神奇的圆锥曲线动态结构

1、神奇的圆锥曲线动态结构目录一、神奇曲线，定义统一01.距离和差，轨迹椭双02.距离定比，三线统一二、过焦半径，相关问题03.切线焦径，准线作法04.焦点切线，射影是圆05.焦半径圆，切于大圆06.焦点弦圆，准线定位07.焦三角形，内心轨迹三、焦点之弦，相关问题08.焦点半径，倒和定值09.正交焦弦，倒和定值10 .焦弦中垂，焦交定长11 .焦弦投影，连线截中12 .焦弦长轴，三点共线13 .对焦连线，互相垂直14 .相交焦弦，轨迹准线15 .相交焦弦，角分垂直16 .定点交弦，轨迹直线17 .焦弦直线，中轴分比18 .对偶焦弦，比和定值 四、相交之弦，蝴蝶特征 19.横点交弦，竖之蝴蝶 20.

2、纵点交弦，横之蝴蝶 21.蝴蝶定理，一般情形 五、切点之弦，相关问题 22.主轴分割，等比中项 23.定点割线，倒和两倍 24.定点割线，内外定积 25.主轴交点，切线平行 六、定点之弦，张角问题 26.焦点之弦，张角相等 27.定点之弦，张角仍等 28.对称之点，三点共线 29.焦点切点，张角相等 30.倾角互补，连线定角 七、动弦中点，相关问题 31.动弦中点，斜积定值 32.切线半径，斜积仍定 33.动弦中垂，范围特定 34.定向中点，轨迹直径 35.定点中点，轨迹同型 八、向量内积，定值问题 36.焦弦张角，内积定值37 .存在定点，内积仍定九、其它重要性质38 .光线反射，路径过焦3

3、9 .切线中割，切弦平行40 .直周之角，斜过定点41 .正交半径，斜切定圆42 .直径端点，斜积定值43 .垂弦端点，交轨对偶44 .准线动点，斜率等差45 .焦点切线，距离等比46 .共钝点对，距离等积47 .正交中点，连线定点48 .顶点切圆，切线交准49 .平行焦径，交点轨迹50 .内接内圆，切线永保51 .切线正交，顶点轨迹52 .斜率定值，弦过定点53 .直线动点，切弦定点54 .与圆四交，叉连互补55 .交弦积比，平行方等56 .补弦外圆，切于同点57 、焦点切长，张角相等58 .斜率积定，连线过定2659 .切点连线，恒过定点60 .焦点准线，斜率等差161 .焦点准线，斜率等

4、差2问题探究11 .距离和差，轨迹椭双实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点 的垂直平分线与其半径的交 点的轨迹是椭圆O定圆上一动点与圆外一定点 的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线O定直线(无穷大定圆)上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线O已知动点Q在圆A： (x+K)2+y2 =4上运动,定点B(九,0),则(1 )线段QB的垂直平分线与直线QA的交点P的轨迹是什么？(2)若 力wQ""1 ,直线i过点m与直线QA的交于点P ,且前MP" = 0 ,则点Q的轨迹又是什么?2 .距离定比，三线统|更7 用|圆锯曲线的

5、统一定义二 II” 畀二I胴工前画1ST包PFi 八 m 而二069探=e=常数1PFi = 3.64 厘米PN 二 5.26 度米1g7 加I j#T_p.萌百|钎 一守|1fmla闺；髀由我毡,福3|话就上i圜铢曲线的统= 6.03国米'4 20厘米LT.,用1定N实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线 的距离之比为小于1的常数, 则动点的轨迹是椭圆O动点到一定点与到一定直线 的距离之比为大于1的常数, 则动点的轨迹是双曲线O动点到一定点与到一定直线 的距离之比为等于1的常数, 则动点的轨迹是抛物线O问题探究2已知定点A(-1,0),定直线h x=-3,动点N在直线li上，过点N

6、且与li垂直的直线l2上有一动点巳满足,N,请讨论点P的轨迹类型。3.切线焦径，准线作法实验成果 动态课件椭圆上的一点处的切线与该 点的焦半径的过相应焦点的 垂线的交点的轨迹为椭圆相 应之准线双曲线上的一点处的切线与 该点的焦半径的过相应焦点 的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线问题探究3抛物线上的一点处的切线与 该点的焦半径的过相应焦点 的垂线的交点的轨迹为抛物 线之准线Q满足o已知两定点A(-1,0), B(1,0),动点P满足条件|PA+|PB=8,另一动点QbLpB = 0,"qP(PA)=0,求动点Q的轨迹方程。4.焦点切线，射影是圆强点在切实验成果动态课件焦点在椭圆切线上

7、的射影轨迹是以长轴为直径的圆O焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆O焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线(无穷大圆)O问题探究4已知两定点A(-2,0B, (2,0动点P满足条件PA-1 PB2 ,动点Q满足求动点Q的轨迹方程。问题探究521.已知动点P在椭圆二十TPF+2究 探40-PM + FM = 0 ,探究5.焦半径圆，切于大圆实验成果动态课件以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆（简 称“大圆”）与椭圆内切，） 相切以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆（此 圆（简称“小圆”）与双曲 线外切）相切以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷

8、大（实为顶点处 的切线）与曲线外切）相切2.匕=1上，F为椭圆之焦点，PM +FM是否为定值222已知点P在双曲线亍-i1上,F为双曲线之焦点,2 OM' -'PF'是否为定值6.焦点弦圆，准线定位0 4“命 I MN14 H 盾弧 Fiff Mfl a实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离智帼工地|如修I襄丁1B巩主句”用4 士!箕翅辽等电曲&3W珀 苴Ii，r，£【：|印 内寄工I问题探究6双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交O抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切过抛物线x2 =4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于 P点，

9、PAFB = 0.(1)求点P的轨迹方程; 已知点F （0, 1）,是否存在实数九使得FA,FB+mFP）2 = 0?若存在, 求出九的值，若不存在，请说明理由.7.焦三角形,内心轨迹实验成果动态课件椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线焦点三角形的内切圆圆 心轨迹是以过双曲线实顶点的 两条平行且垂直于实轴的开线 段（长为2b）抛物线焦点三角形（另一焦点在 无穷远处）的内切圆圆心轨迹是 以原抛物线焦点为顶点的抛物 线问题探究7221 .已知动点P在椭圆十二=1上，Fi,F2为椭圆之左右焦点，点G为AFFF2的内43心，试求点G的轨迹方程。222.已知动点P在双曲线 左-匕=

10、1上，Fi,F2为双曲线之左右焦点，圆G是AFiPF243的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之。8.焦点半径，倒和定值问题探究8实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11 2BFi AFi-ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB在同支1上1 2|"尸一| AF1 | | B | epAB在异支 11 2| -尸一| AF1 | | BF1 | epO抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数_11_ _222已知椭圆卜1”为椭圆之左焦点,过点F1的直线交椭圆于A, B两点，是BF + AF = ep否存在实常数九，使同=后忘恒成立。并由此求|AB的最小值。（

11、借用柯西不 等式）9.正交焦弦，倒和定值瞄闹的工作他占强性语A实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数1 1_ 2 - e2| AB | |CD | 一 2epO双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数1.1 J2-e2| AB | | CD | 2epC j it1 南+同亏问题探究已知椭圆= 9.72 'I 4CD = 11.90 可生QD11cd+aOb=C19JO"去1±77= = 0 19&担我21P抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数112-e2 T =| AB | |CD| 2ep22：1, Fi为椭圆之左焦点，过点Fl的直线11,12分

12、别交椭圆于A,B=九 ABLCD两点，和C, D两点，且11_L12,是否存在实常数九，使立。并由此求四边形ABCD面积的最小值和最大值10.焦弦中垂，焦交7E长实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB的中垂 线与长轴的交点为D,则 FD|<|AB|之比是离心率 的一半。设双曲线焦点弦AB的中 垂线与焦点所在轴的交 点为D,则|FD|与|AB之 比是离心率的一半设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴的交点为D,则|fd|与aB之比是离心率的一半O问题探究10 22已知椭圆L+L=1, Fl为椭圆之左焦点，过点Fl的直线交椭圆于A, B两点，AB43中垂线交x轴于点d,是否存在实常数儿，使7B ED恒

13、成立。11.焦弦投影，连线截中此1 .49-匕二&1/4-虺N焦点强性质3 （:中点）DG = 1.00 厘米实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的端点在相 应准线上的投影与焦点弦 端点的交叉连线与对称轴 的交点平分焦点与准线和 对称轴的交点线段.。双曲线的焦点弦的端点在 相应准线上的投影与焦点 弦端点的交叉连线与对称 轴的交点平分焦点与准线 和对称轴的交点线段.。抛物线的焦点弦的端点在 相应准线上的投影与焦点 弦端点的交叉连线与对称 轴的交点平分焦点与准线 与对称轴的交点线段.。问题探究1122已知椭圆人+L=1, F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线11交椭圆于A, B两点,43直线l2

14、x = S交x轴于点G,点A,B在直线12上的射影分别是N,M ,设直线AM,BN 的交点为D,是否存在实常数九，使同=，jDFl,恒成立。12.焦弦长轴，三点共线J A M实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与 长轴顶点D连线与相应准 线的交点N、M,则N、C、 B三点共线，M、C、A三 点共线双曲线焦点弦端点 A、B 与实轴顶点D连线与相应 准线的交点N、M,则N、 C、B三点共线，M、C、 A三点共线抛物线焦点弦端点 A、B 与顶点D （D在无穷远处） 连线与准线的父点N、M, 则N、C、B三点共线，M、 C、A三点共线问题探究131, Fl为椭圆之左焦点，过点Fl的直线11交椭圆于A,

15、 B两点,c,d分别为椭圆的左右顶点，动点P满足PArAD'PCiCB,试探究点P的轨迹。13.对焦连线，互相垂直实验成果动态课件椭圆左焦点弦端点A、B与 右顶点D连线AD , BD交相 应准线于点N、M ,则 NF1 _ MF1双曲线左焦点弦端点 A、B 与右顶点D连线AD , BD交 相应准线于点 N、M ,则NF1 , MF1抛物线焦点弦端点A、B与 顶点D （无穷远处）连线交 相应准线于点N、M ,则NF MF22已知双曲线AL=1, F1为双曲线之左焦点，过点F1的直线11交双曲线于A, B 31两点，C,D分别为双曲线的左右顶点，动点P满足PA=?AD,PC = iCB,动

16、点Q满足前=%泥,凛=匕左,试探究NPFiQ是否为定值。14.相交焦弦，轨迹准线网iM3&*.问题探究14实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线22已知椭圆土+L=1, F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线11,12分别交椭圆于A, B 43两点，和C, D两点，直线13X = M,直线AD交直线13于点P,试判断点P、B、C是否三点共线，并证明之。友系“白平分桀mZPF：C = 109/40

17、" mZPF-AJib = 109.40*JErt* X I实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦AB , CD 端点所在直线AD和BC交点P 必在准线上且交点P与焦点F2 的连线平分角. BF2D双曲线的任意两焦点弦 AB , CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦 点Fi的连线平分角/AEC抛物线的任意两焦点弦 AB , CD端点所在直线AC和BD交 点P必在准线上且交点P与焦 点F的连线平分角AFD15 .相交焦弦，角分垂直问题探究1522已知椭圆?91,匕为椭圆之左焦点，过点匕的直线l,2分别交椭圆于A, B 两点，和C, D两点，直线l3x = M,直线AD交直

18、线13于点巳试证明NPF1A =NPF1D 。16 . te点交弦，轨迹直线实验成果动态课件过椭圆长轴直线上任意一点N(t,0)的两条弦端点的直线的交2点的轨迹是一定直线x=at过双曲线实轴直线上任意一点N (t,0)的两条弦端点的直线的2交点的轨迹是一定直线x = at过抛物线对称轴上任意一定点N (t,0)的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线x=-t问题探究1622已知椭圆4.1,过点N（2，0）的直线li,l2分别交椭圆于A，B两点，和Q DW点，设直线AD与直线CB交于点巳 试证明点P的轨迹为直线x = 4,问题探究1722已知椭圆4>1,点F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线

19、li分别交椭圆于A, B两点，设直线AB与y轴于点M ,ma = zaf1,mb = bf1,试求九十 N 的值。18.对偶焦弦，比和定值a = 4 92 h .K c = 3.63 = 0 74 ：i.心一1D (AI lH_t2_|i |问题探究18已知方向向量为之=（1,四的直线l过点_22A（0, -2内）和椭圆C :彳+彳=1 （a>b>0）的焦点， a b且椭四c的中二q o 1g胸圆的右准线上的点b满 足：OBL=o,；ab|=|AO。求椭圆c的方程； 设E为椭圆C上任一点r耳焦点1, F2的弦分别 为 ES,ET ,设 EF1 =%FS, E2 =%F2T ,求 %

20、+% 的 值。实验成果动态课件过椭圆上任一点A作两焦点 的焦点弦AC和AB,其共线 向量模的比之和为定值.即fTAF=m1F1BAF2 = m2 F2B°14e2、m1 m2 =22 为 je 值1 - e过双曲线上任一点 A作两焦 点的焦点弦AC和AB,其共 线向量模的比之和为定值.即fTAF=m1F1BAF2 = m2 F2Bo甲+ m2 = 21e2为定值1 -e（注：图中测算不是向量，故 中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只 有一个，故准线相应地替换了*PA=m1AF > >隹占即pB=m2BF 八、八、）2尸m1+m2=0O19.横点交弦，竖之蝴蝶27】

21、I； 4l-LJJL问题探究19已知抛物线y2=2x,过点T(2,0)的动直线l实验成果动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点T (t,0)的两条弦AB和CD端点 的直线AD和BC截过T点的垂 线段NM (NM IF1F2)相等，即NT = TM过双曲线实轴所在直线上任意一 点T (t,0)的两条弦AB和CD端点 的直线AD和BC截过T点的垂 线段NM ( NM，讦2)相等，即 NT = TM。过抛物线对称轴上任意一点T(t,0)的两条弦AB和CD端点 的直线AC和BD截过T点的垂 线段NM (NM_LFT)相等，即 NT = TM。交抛物线于A, B两点，过A, B分别作切线11,12 ,点P

22、在抛物线上，且PTLIx轴，13是抛物线在P处的切线，若14过点T且上13交1i,12于N, M,交抛物线于C,D ,试 探索CN|= DM|是否成立。20.纵点交弦，横之蝴蝶89林阳中的实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M的两条 弦端点作两条直线，一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的 线段PM=MQ过双曲线虚轴上任意一点 N (t,0) 的两条弦端点作两条直线，一定截 过N点与对称轴垂直的直线为相 等的线段PM=MQ问题探究202 已知椭圆上过抛物线对称轴上任意一点N(t,0)的两条弦端点作两条直线， 一定截过N点与对称轴垂直的直 线为相等的线段PM=MQ=1,过点T(1,0)的直线1

23、1,12分别交椭圆于A, B两点，和C, D两点，设直线13过点T且l3_Lx轴，交1ac,1bd于点N, M,试证明TN =TM 。21.蝴蝶定理，一般情形实验成果动态课件过椭圆直径所在直线上任意一点T作的两条弦AB, CD,过其端点作两条直线 AC和BD,截 过T点与N点切线平行的直线段，被 T点平 分，即 MT=TR （N点为主轴 OT与曲线的交 点）过双曲线直径所在直线上任意一点 T作的两条 弦AB , CD,过其端点作两条直线 AC和BD, 截过T点与N点切线平行的直线段，被 T点 平分，即 MT=TR （N点为主轴 OT与曲线的 交点）过平行于抛物线对称轴的直线上任意一点T作两条弦

24、AB, CD,过其端点作两条直线 AC, BD,截过T点与N点切线平行的直线段，被 T点平分，即MT=TR （N点为主轴 NT与曲线 的交点）22.主轴分割，等比中项问题探究22实验成果动态课件过椭圆中心 。与点P(xo,yo)的连线交椭圆于 N,交切点弦于点 Q则，|OQ |OP |=|ON |2。且Q点平分切 点弦AB。(无论点P在曲线的什么位置，上述结论均 成立)。且点P与直线Axo x + By0y = 1沿直线PO作 反向运动。双曲线中心 。与点P(x0,y0)的连线交双曲线于 N,交切点弦于点Q则，|OQ |OP |=|ON |2。且Q点平分切点弦 AR (无论点P在曲线的什么位置

25、，上述结论均成立)。且点P与直线Axox + Byoy = 1沿直线PO作反向运动。设过点P与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于 N,交切点弦于点 Q,则，100cQ|O1|=|O |2。且Q点平分切点弦 AR (无论点P在曲线的什么位置， 上述结论均成立)。且点P与直线yoy = p(x+x0)作反向运动。22已知椭圆：+亍=1,过原点0(0,0),点T(21)的直线l交椭圆于点N过点T的中点弦为AB,过A, B分别作切线11,12且交于点P,求证：|OT |OP|=|ON |223.定点割线，倒和两倍问题探究22实验成果动态课件22过椭圆Ax +By =1外一点

26、P(xo, y°)的任一直线与椭圆的两个交点为C、D,与椭圆切点弦AX0X + By0 y = 1的交点为 Q ,则PC| |PD| |PQ| 然。2_成立。反之亦双曲线Ax2 + By2 =1外一点P(xo, y°)的任一直线与双曲线的两个交点为C、D,与双曲线切点弦AxoX + By。y = 1的交点为 Q ,则PC |PD| |PQ|2成立。反之亦b2然。Kpa Kpb - - 2 a过抛物线外一点 物线的两个交点为 切点弦的交P的任一直线与抛11PC | |PD|PQ| 然。C、D,与抛物线 为Q ,则 成立。反之亦PA PR切点分别为A, B,另过抛物线y=x2外

27、一点P(2,0)作抛物线的两条切线 一直线l过点P与抛物线交于两点C D,与直线AB交于点Q试探求蚂+蚂的PC |PD|值是否为定值24.定点割线，内外定积g , 1：业J：U叫| 'H*fc|tf"i ?I工：Hl：/七一川K；： F±e _】|T，E 罚vp = 11.07a = 4.19 押= 242 b = 2 8。桶忸的切点弦性质2 PC = 7.57CU=> 2.KPC-QD= 39.111 IN! t2PD CQ- 39.11 kl!惮143置装D= 5蒋不塞结论 JPC|QD|PD|QC|问题探究23实验成果动态课件、一，一22过椭圆Ax +B

28、y =1外一点P的任一直线与椭圆的两个交点为 C、D,点Q是此 直线上另一点， 且满足 CpQD =|PDCQ则点q的轨迹即为切点弦Axox + Byo y = 1 ,反之亦然。过双曲线 Ax2 + By2 =1外一点P的任一直线与双曲线的两个交点为 C D,点Q 是此直线上另一点，且满足 CPQD =|PDCQ则点q的轨迹即为切点弦Ax°x + By。y = 1 ,反之亦然。过抛物线外一点 P的任一直线与抛物线 的两个交点为 C D,点Q是此直线上另 一点，且满足CP|QD =|PDCQ则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然。22过椭圆A+匕=1外一点P(2,2)作直线l与椭圆交于两点C

29、 D,点Q在线段CD上, 43且满足CP|oD jPdiCq1试探求点q的轨迹。25.主轴交点，切线平行切点弦性质4-0.6血陪双曲绢忖苴弦性质抛物缎的切点；结论AB|L10.00-3.03b 2.71!：- 口"THU |± if-*.二， 消日口 .口中匕问题探究24PA PR切点分别为A, B,另实验成果动态课件22椭圆Ax +By =1中心。与椭圆外一点P( xo, y0)的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦 Axox + By0 y = 1。双曲线Ax2 +By2 =1中心。与双曲线外一点P(x0, y0)的直线与双曲线的交点处的切线平行 于双曲线的切点弦

30、Axox + Byoy = 1。过抛物线中心 O (这中心在无穷远处)与抛物线外一点 P(x0,y0)的直线与抛物线的交点处的切 线平行于抛物线的切点弦过抛物线y=x2外一点P(2,0)作抛物线的两条切线一直线l： x =2与抛物线交于点N,与直线AB交于点Q求证：(1) N点处的切线与直线AB平行，(2) AQ=QB o26.焦点之弦，张角相等问题探究2622已知椭圆之+=1,点F1为椭圆之左焦点,过点实验成果动态课件椭圆准线与长轴的父点G与 焦半径端点A、B连线AG、 BG所成角/AGB被长轴平分双曲线准线与长轴的交点 G与焦半径端点人、8连线人6、BG所成角/AGB被长轴平分抛物线准线与

31、长轴的交点 G与焦半径端点人、8连线人6、BG所成角/AGB被长轴平分F1的直线11分别交椭圆于A, B两点，问是否在x轴上存在一点P。使得斜率kPA +kPB =0。,同27.定点之弦，张角仍等等地定理,1nipBGN= 18,41&mzAGN = 18.41°A-3,JtlEl问题探究27实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一定点N (t,0)的一条弦 AB ,端点与对应点2G(,0)的连线所成角/AGB必被 t对称轴(NG所在直线)平分。过实轴所在直线上任意一定点 N(t,0)的一条弦AB,端点与对2应点G(a-,0)的连线所成角/AGB t被对称轴(NG所在直线)平分。过

32、对称轴上任意一定点 N (t,0)的一条弦 AB ,端点与对应点G(-t,0)的连线所成角/AGB被对称轴(NG所在直线)平分。22已知双曲线 上-上=1,过N(0点的直线li交双 31曲线于A, B两点，问是否在x轴上存在一点P。使得斜率kPA + kPB=0实验成果动态课件! BJJUJ回a = 5 20 I'|i 米Xp（aart）- -3 23t-3,28a = 3.10M!Xpraarti =弋.43问题探究28M、N,若 MF =>“FN （九 >0）,直线28 .对称之点，三点共线过点Q(t,0)的直线交椭圆于 AB两点，点A关于x轴的对称点A',则点

33、A , B,2P(,0)三点共线。三实验成果动态课件过椭圆外一点P作椭圆的两 条切线PA、PB,点P与焦点 连线 PF1, PF2,贝U/APF1 = N BPF2的性质过双曲线外一点 P作双曲线 的两条切线PA、PB,点P与 焦点连线PF1, PF2 , 则APF1 "BPF229 .焦点切点，张角相等L1过抛物线外一点 P作抛物线 的两条切线PA、PB,点P与 焦点连线PE,PF2 （另一焦点在 无穷远处），则 /APFi=/BPF2 。问题探究29过点P（2, 0）作抛物线x2=4y的切线PA （斜率不为 0）, F为焦点，研究斜率 kPF与kPA、kPB的关系。30.倾角互补

34、，连线定角河!1 ； PL；实验成果动态课件过椭圆上一定点倾角互补的两直线与椭圆的 另两交点的连线的倾角为定值百氏二，/Aw过双曲线上一定点倾角互补的两直线与椭圆 的另两交点的连线的倾角为定值共聊弦性质P*料率* 150PB笥|率事=1.50斜串诵=-。一 38过抛物线上一定点倾角互补的两直线与椭圆 的另两交点的连线的倾角为定值而枳AAPB = 50.7摩米2Hi问题探究30过点P(1,2)作直线PA、PB,分别交抛物线4x于A、B两点，且斜率kPB +kPA = 0 ,(1)探究直线AB的斜率是否为定值,(2)试研究三角形PAB的面积是否有最大值。31.动弦中点，斜积定值描网中点弦性质.ki

35、 = 1.90k2 = -0.20ki心=心84实验成果动态课件圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值Kpa Kpb - -1椭圆的弦的斜率与其中点和椭 圆中心连线的斜率积为定值双曲线的弦的斜率与其中点和 双曲线中心连线的斜率积为定 值一一b2KPA KPB1 2a问题探究3122已知椭圆二十£=1的动弦AB的中点为M,试研究斜率kABkoM是否为定值（O为84原点）。32.切线半径，斜积仍定实验成果动态课件圆切线与切线处半径的斜率积为定值Kpo Kl - -1匚刊 飞比町L良总电亦wM.t LO >Lrri»椭圆切线与切点和中心连线的 斜率积为定值b2KPO

36、 KL = - -2 a1 1忖|P值a =3.01b = 365310双曲线切绽与半径的斜率枳为冠住1» M»|斜率丽6 =。85斜率丽/一72 P他0（科 4: CPS）=1.47|UH ¥|了r = 1 47 守双曲线切线与切点和中心连线 的斜率积为定值b2Kpo Kl - a问题探究3222已知点P为椭圆L+L=1上的动点，设点P的切线斜率为k,试研究斜率pk是84否为定值（O为原点）。33.动弦中垂，范围特定36.楠四、双JB/A实验成果动态课件椭圆的动弦AB的中垂线MQ>必 不过焦点（AB不垂直于长轴）若设Q（t,0）,则必有cectcce （e

37、为离心率，c为半焦距）问题探究33双曲线白动弦 AB的中垂线MQ 必不过焦点（AB不垂直于长轴）若设Q（t,0）,则必有一ce<t<ce （e为离心率，c为半焦距）抛物线的动弦 AB的中垂线MQ 必不过焦点（AB不垂直于对称 轴）若设Q（t,0）,则必有t A p （P为焦准距）2 已知椭圆x=1的动弦AB的中垂线交x轴于点P（xo,0）,试研究X0的取值范围。34.定向中点，轨迹直径实验成果动态课件椭圆的定向弦AB的中点轨迹 是过椭圆中心的线段。双曲线的定向弦AB的中点轨迹是过双曲线中心的直线。抛物线的定向弦AB的中点轨迹为平行于抛物线对称轴的射线。问题探究341 .对于给定的椭

38、圆，怎样用圆规和直尺找出椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点、准线。2 .对于给定的双曲线，怎样用圆规和直尺找出双曲线的中心、对称轴、顶点、焦点、渐近线。3 .对于给定的抛物线，怎样用圆规和直尺找出抛物线的对称轴、顶点、焦点、准线。双曲线的定点弦AB的中点轨迹为双曲线抛物线的定点弦AB的 中点轨迹为抛物线。35 .定点中点，轨迹同型实验成果动态课件椭圆的定点弦AB的中点轨迹为原椭圆内的椭圆弧问题探究35过点P(xo,yo)的直线交抛物线y2=2x于AB两点，试探求AB中点的轨迹36 .焦弦张角，内积定值KI上里zlAIfl事验成果动态课件在椭圆焦点所在直线上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积

39、为定值.且在椭朝策向量点积为常数b = 2,B6>:晨； AGCB<os(n/BCA) = -3. 03 厘和情形下定点坐标为_ a2 ',0) . c为半焦距，e为离心率2c 24CB = 一(1 e e )4hl也在双曲线焦点所在直线上必存在一定点，它 与焦点弦端点所张的向量点积为定值.且在2、双曲线情形下定点坐标为(C(3 e),0).2c为焦点坐标，e离心率CA CB =J(1 e2 +e4)4问题探究36y2 = 2px情形下定点C恰为顶点T T3p2CA CB =- 4在抛物线对称轴上必存在一定点，它与焦点 弦端点所张的向量点积为定值.在抛物线2 已知椭圆x=1

40、 ,直线过焦点F(1,0)交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使pA PB为定值37.存在定点，内积仍定向状机为定值I三三于？b = 2.26c - 4.68n = 169a = 5.20幅米a2<2+i a2+b;)-n22a2nXn = 0.00EiM'Ij 电 srii n-Ei> 汁q. nn esw ,：，AC - 6.45 星米BO = 4.36 国米 m-Aae = 3a.liAQ &a-CMiffl_AOBi =毡95 至米n,0)MJ 'it鼠为定值00 =5岫厘米m.燔Q3 = 1M.7小-1.7S2a3nAOBQcosi m _A 把

41、QB 产工归匣维 ；乐足+田七一，"实验成果动态课件过椭圆长轴直线上任一定点P(n,0)的直线交椭圆于 A、B两点，则必存在一定点22ceQ( + (1)n,0)，匕与2n2AB弦端点所张的向量点积为 定值.。c为焦点坐标，e离心率过双曲线实轴直线上任一定点P(n,0)的直线交双曲线于 A、B两点，则必存在一定点22ceQ(+ (1 -)n,0),匕与2n2AB弦端点所张的向量点积为 定值.c为焦点坐标，e离心率问题探究3722已知椭圆二十上=1,直线过点Q(1,0)交椭圆于A41PA PB为定值。2过抛物线 y = 2 px对称轴直线上任一一定点P(n,0)的直线交抛物线于A、B两

42、点，则必 存在一定点定点 C恰为顶点T TCA CB3p24B两点，是否存在一定点 P使问题探究3838.光线反射，路径过焦实验成果 动态课件由焦点发出的光线经椭圆曲 面反射后的光线必过另一焦 点由焦点发出的光线经双曲面 反射后的光线所在直线必过 另一焦点由焦点发出的光线经抛物面 反射后的光线必过另一焦点 （另一焦点在无穷远处，故反射光线会平行于对称轴）要测试一只音响的声音效果，请你设计出一个测试房间，使测试效果尽可能准确39.切线中割，切弦平行 UlMi -1*1 "I实验成果动态课件过椭圆外一定点与切点连线的中 点的任一直线交椭圆于两点，这两点分别与定点的连线交椭圆于 另两点，这

43、两点连线的斜率与切 线斜率相等双曲线中的E线与割线性质过双曲线外一定点与切点连线的 中点的任一直线交双曲线于两 点，这两点分别与定点的连线交 双曲线于另两点，这两点连线的 斜率与切线斜率相等2 23 3 n" a1 1小目 IJUal切线与割线的性城过抛物线外一定点与切点连线的 中点的任一直线交抛物线于两 点，这两点分别与定点的连线抛 物线于另两点，这两点连线的斜 率与切线斜率相等问题探究39抛物线y2 .=x上一点H(1,1),点P是以H为切点的切线上一点,点M满足PM = MH ,过点P的直线li交曲线于A, D两点，过 M, D的直线12交曲线于C点，过P, C的直线交曲线于B

44、点，求证:AB = PH ( = 0)40.直周之角，斜过定点实验成果动态课件以椭圆上一定点 P(Xo, yo)为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点恰在斜边的中点轨迹上。若直角顶点在椭圆上运动时，其对应的定2,22,2a - ba - b点 G(2xo,-2 y。)在一新的 a ba b椭圆上运动以双曲线上一定点 P(Xo,yo)为直角顶点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点，且定点恰在斜边的中点轨迹上。若直角顶点在双曲线上运动时，其对应的222,2上a b a b点 g(2 x0,2 y0)在一新 a - b a - b的双曲线上运动-G-Z-AS抛物线的直周靖性质.以抛物线

45、上一定点P(%, y0)为直角顶点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在斜边的中点轨迹上。若直角顶点在抛物线上运动时，其对应的定点G(x0+2p,-y0)在一新的抛物线上运动.问题探究40抛物线y2=x上一点P(1,1), a,b是抛物线上另两点，且PAPB=0,PQ=PA + PB。41.正交半径，斜切定圆B * C±,ikia = 2.25厘米 b = 3.59ejd-i*j ai问题探究411.设椭圆E:(I)求椭圆E的方程;E恒有两个交点 A,B,且OA _L OB ?若(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆存在，写出该圆的方程，并求 |AB |

46、的取值范围，若不存在说明理由。©22) + *=1 (a,b>0)过 M (2, 72) , N(J6,1)两点，O 为坐标原点, a bKI_J®_zlAl_fl同IkH上J国I记申*1|三二 ：宓|占；：9。度的用心角性质01JF.!烽 I场中*当实验成果 动态课件直角三角形的直角顶点在中心，斜边的 端点在椭圆上，则中心在斜边上的射影 轨迹是圆直角三角形的直角顶点在中心，斜边的 端点在双曲线上，则中心在斜边上的射 影轨迹是圆p 141 A* MMHkHTr ftpf*t."_G,<AlIET 2-HW q 口, *Jr .：IHASA.A E-Fk

47、i = 0.83k2 = -1 20ki 'ks ,LOOa = 5,09 口l!米b = 5.09以米-bzK 水尸=-1 00圆直径性质42.直径端点，斜积定值B施我实验成果动态课件圆上动点对直径端点的斜率积为定值KpA Kpb - 一 1A* Tqits 口 勺霎口rtf> im j£椭圆直径性质椭圆上动点对直径端点的斜率 积为定值ki = 3.45k： = -0.11 k水 产kpks - -0.38海线K K -b2KPA KPB -2aa - 5,09尺米b-3J8用米pB庖我A-b2至二一0秘，i曾赃窗制，毋即力种.双曲线上动点对直径端点的斜 率积为定值b

48、2KPA KPB2a已知定点A(3,0), B(3,0) , P为动点且满足:PA PB的斜率kpALkpB = -抛物线y2 = 2px中垂直于对称轴的弦的 端点对顶点的连线交点轨迹为与抛物线 共顶点的抛物线 y2 = 一2 px。,试探求点p的轨迹2问题探究43实验成果动态课件43.垂弦端点，交轨对偶22椭圆二+12 = 1中垂直于长轴的弦的端 a b点对长轴顶点的连线交点轨迹为与椭圆22共顶点的双曲线二乙=1。a* 2已知椭圆 +- =1的动弦MN垂直交x轴于点P(%,0),椭圆的长轴端点分别为B, B2 ,试探求直线84B1N与B2M交点的轨迹。 b222x y双曲线 _2 _2_ =