求变力做功的几种方法

1、求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosaR能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可 用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法等值法即若某一变力的功和某一包力的功相等，则可以同过计算该包力的 功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScos料算，从而使问题变得简图1例1、如图1,定滑轮至滑块的高度为h,已 知细绳的拉力为F牛(恒定)，滑块沿水平面由 A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细纯 与水平方向夹角分别为a和B。求滑块由 A点运 动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。分析：设纯对物体的拉力为

2、 T,显然人对纯 的拉力F等于ToT在对物体做功的过程中大小虽 然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变 力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与纯间的摩擦不计的情况下，人对纯做的功就等于纯的拉力对物体做的功。而拉力 F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式 W=FScosat接计算。由图可知，在纯与水平 面的夹角由a变到B的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：§ 二闻一凡 ：“ sin at sin(A 1 二 % 二七 二产AS= Fh(dn a 即/、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之 间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元

3、法将曲线分成无限个小元 段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。例2、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上,力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向 个力F做的总功应为：A 0焦耳 B 20几焦耳C 10焦耳 D 20焦耳分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故AW=F S,则转一周中各个小 元段做功的代数和为 W=F 2tt R=10X 2ttJ=20兀J,故B 正确。三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均 值（包力）代替变力，利用功的定义式求功。例3、一辆汽车质量为1

4、05千克，从静止开始运动，其阻力为车重的倍。其 牵引力的大小与车前进的距离变化关系为FhX+fo, fo是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少分析：由于车的牵引力和位移的关系为 F=103x+fo,是线性关系，故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 尸所做的功。由题意可知f0=X105X 10N= 5X 104N,所以前进100米过程中的平均牵引力5xl04 4-（1 Ci3 xWO-k5xlO* |后=2N= 1X105N,.VW=声 S= 1X 105X 100J=1 X 107J。四、图象法如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画

5、出Fx图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。F(X10JN)图3例如：对于例3除可用平均力法计算外也可 用图象法。由F=103x+f0可知，当x变化时，F也 随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面用 图象求解。牵引力表达式为F=103x+X 105,其函 数表达图象如图3。根据F-x图象所围的面积表示牵引力所 做的功，故牵引力所做的功等于梯形 OABD勺”面 积”。所以五、能量转化法求变力做功功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量 的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关 系等可从能量改变的角度求功。1、用动能定理求变力做功动

6、能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式 是W夕h=A Ek, W卜可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中， 只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算， 研 究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做 的功。L例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径 为，BC是水平轨道，长3m BC处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道 AB段所受的阻力对物体做的功。分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，WG=

7、mgR fBC=um津C ,由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功 不能直接求。根据动能定理可知：WA卜二0,所以 mgR-umg1：- -Wae=01即 VW=mgR-umgC =1X10X 15 X1X10X3=6(J)2、用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒 定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。例5、如图5所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以vo=5米/秒的初速度滑仆一下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的厂个速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求 甜DC业弹簧的弹力对物体所做的功。色二

8、分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹图5簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值 与弹性势能的增加量相等。取 B所在水平面为零参考面，弹簧原长处 D点为弹 性势能的零参考点，则状态 A:Ea= mgh+mC/2对状态B:Eb=W簧+0由机械能守恒定律得： W弹簧二(mgh+mV/2) =-125 (J)。3、用功能原理求变力做功功能原理的内容是：系统所受的外力和内力(不包括重力和弹力)所做的功 的代数和等于系统的机械能的增量， 如果这些力中只有一个变力做功，且其它力 所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力 所做的功。例6、质量为2

9、千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用 力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度 v=6米/秒，求该链条全部 被提起时拉力F所做的功。分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大，链条保持匀速上升，故作 用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程 拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时， 动能没有变化，重心升高了 L/2=1米，故机械能动变化量为：AE=mg L/2=2X10X 1=20 (J)根据功能原理力F所做的功为：W=20J4、用公式W二Pt求变力做功例7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进

10、， 它经100/3 秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受 阻力不变，求阻力为多大。分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减 小到与阻力相等时速度达到最大值。 汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引 力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv 求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fv=fvm,所以汽车的牵引力做的功为W 汽车=Pt=fV nt根据动能定理有：W汽车-fs=mVm2/2 ,即 fv 忒一fs= mv ；/2代入数值解得：f=6000N。变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的

11、角度、用不同的方 法阐述了求解变力做功的问题.在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有 利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性 思维，开阔学生解题的思路.课后训练题1、如图所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙 半球内表面以10m/s的速度开始下滑，到达B点时的速度 变为2m/s,求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的 功是多少2、一条长链的长度为a ,置于足够高的光滑桌面上， 图所示.链的下垂部分长度为b,并由静止开始从桌上 滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在 这一过程中重力所做的功为多少3、如图所示，一人用定滑轮吊起一个质量为M的物

12、体，绳子 每单位长的质量为p ,试求人将物体从地面吊起高度为L的 过程中所做的最小功.4、质量为5X 105k g的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0. 06倍，机车经过5ml n速度达到最大值 108k m/h,求机车的功率和机 车在这段时间内所做的功.5、用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比. 如果钉子第一次被打入木块的深度为 2cm,求第二次打入的深度和需要几次打击才能将铁钉打入4cm深处.6、将一根水平放置在地面上的长为 6m、质量为200 k g的粗细均匀的金属棒竖 立起来，至少要做多少功(设所施加的力始终

13、垂直于棒)课后训练题解答1、分析 物体由A滑到B的过程中，受重力G、弹力N和摩擦力f三个力的作 用，因而有f = N N,2N mgcos0=mv /R,即 N=m (v 2/R) +mgcos 8.式中以为动摩擦因素，v为物体在某点的速度.分析上式可知，在物体由A到C运动的过程中，9 由大到变小，c o s 9 变大，因而N变大，f也变大.在物体由C到B运动的过程中，9 由小到变大，c o s 9 变小，因而N变 小，f也变小.由以上可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力f是变力，是变力做功问 题.解根据动能定理有*卜=A E k .在物体由A运动到B的过程中，弹力N不做功；重力在物体由A运

14、动到C的 过程中对物体所做的正功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等， 其代数和为零.因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到B的过程中 对物体所做的功，就等于物体动能的变化量.则有M = Wf=AE k,即 Wf= (1/2) m v b2- (1/2) m v ：= (1/2) X2X22- (1/2) X2X 102) = 96J .式中负号表示摩擦力对物体做负功. 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作 用，而这几个力中只有一个力是变力， 其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物 体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的.2、分析 长链在下落过程中，下垂部分不

15、断增长，因此，该部分的质量也在不 断增大，即这部分所受的重力是变力，整个长链的运动也是在该变力作用下的运 动，是变力做功问题.图2解 取桌面为零势能面，设整个链条质量为m,桌面高度为h,下垂部分质 量为m o .则有mo/m=b/a, m o= (b/a) m,开始下滑时链条的初动能E k i = 0,初势能 Epi= - mog(b/2)= - mg(b2/2a),机械能Ei=Eki+Epi= (b 2/2a) mg.设链条全部离开桌面的瞬时速度为v ,此时链条的势能Ep2= ( a / 2)m g ,动能E k2= (1/2) m v 2,机械能 E 2= (1/2) m v 2 (a/2

16、) mg,根据机械能守恒定律有E 1=E2,即 22一(b /2 a) mg = (1/2) m v -(a /2) mg,解得 v =屈匚码兀.因此，在这一过程中重力所做的功为Wg=AEi4= (1/2) m v 2 0= (mg/ 2a) ( a 2-b 2).3、分析 假定物体被匀速吊起，人将物体从地面吊起的过程中，人的拉力可表 示为T = M g + p x g,式中x为竖直方向纯的余长.当物体上升时，绳的余长x减小，T减小，因而T 为变力，故本题属变力做功问题.解 设绳的重量全面集中在它的重心上， 物体升高高度为L时，绳的重心上升L/2,则系统机械能的增量为AE = AE 1+AE2

17、=AE p1+AE k1+AE pz+AE k2,式中Ae1、A E2分别为物体和纯的机械能增量.由功能原理知，人的拉力所做的功为W=AE = AE P1+ A EA E P2+ A E k2,当AEk1=AEk2= 0时，即缓慢提升物体时W最小，即 Wmin = A E P1+ A E P2= MgL+ (L/2) pLg = M+ ( 1/2) p L g L.可见，在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化 容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便.4、分析 因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引 力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引

18、力达到最小值，与阻力相等.在 这段时间内机车所受阻力可认为是恒力， 牵引力是变力，因此，机车做功不能直 接用W=F s c 0 s a来求解，但可用公式W=P t来计算.解 根据题意，机车所受阻力f=kmg,当机车速度达到最大值时，机车 功率为P = F V max = f V max=kmgV max=0. 06X5X 105x 10X (108X 103/3600)=9X 106W.根据P=W t ,该时间内阻力做功为Wf = P/ t = 9X 106/300= 3X 104J .根据动能定理W外=A E k得牵引力做功 Wf = A E k+Wf 2 .=(1/2) mVmax+Wf=

19、( 1/2) X 5X 105x 302+3X 1048 =2. 25X10 J .5、分析 铁钉进入木块所受的阻力f跟铁钉进入木块的深度x之间的关系为f = kx,由此可知，阻力是一个变力.铁钉得到锤子给予的动能后，克服木块对 它的阻力做功的问题，是一个变力做功的问题.解 (1)依据题意做出f x关系图线如图 4所示.第一次打击时铁钉克服阻力所做的功W 1等于图4中三角形AOC的面积的 化设第二次打击时铁钉被打入的深度为x 0 ,第二次打击时铁钉克服阻力所做 的功W 2等于图4中梯形ABDC的面积的值.因f = k x ,由图可得且C = 2 k ,8口 = ( 2+ x o) k ,则 W1= (1/2)4© UC = (1/2) X2k X2= 2k ,W 2=(工C + B0) /2) X CD = (2k + (2+xo) k) / 2)