角函数公式大全及推导过程

1、三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数y正切：tan 一 x在角 的终边上任取一点P(x, y),记：r 、f：x2 y2 ,正弦：sin 余弦：cos - rr二、同角三角函数的基本关系式商数关系：tansin b»斗力 .2,平方关系：sincos2 cos11 tan2三、诱导公式公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2kjt + a) = sin a cos (2kjt + a) = cos a tan (2kjt + a) = tana公式二：设a为任意角，冗+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系： sin (九 + a ) = -

2、 sin a cos (九 + a ) = - cos a tan (九 + a ) = tan a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系： sin ( - a ) = - sin a cos (- a ) = cos a tan ( - a ) = - tan a公式四：利用公式二和公式三可以得到 冗-a与a的三角函数值之间的关系：sin (兀-a ) = sin a cos (兀-a ) = - cos a tan (兀-a ) = - tan a公式五：利用公式-和公式三可以得到2九-a与a的三角函数值之间的关系:sin (2九-a公式六：=-sin a cos (2冗-a ) =

3、 cos a tan(2 冗-a ) = - tan aa ) = sin a 2(一+a ) = - sin a 2/ 3、(-a ) = - sin a23+a ) = sin a2±a及3- ±a与a的三角函数值之间的关系: 22sin ( - a ) = cos acossin ( +a ) = cos acossin ( 3- - a ) = - cos a cos 2sin ( 3 + a ) = - cos a cos 2三、两角和差公式sin()sincoscossinsin()sincoscossincos(cos cos sinsincos(cos co

4、s sinsintan(tan tan1 tan tantan(tan tantantan四、二倍角公式sin22sincoscos22 cos. 2 sin22cos_22sin ,()tan 22 tan1 tan2二倍角的余弦公式（）有以下常用变形:（规律：降幕扩角，升幕缩角）21 cos2 2 coscos22sin21 sin 2 (sin、2 cos )sin 2(sin cos )2其它公式五、辅助角公式:asinx bcosx.a2 b2 sin(x（其中tan a其中：角的终边所在的象限与点（a,b）所在的象Bg相同，（以上kCZ）六、其它公式:1、正弦定理：sin A si

5、n BcsinC2R（R为 ABC外接圆半径）2、余弦定理-22-2a b c2bccos A2accosB22. 2cab2abcosC3、三角形的面积公式一 1S ABC 底同 S abc21一 absin C211bcsin Acasin B (两边一夹角)22万能公式推导sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /(cosA2( a )+sinA2( a )*,(因为 COSA2( a )+SinA2( a )=1)再把* 分式上下同除 cosA2( a),可得 sin2 a =2tan a /(1+tanA2( a )然后用a /2代替a即可。同理可推导余

6、弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式推导tan3 a =sin3 a /cos3 a二(sin2 a cos a +cos2 a sin a )/(cos2 a cos a -sin2 a sin a )2s二(2sin a cosA2( a )+cosA2( a )sin a sinA3( a )/(cosA3( a ) cos a sinA2( a ) inA2( a )cos a )上下同除以cosA3( a ),得：tan3 a =(3tan a tanA3( a )/(1- 3tanA2( a )sin3 a =sin(2 a + a )=sin2 a cos

7、 a +cos2 a sin a=2sin a cosA2( a )+(1 2sinA2( a )sin a=2sin a 2sinA3( a )+sin a 2sinA3( a )?=3sin a 4sinA3( a )cos3 a =cos(2 a + a )=cos2 a cos a sin2 a sin a=(2cosA2( a ) 1)cos a 2cos a sinA2( a)=2cosA3( a ) cos a +(2cos a 2cosA 3( a )=4cosA3( a) 3cos asin3 a =3sin a 4sinA3( a )cos3 a =4cosA3( a )

8、3cos a和差化积公式推导首先,我们矢口道 sin(a+b尸sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b尸sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道 cos(a+b尸cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b尸cosa*cosb+sina*sinb所以，把两式相加，我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*co

9、sb所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我彳门就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积