沪科版七年级数学下册第八章8.3完全平方公式与平方差公式——完全平方公式典型例题讲义

1、8.3完全平方公式与平方差公式一一完全平方公式典型例题讲义例1利用完全平方公式计算：,2212(1) (2 3x);(2)(2ab 4a) ;(3 )(- am2b).例2 计算：(1) (3a 1)2;(2)( 2x 3y)2 ;(3)( 3xy)2 .例3用完全平方公式计算：2222(1) ( 3y -x)2;(2) ( a b)2;(3) (3a 4b 5c)2.3例4 运用乘法公式计算：(1) (x a)(x a)(x2 a2);(2) (a b c)(a b c);(3) (x 1)2(x 1)2(x2 1)2 .例5计算：,1o1 o11oo(1)(-x3)2x2;2)(2a b-

2、)(2ab); 3) (xy)2(xy)2.24221 c例6利用完全平万公式进行计算：(1) 2012;(2)992;(3)(30-)2.3例7 已知a b 3,ab 12 ,求下列各式的值.(1) a2b2;(2)a2 abb2;(3)(ab)2.例 8若3(a2 b2 c2) (a b c)2,求证：a b c.例1分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进 行计算.解：(1) (2 3x)222 2 2 3x (3x)2 4 12x 9x2;:、2222222(2) (2ab 4a)(2ab)2 2ab 4a (4a) 4a b 16a b 16a ;/八、1_212

3、2_2(3) (am 2b)am 2amb 4b .24说明：(1)必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该 公式；(2)在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现 (2 3x)2 4 12x 3x2 的错误.例2分析：(2)题可看成(2x) 3y2 ,也可看成(3y 2x)2; (3)题可看成(3x y)2,也可以看成(3x) y2,变形后都符合完全平方公式.解：(1) (3a 1)2 (3a)2 2 3a 1 129 a2 6a 1(2)原式 (2x)2 2 ( 2x) 3y (3y)24x2 12xy 9y2或原式(3y 2x)22_2(3y)2 3y

4、2x (2x)八 2 一29y 12xy 4x(3)原式(3x y)2(3x y)242_42(3x)2 3x y yc 2 c29x 6xy y或原式 (3x)2 2 ( 3x) y y29x2 6xy y2说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用.2例3分析：第(1)小题，直接运用完全平方公式 .x为公式中a, 3y为公 3式中b,利用差的平方计算；第(2)小题应把(a b)2化为(a b)2再利用和的 平方计算；第(3)小题，可把任意两项看作公式中a,如把(3a 4b)作为公式中 的a, 5c作为公式中的b,再两次运用完全平方公式计算.2 o 2o 4 oo斛：(

5、1) ( 3y -x) =(-x 3y)- x 4xy 9y3 392222(2) ( a b) =(a b) a 2ab b(3) (3a 4b 5c)2 (3a 4b)2 10c(3a 4b) 25c2_ 222=9a 30ac 40bc 25c16b 24ab说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：(a b)2 a2 b2,(a b)2 a2 b2.例4 分析：第(1)小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完 全平方式计算.第(2)小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项a c,和互为相反数的项b,所以先利用平方差公式计算(a c) b与(a c) b的积, 再利用完全平方

6、公式计算(a c)2;第三小题先需要利用幕的性质把原式化为(x 10(x 1)(x2 1)2,再利用乘法公式计算.解：(1)原式=(x2 a2)(x2 a2) (x2 a2)2 x4 2a2x2 a4(2)原式=(a c) b( a c) b (a c)2 b2_ 222=a2ac c b(3)原式=(x 1)(x 1)(x2 1)2 (x2 1)(x2 1)2/ 4284=(x1) x 2x 1 .说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幕的性质,以达到简化运算的目的.例5分析：(1)和(3)首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同我们继续应用公式.1解：(1) (x2

7、类项；第(2)题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，3)2 - x2 - x2 3x 9 - x2 9 3x ；444(2) (2a b1、.1、,、1,、-)(2a b ) (2a b) (2a b) 222221221(2a b)24a24ab b2;44(x y)2(x y)2 x2 2xy y2 (x2 2xy y2)2 c22c24x 2xy y x 2xy y 4xy .说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个 整体来研究.例6分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成 两个数的和或差.解：(1) 2012 (200 1

8、)2 2002 2 200 1 40401 ；(2) 992 (100 1)2 1002 2 100 1 9801 .2 30匕)12_12_2(3) (30)2 = (30 -)2 30233900 20说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数 必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的.例7分析：(1)由完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 ,可知 a2b2(a b)2 2ab ,可求得 a2 b2 33；(2) a2abb2 a2 b2 ab 33 ( 12)45；(3) (ab)2a2 2ab b2 33 2 ( 12)57 .解：(1)a2b2 (

9、a b)2 2ab 32 2 (12) 924332) ) a2ab b2 (a2 b2) ab 33( 12)3312 453) (a b)2 a2 2ab b2 (a2 b2) 2ab33 2 ( 12) 33 24 57说 明：该 题 是 (a b)2 a22ab b2是 灵 活运用 ， 变形 为a 2 b 2 ( a b) 2 2ab ，再进行代换例 8分析： 由已知条件展开，若能得出(a b)2(bc)2 (c a)20,就可得到 a b 0,b c 0, c a 0, 进而 a b, b cc a a b c, 同时此题还用到公式 (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2 a

10、c 2bc 证明：由 3(a2b2c2 )(ab c)2 , 得2222223a23b2 3c2a2b2c22ab 2bc2ac2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc 0.则 (a2 2ab b2) (b2 2bc c2) (c2 2ac a2) 0(a b)2 (b c)2 (c a)2 0.(a b)2 0,(b c)2 0,(c a)2 0.a b 0,b c 0,c a 0.即 a b,b c,c a,得 a b c.课后提升1计算(1) (5x - 2y) 2+20xy;(2) (x-3) 2 (x+3) 2;(3) (3x-5) 2- (2x+7) 2;(4) (x+y+1

11、) (x+y 1)2计算 1） 1） 89.82； 2） 472- 94X27+272.3 .已知(x+y) 2=25, (x y) 2=9,求 xy 与 x2+y2 的值.4 .南湖公园有一正方形草坪，需要修整成一长方形草坪，在修整时一边长加长 了 4m,另一边长减少了 4m,这时得到的长方形草坪的面积比原来正方形草坪的 边长减少2m后的正方形面积相等，求原正方形草坪的面积是多少.5 .多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是 .（填上正确的一个即可，不必考虑所有可能的情 况）6 .我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中杨辉三角”就是一例.如

12、图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是 1,其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（ a+b） n （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺 序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1,2, 1,恰好对应（a+b） 2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数 1, 3, 3, 1,恰好对应着（a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等.（1）根据上面的规律，写出（a+b） 5的展开式.（2）利用上面的规律计算：25-5>24+10>23- 10>22+5X2- 1.(a-i>)(1) ：(1) (5x 2y) 2+20

13、xy =25x2 - 20xy+4y2+20xy =25x2+4y2;(2) (x-3) 2 (x+3) 2=(x2 - 9) 2=x4- 18x2+81;(3) (3x-5) 2- (2x+7) 2 =9x2 - 30x+25 - ( 4x2+28x+49) =9x2 - 30x+25 - 4x2 - 28x - 49 =5x2 - 58x - 24;(4) (x+y+1) (x+y 1) =(x+y) +1 (x+y) - 1=(x+y) 2- 1=x2+2xy+y2 - 1.2.解：(1) (89.8) 2= (90-0.2) 2=902 - 2X0.2 >90+0.22=8064.04;2 2) 472- 94X27+272=472-2X470+272= (47-27) 2=202=400.3 .解：: ( x+y) 2=25, (x y) 2=9,二 x2+2xy+y2=25，x2- 2xy+y2=9，-得，4xy=16,解得xy=4 , + 得，2 (x2+y2) =34,解得 x2+y2=17.故答案为：4, 17.4 .解：设原正方形草坪的边长为 xm,(x+4) (x 4) = (x 2) 2,x2 - 16=x2 - 4x+4,解得：x=5,故原正方形的面积为：x2=52=25