立体几何中线面平行的经典方法+经典习题(附详细解答

1、欢迎阅读高中立体几何证明平行的专题（基本方法）立体几何中证明线面平行或面面平行都可 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些 通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性 边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利 （1）通过“平移”再利用平行四边形的性质 1 .如图，四棱锥PABCD的底面是平行四转化为方法：质。（3）利用平行四 用面面平行，等等。边形，点E、F分 别为棱分析：取PC的中点G,连EG, FG,则易证AEGF是 形（第1题AB、 PD 的 中 点.求证： AF / 平 面 PCE; 平行四边2、如图，已知直角梯形 ABCD 中，AB/CD, AB ±BC, AB =

2、1, BC = 2, CD = 1 + J3,过A作AELCD,垂足为E, G、F分别为AD、CE的中点，现将4ADE沿AE折叠，使得DEXEC.（I）求证：BC±W CDE;（H）求证：FG/面 BCD;分析：取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形3、已知直三棱柱 ABCAiBiCi中，D, E, F分别为AAi, CCi, AB的中点, M为BE的中点，ACXBE.求证：(I ) CiDXBC;(II) CiD /平面 BiFM.Bi分析：连EA,易证CiEAD是平行四边形，于是 MF/EACE，.MAi4、如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA-L A

3、D,CD 1>D,CD=2AB, E为PC的中点，证欢迎阅读明：EB 平面PAD;分析：取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质5、如图, 面 EFG。分析：连已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、MD交GF于H,易证EH是4AMD的中位线求证:AM /平6、如图，ABCD是正方形，。是正方形的中心，E 中点。求证：PA/平面BDE是PC的7.如图，三棱柱ABCAiBiCi中，D为AC的中 求证：ABi/面 BDCi;分析：连BiC交BCi于点E,易证ED是 BiAC的中位线占八、.8、如图，平面 ABEF _L平面ABCD ,四边形ABEF与

4、ABCD者B是直角梯形,0 i i/BAD =NFAB =90 ,BC - AD , BE 一 AF , G, H 分别为 FA,FD 的中点 22(I)证明：四边形JBCHG是平行四边形;(H) C, D,F,E四点是否共面？为什么？(.3)利用平行四边形的性质B9.正方体ABCDAiBiCiDi中。为正方形ABCD的中心，M为BBi的中点,求证：Di O/平面AiBCi;分析：连DiBi交AiCi于Oi点，易证四边形 OBBiOi是平行四边形小C,欢迎阅读110、在四棱锥 P-ABCDt, AB/ CD AB'DC 2求证：AE/平面PBC分析：取PC的中点F,连EF则易证ABFE

5、 是平行四边形11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，/ ACB=901 E A，平面A BCD,EF / A B , F G / B C , E G / A C(I)若M是线段AD的中点，求证:.A B = 2 E F .GM/平面 AB F E ;(H)若AC = B C =2 AE，求二面角 A -B F -C 小.证法一:因为EF/AB, FG/BC , EG/AC ,jACB = 90口所以NEGF =90"ABC s AEFG.由于 AB=2EF ,连接AF ,由于在Labcd中,因止匕，BC=2FC,1 一FG/BC, FG=，BC 2i . J F 1

6、 I- IM是线段AD的中点，则 AM/BC ,且 AM =1 BC2因此FG/AM且FG=AM ,所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM/FA。又FA二平面ABFE , i GM0平面ABFE ,所以GM/平面AB。(4)利用对应线段成比例12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点,M、N分别是SA、BD上的点，且AM BNSMND求证：MN/平面SDC分析：过M作ME/AD ,过 N 作 NF/AD利用相似比易证MNFE是平行四边形13、如图正方形 ABCD与ABEF交于AB , M, N分别为AC和BF上的点且 AM=FN求证：MN /平面BEC分析：过 M作MG/AB，过N作NH/

7、AB利用相似比易证MNHG是平行四边形（5）利用面面平行14、如图，三棱锥 P-ABC 中，PB_L 底面 ABC,2BCA=90", PB=BC=CA , 为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP.（1）求证：BE_L平面PAC;（2）求证：CM/平面BEF;E为PC的中点，M分析：取AF的中点N,连CN、MN,易证平面CMN/EFB一、选择题一 _;1 .下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A . 一个平面内的一条直线平行于另一个平面8. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面E直线、平面平行的判定及其性质AC. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D. 一个平面内任何一条直

8、线都平行于另一个平面2. E, F, G分别是四面体ABCD勺/麦BC, CD DA的中点，则此四面体中与过 的棱的条数是E, F, G的截面平行A . 0 B 上.13.直线a, b,c及平面汽，P,使a/b成立的条件是A. a/a,bcaB. a/%baC.4.若直线m不平行于平面« ,且m0二，A. 口内的所有直线与m异面C. 口内存在唯一的直线与 m平行5.下列命题中，假命题的个数是（）a/ c,b /c D. a/%/P =b则下列结论成立的是（）B. «内不存在与m平行的直线D . 口内的直线与m都相交一条直线平行于一个平面， 有且只有一条直线和这个平面平行;这

9、条直线就和这个平面内的任何直线不相交;过平面外一点过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行;于同一条直线的两条直线和同一平面平行； a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行 a平行A. 4B. 3C. 2D. 16.已知空间四边形ABCD中，M,N分别是AB,CD的中点，则下列判断正确的是（BDN分别是面 AACD, ABCD的重心，则四面体的M, N, P分别为E为DD1中点，则BDi和平面9.正方体 ABCD-AiBiCiDi 中,二、填空题7.在四面体ABCD中，M, 四个面中与MN平行的是8.如下图所示，四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点, 其所在棱的中点，能得到 AB面MN

10、P勺图形的序号的是C - MNA - MN1 AC BC1 八 人J AC BC21_MN AC BC1 八 人MN 弓 AC BCACE位置关系是解答题10.如图，正三棱柱ABC -A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是J3, D是AC的中点.求证：BiC/ 平面 AiBD .11.如图, 证：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，E, M, N, G分别是AA1, CD, CB, CC1的中点， 求 MN/B1D1 ; (2) AC1/平面 EB1D1 ; (3)平面 EB1D1/平面 BDG.参考答案一、选择题1. D【提示】当acP=i时，口内有无数多条直线与交线l平行，同时

11、这些直线也与平面P平行.故A,B, C均是错误的2. C【提示】棱AC, BD与平面EFG平行，共2条.3. C【提示】a/%b仁巴则a/b或a,b异面；所以A错误；a/。，b/u ,则a/b或a,b异面或a,b相交, 所以B错误；a 口p Pl P =b，则ab或a,b异面，所以D错误；ac,bc, 则ab ,这是公理4,所以C正确.欢迎阅读4. B【提示】若直线m不平行于平面色 ,且m<x u ,则直线m于平面a相交，d内不存在与m平行的 直线.5. B【提示】错误.过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平 行.过直线外一点有无数个平面和这条直线平行平行于同一

12、条直线的两条直线和同一平面平行 或其中一条在平面上.6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7. 平面ABC,平面ABD【提示】连接AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F,由重心性质可知，E、F重合 为一点，且该点为 CD的中点E,由典=空=1得MN/AB.因此，MN/平面ABC且MN/平面MA NB 2ABD.8. 【提示】对于，面 MNP面AB,故AB/面MNP.对于，MP/AB,故AB/面MNP,对于，过 AB找一个平面与平面 MNP相交，AB与交线显然不平行，故不能推证 AB面MNP.9. 平行【提示】连接 BD交AC于。，连OE

13、, a OE / B D1 , OEC平面ACE ,B D1/平面ACE.三、解答题10. 证明：设ABi与AF相交于点P,连接PD,则P为ABi中点，D 为 AC 中点,?. PD/B1C.产*. J又 PD 仁平面 A1BD,B1c平面 A1BD11.证明：（1） ； M、N 分别是 CD、CB 的中点，MN/BD厂（ （又；BB1/DD1,，四边形BB1D1D是平行四边形. =所以 BD/B1D1.又 MN/BD ,从而 MN/B 1D1（2）（法 1）连 A1C1, A1C1 交 BiDi 与。点;四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是AiCi的中点E是AA1的中点，二EO是 AA iCi的中位线，EO/AC1.ACi<z面 EB1D1 , EOU面 EBiDi,所以 AC1/面 EB1D1（法2）作BBi中点为H点，连接AH、C1H, E、H点为AA1、BBi中点，所以EH/C1D1,则四边形EHCiDi是平行四边形，所以ED1/HC1又因为EA/BiH,则四边形EAHBi是