知识讲解直接证明与间接证明(基础)

1、直接证明与间接证明编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】1 .掌握用综合法证题的思路和特点。2 .掌握用分析法证题的思路和叙述方式.3 .掌握间接证明中的常用方法 一一反证法的思维过程和特点. 【要点梳理】要点一、综合法证题1 .定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2 .综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫 顺推证法”或的因导果法”它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步 的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题.综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法

2、.3 .综合法的思维框图：用P表示已知条件，Qi(i=1,2,3,，n)为定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：Pn Q11T Q1 = Q21T |q2n Q31T .T 回=Q(已知)(逐步推导结论成立的必要条件)(结论)要点诠释(1)从 已知"看 可知”，逐步推出 朱知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；(2)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达 推理的思维轨迹；(3)因用综合法证明命题 若A则D”的思考过程可表示为：一凡 G故要从A推理到D,由A推演出的中间结论未必唯一，如 B、B1、B2

3、等，可由B、B1、B2进步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等.所以如何找到切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的瓶颈” .4.综合法证明不等式时常用的不等式(1) a2+b2>2ab(当且仅当 a=b 时取 "=#);一 a b (2) >Vab (a, bCR*,当且仅当 a=b 时取 =#);2(3) a2>Q |a| 才0(ab)2>&b a _ba>2 (a, b 同方)；+ < -2 (a, b异3)；a ba b(5)2212a, be R, a +b > (a +b), 2(6)不等

4、式的性质定理对称性:a> b= bv a。定理传递性:a b | -=- a c ° b c定理a b加法性质：*=a+cb+c。c R推论a b| -a +c >b + d。c d定理a b乘法性质：一ac . bc。c 0推论ac> bc °推论a b 0|- n N*定理a开万性质：n N*要点二、分析法证题1 .定义：一般地，从需要证明的命题出发， 分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等）,或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法2 .分析法的

5、基本思路：执果索因分析法又叫 逆推证法”或 执果索因法”它是从要证明的结论出发,分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定 义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。3 .分析法的思维框图:用R（i =1,2,3J|）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等,Q所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为:QuRT RuP2T P2UP3T T得到一个明显成立的条件(结论)(逐步寻找使结论成立的充分条件)(已知)4 .分析法的格式：要证，只需证 ，只需证 ，因为成立，所

6、以原不等式得证。要点诠释：(1)分析法是综合法的逆过程，即从 朱知”看需知"，执果索因，逐步靠拢 已知”，其逐步推理，实 际上是寻找它的充分条件.(2)由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表 述.5 .综合法与分析法的横向联系(1)综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题 的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的 不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述

7、， 条理清晰，形式简洁.我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所 需要的 因”，再用综合法有条理地表述证题过程.分析法一般用于综合法难以实施的时候.(2)有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称两头挤法分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点 是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.命题 若P则Q”的

8、推演过程可表示为:要点三、反证法证题间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法.1 .反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立， 然后利用公理，已知的定义、定理,命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明 假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法2 .反证法的基本思路： 假设一一矛盾一一肯定分清命题的条件和结论.做出与命题结论相矛盾的假设.由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果.断定产生矛

9、盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题 为真.3 .反证法的格式：用反证法证明命题若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：肯定条件p, 否定结论q“若p则q”为五命题要点诠释：(1)反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和限设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即 证明了命题的结论-一定是正确的.(2)反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件4 .反证法的一般步骤：(1)反设：假设所要证明的结论不

10、成立，假设结论的反面成立；(2)归谬：由 反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.要点诠释：(1)结论的反面即结论的否定，要特别注意：都是”的反面为 不都是”，即 至少有一个不是"，不是 都不是”；都有”的反面为 不都有"，即 至少有一个没有”，不是 都没有”；都不是”的反面是 部分是或全部是”，即 至少有一个是”，不是 都是”；都没有”的反面为 部分有或全部有”，即 至少有一个有”，不是 都有”(2)归谬的

11、主要类型：与已知条件矛盾；与假设矛盾(自相矛盾)；与定义、定理、公理、事实矛盾.5 .宜用反证法证明的题型： 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如存在性问题、唯一性问题”等；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有至少有一个”或至多有一个”等字样的数学问题.要点诠释：反证法体现出正难则反的思维策略(补集的思想)和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果.【典型例题】类型一、利用综合法证明有关命题 123例 1.求证： 1十金一+一_一<2log519 lo

12、g319 log 219【思路点拨】综合法常常变形不等式左边，然后利用公式和性质往右推。1斛 析】-log a b = ,，左 边logb a二 log 5+21ogg 3+31ogg 2 = log1?5+logls 32+logie 23 =log19(5x32x23) =logy 360 .* 360 f * 361= 2,123 c二 2 .log519 log 319 log219【总结升华】利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论,本题待证不等式的左端是 3个数和的形式，右端是一常数的形式， 而左端3个分母的真数相同,1由此可联想到公式，loga b = 转化成能直

13、接利用对数的运算性质进行化简的形式logb a【变式1】设a、b是互不相等的正数，且 a+b=1 ,试用综合法证明： -+- >4 . a b【答案】因为a+b=1,【变式2已知a>0, b>0,试用综合法证明：【答案】因为b2+c2 2 bc, a >0 ,c2 a2) _ 4abc.所以 a(b2 c2) 2abc；又因为 c2 +b2 之2bc , b A0;所以 b(c2 +a2)之2abc.2222因止匕 a(b c ) b(c a ) - 4abc.例 2.已知数列an满足a1=5, a2=5, an = an+6an4(n 之2).求证：Gn+2an)是等

14、比数列；【思路点拨】根据等比数列的定义变形。【解析】由 4+1 =4+ 6an-1 , an+1 + 2an = 3(an + 2an-1) (n > 2)a1 = 5,a2= 5. . a2+ 2a1= 15故数列an+i+2an是以15为首项，3为公比的等比数列【总结升华】本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法 是直接证明中最常用的证明方法。举一反三：【变式】已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+i=4an+2 (n=1, 2,)，ai=1。(1)设bn=an+i 2an (n=1, 2,)，求证:数列bn是等比数列。(2)设

15、Cn =* (n=1, 2,)，求证：数列cn是等差数列。2【答案】(1) Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2,两式相减，得 Sn+2 Sn+1=4an+1 4al ( n=1 , 2, 3,)，即 an+2=4an+1 4an ,变形住F an+2 2an+1 =2(a n+1 2an) obn=an+1-2an (n=1, 2,)，bn+1=2bn (n=1, 2,)。由此可知，数列bn是公比为2的等比数列。由 S2=a1+a2=4a+2, a1=1,得 a2=5 , b1=a2-2研=3。故 bn=3 2n 1 °(2)Cn =* (n=1 ,2,)2n_an1an

16、_ an 1 12an _bn, , Cn 1Cn -2n12“一 2“ 1 一2n 1n-13将 bn=3 2n 1 代入，得 cn书-cn = (n=1, 2,)。43a131由此可知，数列Cn是公差d=N的等差数列，它的首项 C1=g1=1，故cn=±n。42244例3.如图，设在四面体 PABC中，NABC =90 , PA = PB = PC, D是AC的中点.求证：PD垂直于AABC所在的平面【思路点拨】要证PD垂直于AABC所在的平面,只需在AABC所在的平面内找到两条相交直线与PD垂直.【解析】连 PD、 BD因为BD是RSABC斜边上的中线,所以 DA = DC =

17、 DB又因为PA= PB= PC ,而PD是APAD、APBD、APCD的公共边,所以 PAD三PBD三：PCD于是.PDA-/PDB =/PDC ,而 PDA =/PDC =90 ,因此 PDB =90：PD _L AC , PD _LBD由此可知PD垂直于 MBC所在的平面.【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理。这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：(1)由已知BD是RtAABC斜边上的中线，推出 DA = DC=DB,记为P0 (已知)=P；(2)由DA = DC =DB和已知条件，推出三个三角形全等

18、，记为P1np2；(3)由三个三角形全等，推出 NPDA = /PDB=/PDC =90"记为P2 n P3 ；(4)由 ZPDA=ZPDB =/PDC =90 推出 PD _L 面ABC，记为旦=P4 (结论).这个证明步骤用符号表示就是 Po (已知)=P = P2= P3= P4 (结论) 举一反三：【变式】如图所示，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDL底 面 ABCD , PD=DC , E 是 PC 的中点，作 EFXPB X PB F° 求证：(1) PA/平面EDB ;(2) PBL平面 EFD。【答案】(1)连结AC交BD于O,连结EO

19、。底面ABCD是正方形，点 。是AC的中点，在APAC中，EO是中位线，PA/ EO。而EOU平面EDB且PA0平面EDB,. PA/平面 EDB。(2) PDL底面 ABCD 且 DC U 底面 ABCD ,，PD，DC。由PD=DC,可知 PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC上的中线，DEXPCo同样由PDL底面 ABCD ,得PDXBCo底面 ABCD是正方形，DCXBC,. BCL平面 PDC。而DE匚平面PDC , BC ± DE o由和推得 DEL平面PBC。而PB匚平面PBC, DE± PBo又 EFPB 且 DEH EF=E , . PBL平面 EFD。

20、类型利用分析法证明有关命题例 4. (2016 春 福州期中)证明：当 x>4 时，Jx_3+Jx_2 >x_4 + Jx_1。【解析】当x> 4时要证.x -3 ： qx -2 .、x 一4 2 qx -1只需证 3 x -3. x - 2)2(、x - 4.1 x -1)2只需证 x -3 2. (x-3)(x-2) x-2 x-4 2. (x-4)(x-1) x-1即证,(x-3)(x-2) . Jx-4)(x-1)只需证 x25x+6>x25x+4即证6>4显然上式成立，所以原不等式成立，即,x - 3 -x-1, x - 4 - ?<x - 2【总

21、结升华】1 .在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路， 分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法2 .用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证” “即证” “也即证”等词语.举一反三：【变式1】 已知a、b是正数，用分析法证明要证 只需证a ja+b而之jab(7a+jb)成立,即证(a b -ab )(、a 、. b) _、, ab(a . b).即证 a b - . ab - x ab ,也就是要证a+b之2而，即(后而)2之0.该式显然成立，所以【高清课堂：直接证明与间接证明 40

22、1471例题2】a -'b 2 a【变式2】已知a >b >0 ,求证：<-8aab :二其上8b咯案】要证 三.:-"鲁只需证巴士 、a，b2 a-b2, 8a28ba -b 、a b a -b a 、b d a b，二只需证一= < 一 < 一=,即11 <212a 、22%2b 2, a2, b欲证7a b <1 ,只需证 ja + vb < 2<a ,即Jb < ja显然成立。2.a欲证"a +''b >1,只需证 & + Jb > 2vb ,即Jb < &

23、lt;a显然成立。 2.b.a . b ,. a . b ,，一 ,-,二-一工 <1 <-一； 成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。2 a2 . b例 5.求证：5/a- Ja -1 < Ja 2 Ja 3(a 3.3).这时，可从结【思路点拨】由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难 论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到Ja 2 7a 3 = ,1 f ,也可用综合法证明.a -2、a-3【解析】法一：分析法要证 4a - Ja -1 < Ja -2 - Ja -3(a > 3)成立，只需证明 Ta

24、+Wa3 < Ja2 +Ja1(a 之 3),两边平方得 2a 3+2ja(a3) < 2a 3+2 J(a 2)(a 1) (a 2 3),所以只需证明 qa(a3) <(a 2)(a 1) (a >3),两边平方得a2 3a <a2 3a+2 ,即 0 <2,0 <2恒成立，原不等式得证.法二：综合法- 1 a _ 2 -/a - 3>ja a 1 = -? Ja - 2 Ja 3 =a - a -1y/a a Ja -2, Ja 1 a Ja -3 ,JaJ：a 一 1 > . a -2.-a -3 . 0 .11. . ,.a 、a

25、 -1_ a - 2 * a -3JO" -，a -1 < Ja -2 -7a -3 .即原不等式成立.【总结升华】1 .在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的 充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法2 .综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程举一反三：【变式】设a、b是两个正实数，且 aD求证：a3 + b3 > a2b +ab2证明一：（分析法）要证 a3+

26、b3 > a2b +ab2成立，只需证（a+b）（ a2 -ab+ b2） > ab（a+b）成立，即需证 a2-ab+b2 > ab成立。（a+b>0）只需证a2-2ab+b2 >0成立，即需证（a -b f >0成立。而由已知条件可知，awb,有a-bwo,所以（a-b f >0显然成立，由此命题得证。证明二：（综合法）. awba-bwQ ，（ab 2 >0,即 a2-2ab+b2 >02, 2亦即 a -ab+ b >ab由题设条件知，a+b>0,(a+b)( a2 -ab+ b2)>(a+b)ab即a3+b3 &

27、gt; a2b+ab2,由此命题得证。类型三、反证法证明相关问题例6.求证:若一个整数的平方是偶数，则这个数也是偶数【解析】假设这个数是奇数 ，可以设为2k十1 , k w Z ,则有（2k +1）2 =4k2 +4k +1 ,而4k2 +4k +1 （kw Z）不是偶数，这与原命题的条件矛盾【总结升华】结论中含有 不是“不可能“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适宜应用反证法.举一反三：【变式1】设an是公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）求证：数列Sn不是等比数列.（2）数列Sn是等差数列吗？为什么？【答案】假设Sn是等比数列，则S2=SS3,即 a2（1 +q）2

28、=a1身（1 +q +q2）. a1WQ . . （1+q）2=1+q+q2.即q=0 ,与等比数列中公比 qWO矛盾.故S n不是等比数列.【变式2】 证明 次后不可能成等差数列.【答案】（一）：假设串,屏"成等差数列，即 由+77=275,下面（用分析法）证明 T3+J7=2V5.要证 3 ,7-2.5,只需证（吏+77）2 ¥（2佝2,即证2扃#10,即证721 ¥5,即证21 ¥25 ,而该式显然成立，故6+ 77 #2 d5,这与假设相矛盾，所以假设不成立，从而 .3, .5, 7不成等差数列.（二）：假设 &方"成等差数列，

29、即 底+后=2爬,下面（用综合法）证明 + 77#2y5.,21 =25,，匹手5 ,，2匹 #10,即3 +2历+7 #20 ,即（6 +J7）2 #（2而,：小十于手2乖,这与假设相矛盾,故假设不成立，从而3, 5, 7不成等差数列.【高清课堂：直接证明与间接证明 401471例题5】【变式2】证明：J2是无理数.【答案】假设 22不是无理数.即 应是有理数，那么必存在整数 m,n ,使得J2 = m，其中m为既约分数，则 m = J2n ,所以m2 = 2n ,于是 n n2能整除m2 ,从而m为偶数，设m=2k,kw Z ,所以4k2 =2n ,2m .即n = 2k，所以2能整除n ,于是m,n均为偶数，这与为既约分数 n矛盾，所以假设不成立。从而原命题成立，即V2是无理数.例7.如图所示，已知 a, b, c是同一平面内的三条直线，a±c, b与c不垂直，求证：a与b必相交.【解析】证法一：假设a与b不相交，则a/ b,所以/ 1=/2.由于b与c不垂直，则/ 290；即/ 190；所以a与c不垂直，这与已知条件矛盾，所以a与b必相交.证法二：假设a与b不相交，则a/ b,所以/1=/2.因为 si± c,所以/ 1=90°,即/ 2=90°,所以b± c,这与已知b与c不垂直矛盾，所以 a与b必