矩阵分析习题参考答案

1、第三章1、已知A = (aj)是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间Cn中向量0 =(x,x2，川,4), P =(yi,y2,l|,yn)定义内积为 3,B) =(xABh(1) 证明在上述定义下，cn是酉空间；(2) 写出Cn中的Canchy-Schwarz不等式。.2 1-11-32、已知A = |求N(A)的标傕正交基。1 1-10 1提示：即求方程AX =0的基础解系再正交化单位化。3、已知308：-1-26(1)A= 3-16,(2)A= -10320-5_-1-14_试求酉矩阵U，使得uhau是上三角矩阵。提示：参见教材上的例子4、试证：在Cn上的任何一个正交投影矩阵P是半

2、正定的Hermite矩阵。5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵 U ,使UHAU为对角矩阵，已知13I 1 3/2 i 卜、6_1_ 3V276d)A =1 i6 2731 12 732 10(2) A = 1ii4 3i 4i-6 -2i10 , (3)A=- -4i 4-3i -2-6i 906+2i -2-6i 0-16 / 66、试求正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵，已知一 2(1)A= -2.0-21-201-20(2)A =10-11-10-111011HT7、试求矢I阵P ,使P AP = E (或P AP = E ),已知1(1)A= -iJ -ii 1 i22-20 1 ,

3、 (2)A= 2 5 -412_2 H 5 _18、设n阶酉矩阵U的特征根不等于 1 ,试证：矩阵E +U满秩，且H = i(E-U)(E+U)是Hermite矩阵。反之，若H是Hermite矩阵，则E + iH满秩，且U = (E + iH )(E iH ) 是酉矩阵。证明：若|E +U |=0,观察恨E-U|=0知-1为U的特征值，矛盾，所以矩阵E+U满H1秩。HH =( ( E- U( E U =( 一 i E) U (HE,段 H H = H ,只要口口.-i E U(EU) i WU -E) (U1 )HH=(E U旧U) E= U E (U-) HH=U U U U-故 H H =

4、 HHermite矩阵只能有实数特征值可得由E+iH = i(iE H) =0知i为H的特征值。由E +iH =0,即 E +iH 满秩。U HU =(E iH h)4(E -iH H)(E iH )(E - iH )=(E iH )(E - iH )(E iH )(E -iH) 11=(E iH) (E iH)(E -iH)(E iH ) = E9、若S,T分别是实对称和实反对称矩阵，且 det(E -T -iS)第0 ,试证：(E +T +iS)(E -T iS)"*是酉矩阵。证明：1 H(E T iS)(E -T -iS) (E T iS)(E -T -iS) =(E T iS

5、) (E -T -iS)(E T iS)(E-T -iS)=(E T iS)二E T iS)(E-T -iS)(E-T -iS)，= EA与B的特征值相同。10、 设A, B均是实对称矩阵，试证：A与B正交相似的充要条件是证明：相似矩阵有相同的特征值。A与B正交相似n A与B的特征值相同。若A与B的特征值相同，又 A, B均是实对称矩阵。所以存在正交阵Q, P使QTAQ=A =PTBP= (QPT)T A(QPT) = B 其中 QPT 为正交阵。11、 设A, B均是Hermite矩阵，试证：A与B酉相似的充要条件是 A与B的特征值相同。 证明：同上一题。12、设A, B均是正规矩阵，试证：

6、与B酉相似的充要条件是 A与B的特征值相同。同上一一2.HEr 013、 设A是Hermite矩阵，且 A2 = A,则存在酉矩阵U ,使得U H AU = | r0 0一，一 2 _ .H Er014、 设A是Hermite矩阵，且 A = E ,则存在酉矩阵 U ,使得U AU = |。；0 -J15、 设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，试证：AB与BA的特征值实部为 0。 证：A为正定Hermite矩阵=A = LH L , L为满秩的。EE -AB| =).E -LH LB =|LH|zE -LBLH|(LH )J , (LBLH)H = LBH LH =-LBL

7、HLBLH是反Hermite矩阵，反Hermite矩阵的特征值实部为 0,所以AB的特征值实部为 0。16、 设A, B均是Hermite矩阵，且A正定，试证： AB与BA的特征值都是实数。证明：同上题。 EE - AB = EE - LH LB = LH 九ELBLH(LH)H _ HH . HHH(LBL ) =LB L = LBL , LBL是Hermite矩阵，Hermite矩阵的特征值为头数，所以AB的特征值是实数。17、设A为半正定Hermite矩阵，且A * 0 ,试证：'A + E > 1。证明：A的特征值为 "之0 ,矩阵的行列式等于特征值之积。A +

8、 E特征值为九i+1,a + e =n(1 +1)>118、 设A为半正定Hermite矩阵，A#0 , B是正定Hermite矩阵，试证：A + B| > BH证明：B=LHL, L为满秩的。a + b =|a + lhl|=|lh (LH)，AL/+ E L =|(LH),AL,+ e|lHL二(Lh)jALa +e b (LH尸AL为半正定Hermite矩阵，由上题(lD,al' + E >1 ,H 11A + B = (L )-AL- + E B > B19、 设A为正定Hermite矩阵，且AWUn>n,则人=£。证明：存在 U wun

9、x A=UAUH , A=diag(%,H|,Kn),%A0。又 AwUn*' H_E -AHA = U .山 H U ,UH =./= i2 =1= i =1= A-U.Uh -UEU h -E20、 试证：(1)两个半正定 Hermite矩阵之和是半正定的；(2)半正定 Hermite矩阵与正定Hermite矩阵之和是正定的。提示：考查Xh(A B)X21、 设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，试证：A+B是可逆矩阵。提示：A为正定Hermite矩阵=A = LH L , L为满秩的。A + B = LH| E +(LH尸BL| L (LH)、BL是反Hermi

10、te矩阵，特征值、实部为0, E +(LH),BL/=口(1+九i)00,所 以 A + B| 0022、 设A, B是n阶正规矩阵，试证： A与B相似的充要条件是 A与B酉相似。证明：充分性，酉相似=相似。HHn：n必要性，A, B是n阶正规矩阵，A=Ui AiUi,B=U2 A2U2,UiU ，又A与B相似，A与B的特征值相同，可设HHHHn：nAi =L , A = U1AlU1 =U1 U2BU2 U1,U2 U1 w UH23、 设A =A,试证：总存在t>0,使得A+tE是正定Hermite矩阵，A-tE是负定 Hermite 矩阵。提示：A的特征值为Ki ,则A+tE的特征

11、值为九i +t24、 设A是正定Hermite矩阵，且A还是酉矩阵，则 A = E。提示：25、 设A、B均为正规矩阵。且 AB = BA ,则AB与BA均为正规矩阵。提示：用P 1 5 0定理， A, B可以同时酉对角化。26、 设AH = A,试证：U =(A + E)(AE)是酉矩阵。提示：U HU =(A E)(AE)iH(A E)(A E) 一 一 一 一 KA -E) (-A E)(A E)(A-E) 二(A E)(A E)(A -E)(A -E),，=E27、设A为n阶正规矩阵，%,%,|,Kn为A的特征值，试证：AH A的特征值为I 巾Il%川 1"%|2。提示:uh

12、au =,所以AHA的特征值n nHHHH28、 设A = C ，试证：(1) A A和AA 都是半正定的Hermite矩阵；(2) A A和AA 的非零特征值相同。提示：(1) XH AHAX =(AX)H(AX)>0(2) AHAX="X n AAH AX = %AX ,特征值的重数也相同，参见 P19129、 设A是正规矩阵，试证：(1)若Ar =0 ( r为自然数)，则A=0 ; (2)若A2 = A,则 AH = A ； (3)若 A3 = A2,则 A2 = A。 , HH30、设A = A B - B ,求证以下三条件等价:(1) A+ B为正规矩阵(2) AB =BA(3) (AB)H = -AB解：(1) = (2) (A + B)H(A + B) = (A+B)(A + B)H = AHB + BH A = ABH +BAH 由AH = ABH = -B= AB = BA o(2) = (3) AB=BA，由 AH =A,BH =-B= AB =-BH AH =-(AB)H(2)=(1) (A + B)H(A + B)=(AB)(A + B),由AB =BA= (A-B)(A