平面向量常见题型汇编3坐标系法处理平面向量的数量积

1、坐标系法处理平面向量的数量积在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示,其数量积等问题迎刃而解。1.数量积的定值问题例题1：在边长为1的正三角形ABC中,uurBCuuir uuruur2BD,CA 3CE，则解析:uuu ADuuuBE观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系： A。后2,B2,0,C2,0卜面求E坐标：令x,yuuuCE12,yuur,CAuur 由CAuuu3CE可得:3y12J213虫6uurADuur ,BE56,6uuurADuuuBE变式1：如图，

2、在矩形 ABCD中,AB J2, BC 2，点 E 为uuu uuir_uuir uurBC中点，点F在边CD上，若AB AF 亚，则AE BF的值是解析:本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以A为坐标原点如图建系:B应0 ，设F x, y，由F在CD上可得yuur2 ,再由uuu uur _AB AF 22解出uuuAB_uuir、2,0 ,AFuuurx,2uuu uuur _AB AF ，、2x 、,2F 1,2 , E 72,1uurAE_uuir,21 , BFuurAEuur _BF 2 1变式2:如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于，点P是MD的中点,u

3、urABuuur2, ADuuir uuuBAD 60o,则 AP CP分析：本题抓住 BAD 60o这个特殊角，可以考虑建立坐标系,uuu同时由ABuuu2 , AD可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解析：以AB为x轴，过A的垂线作为y轴,可得:2,0C 1 ,3 C，D 2，T，C5,、,32,P3-38uuuAP3-38uuu ,CP1385.38uurAPuuuCP1381782，er r1 ,则a b最小值是r r r r r r r r r例题2：平面向量a,b,c满足a e 1,b e 2, a b分析：本题条件中有2可利用向量数量积的投影定义得到r r ra, b

4、在 e上的投影分别为1,2 ,通过作图可发现能够以re的起点为原点，所在直线为x轴建立坐标系,r rr rr r则a,b起点在原点，终点分别在x 1,x 2的直线上，从而 a,b可坐标化，再求出 ab的最值即可r r解析：如图建系可得：a 1,a ,b 2,b,r r a .22由 a b 2 可得：1 1 2 a b 2b a .3r r而a b 2 ab ,由轮换对称式不妨设 a2 a a 3 3r ra bmin变式3:已知点M为等边三角形 ABC的中心，AB2,直线l过点M交边AB于点P ,uuu交边AC于点Q ,则BQuuuCP的最大值为分析：本题由于l为过M的任一直线，所以 AP

5、: AB,AQ : AC的值不确定，从而不容易利uuur uuu用三边向量将BQ,CP进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而A,B,C,M坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l方程，与AB, AC方程联立解出uuu uur解析：以BC,AM为轴建立直角坐标系,1,0 ,C 1,0 , A 0, .3 ,M0,；设直线l :y kx虫由B31,0 ,C1,0,A 0,、3可得:P,Q坐标，从而BQ CP可解出最大值3.数量积的范围问题AB: ykxJ3 得:Q:kx得:2.33 k 3.3、3,3k 1k ,3uuurBQuuu5,3 3k .3k 1-,CP,33k,3

6、kuuurBQuuuCP5,3 3k3 k 35x3 3kk3k ；3k .3-275 9k9 k2 33k2 1k2 3_ 26k 223 k2 3_ 26k 223 k2 3_2 一6k 1840340k2 31 ,AC:若直线与AB,AC相交，则uuurBQuuu140CP 6 -23k2 3400 3229例题3：如图，在直角三角形 ABC中，AC J3,BC 1,点M,N分别是AB,BC的中点，点P是VABC内及边界上的任一点，则uuir uuurAN MP的取值范围是uuur分析：直角三角形直角边已知，且P为图形内动点，所求MP不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设Px,y ,

7、从而可得uur uuur 1 一 5AN MP -x J3y ,而P所在范围是一块区域，所以联想到24用线性规划求解解析：以AC,BC为轴建立直角坐标系A 0,、3 ,B 1,0 ,M1 /3z 1 n一，,N 一,02 22，设 P x,yuurAN1 uuur 132，3，MPx 2，y 万imr uuur 1AN MP - x -223yA1x ,3y 5224uuir uuur数形结合可得：AN MP变式4：如图，四边形ABCD是半径为的圆。的外切正方xyfuuu uuu形，VPQR是圆。的内接正三角形，当 VPQR绕着圆心。旋转时，AQ OR的取值范围是分析：本题所给的图形为正方形及

8、其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算,可以O为坐标原点如图建系：O 0,0 ,A1, 1 ,确定Q,R点的坐标是一个难点，观察两个点之间的关系，无论VPQR如何转动,2ROQ ，如何从这个恒定的角度去刻回3此圆上两点坐标的联系呢:考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角,与角度相联系），设R cos ,sin ,从而Q cos,sin 30,2,用的三角函数将两点坐标表示出来,从而可求出uuuAQuuuOR的范围解析:uuirAQcos1,sinuuu ,ORcos ,sinumrAQuuuORcoscossinsin=cos1一 cos2, 3 .sin2sin1 .一 sin

9、23一 cos21 -cos2. 3 .sin2coscos1. 2一 sin23 .一 sin cos2sinsincos2 sinQ 0,2uurAQuuuORuuu变式5：在平面上，AB,uuur uuur uuuui uur AB2 , |OB1 OB2I 1,APuuurAB1uuuuAB2uuu , _ _OA的取值范围是uuiruuuu分析：以AB1AB2为入手点，考虑利用坐标系求解,uuur题目中AB1uuuu,AB2和。点坐标均未知，为了能够进行坐标运算，将其用字母表示：设UULTAB1uuuua, AB2 b,O x, y ,则4 a,0 ,B2 b,0 ,P a,b ,所求uuuOA范围即为求的范围。下一步将题目的模长翻译成a,b,x,y关系，再寻找关M厂的不等关系即可解析：如图以AB1, AB2uuurAB1uuuua, AB2b,O x, y ，立坐标系：设a,0 ,B2b,0,P a,