 鬻 鬻等图3二、平行线法如图4, A l , l /,8为1上任意一点，AM , BN ，则AM BN.点A到平面的距离转化为平行于平面 的直线l到平面的距离，再转化为直 线l上任意一点B到平面 的距离.解：如图5,/平面ACE ,点D到平面ACE的距离转化为直线 DM到平面ACE的距离，再转化为点 M到平面ACE的距离.作MN CE,垂足为N,

3、平面CEM 平面ACE,:MN是点M到平面ACE的距离.在 Rt CEM 中，MNEM CM 2 22 33,一 6CE图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离 .如图AO6、7, l O,A,B l, AM , BN ,若 t,则 AM t BN .点 A到 BO平面 的距离转化为求直线l上的点B到平面 的距离.图6图7解：如图8, BD与AC的交点为Q,即BD 平面ACE Q,v DQ BQ ,.二点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.平面BCE 平面ACE , BF 平面ACE ,. BF是点B到平面ACE的距离.在 Rt BCE 中，BFB

4、C BE 2 22 3CE 、63图8四、线面角法如图9, OP为平面 的一条斜线，A OP,OA l,OP与 所成的角为， A到平面 的距离为d ,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有 d lsin .经过OP与 垂直的平面与 相交，交线与OP所成的锐角就是OP与 所成 的角，这里并不强求要作出A在 上的射影B,连结OB得.图9解：如图10, = BF 平面ACE ,平面BDF 平面ACE ,BQF为DQ与平面ACE所成的角为，则点D到平面ACE的距离 d DQ sin由（H ）知二面角B AC E的正弦值为 立,得sin3D到平面ACE的距离d 正-62-3图10五、二面角法如图11, l

5、 ,、 所成二面角的大小为，A , AB l , AB a,点A到平面 的距离AO d ,则有d asin .也就是二面角的大小，而不强 求作出经过AB的二面角的平面角.解：如图12,二.平面ACD 平面ACE AC,DQ 平面 ACD , DQ AC ,设二面角D AC E的大小为，则点D到平面ACE的距离d DQsin由（H ）知二面角B AC E的正弦值为3D到平面ACE的距离d 6图12六、体积法解：如图13,过点E作EO AB交AB于点O,OE二面角D AB E为直二面角， EO，平面 ABCD.设D到平面ACE的距离为h , Vd ace Ve acd，11 二 s ace h -

6、 S ACD EO.33AE 平面BCE , . AE EC.1 八 _1h万池dc eo2 2 1通-AE EC 12632 2.二点D到平面ACE的距离为经.3E图14|AD n| |n|七、向量法解：如图14,以线段AB的中点为原点O, OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过。点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O xyz ,AE 平面BCE , BE 平面BCE , AE BE ,在Rt AEB中,AB 2,0为AB的中点，0E 1,. A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE (1,1,0), AC (0,2,2).设平面ACE的一个法向量为n (x, y, z),则 AE n 0,即 x y 0, AC n 0, 2y 2z 0.解得y X, z x.令x 1,得n (1, 1,1)是平面ACE的一个法向量.ADz AD 2 AD (0,0,2) ACE d