立体几何线线垂直专题(史上)

1、P ABCD的底面是菱求证：平面PAC 平立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：(1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。(3) 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。(4)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直

2、的常用方法：例1、(等腰三角形三线合一) 如图，已知空间四边形 ABCD中，BC AC,AD BD , E是AB 的中点。求证：(1) AB 平面CDE; (2)平面CDE 平面ABC。证明：(1) BC AC CE AB 同理，AD BD DE AB AE BEAE BE又CE DE EAB 平面 CDE(2)由(1)有AB平面CDE又; AB 平面ABC,.平面CDE 平面ABC例2、(菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一)已知四棱锥PCAB形.PB PD , E为PA的中点.(I)求证：PC /平面BDE ; ( H)例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中ACB 90 , SA

3、面 ABC,AD SC,求证:AD 面 SBC.证明：: ACB 90。BCAC又SA面ABCSA BCBC面SACBC AD 又 AD,SCBCC AD面SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆。在平面,AB是圆。的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC,点E是线段PC的中点.求证：AE 平面PBC.证明：: PA 。0所在平面，BCfe。的弦，. BC PA.又; AB是00的直径，ACB是直径所对的圆周角，BC AC.v PA。AC A, PA 平面 PAC , AC 平面 PAC. BC 平面 PAC , AE 平面 PAC ,AE BC .

4、v PA AC，点E是线段PC的中点. AE PC .v PCpBC C, PC 平面 PBC , BC 平面 PBC. AE 平面 PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD1等腰梯形，AB/ CD /DAB = 60 , AE BD, CB= CA CF 求证：BDL平面 AED证明 因为四边形ABCD1等腰,$形，AB/ CD / DA比60 ,所以/ ADC= / BC氏 120 又CB= CD所以/ CD比30 ,因止匕/ AD氏900 ,即ADL BD又 AE, BD 且 AEA AD= A, AE, AD?平面 AEQ所以BD，平面AED例6、（勾股

5、定理的逆定理）如图 7 7 5所示，已知直三棱柱 ABC-ABG中， AB以等腰直角三角形，/ BAC 90 ,且A五AA, D、E、F分别为BA、GC BC的中点.求证：（1） DE/平面 ABC （2） BF，平面 AEF例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD- ABGD中，AC平面BCD证明：连结ACv BD，AC - AC为AC在平面AC上的射影BD A1CAiC平面BGD 同理可证AiC BCi练习；1、如图在三棱锥P ABC中，AB= AC D为BC的中点，PU平面ABC垂足。落在线段AD上.证明：AP，BQ一，一一 1 一一 ，一，_ 2、直三棱柱ABO AB1G中，AC=

6、BC= /AA, D是棱AA的中点，DG，BD证明:DG，BG3.如图，平行四边形 ABG时，/ DA氏60 , A五2, AD= 4.将 GBD& BD折起至1 EBD的位置，使平面EBDL平面ABD 求证：AB DE； (2)求三棱锥EABD勺侧面积.4、在正三棱柱 ABG A1B1cl中，若AB=Z AA1 1,求点A到平面A1BC的距离。5、如图所示，在四棱锥 P ABC外,底面ABC典矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB PC的中点，PA= AD求证：(1) CD! PQ(2) EF，平面 PCD6、如图759(1),在RtzXABC中，/ C= 90 , D, E分别为AC

7、AB的中点，点F为线段求证:(2)求证:DEE/平面AiFXBE.CD上的一点,将 ADEgDE折起到AA iDE的位置，使 AF，CD如图(2).ACB.(3)线段AiB上是否存在点Q,使AC，平面DE或明理由.P(菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一)已知四棱锥P ABCD的底面是PB PD , E为PA的中点.(I)求证：PC /平面BDE ; ( H)求证：平面 A平面BDE .立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条 2、线面垂直的判断：(1)如果一直

8、线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。(3) 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。(4)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：例1、(等腰三角形三线合一)如图，已知空间四边形ABCD中，BC AC,AD BD , E是AB 的中点。求证：(1) AB 平面CDE; (2)平面CDE 平面ABC。证明：(1) BC AC CE AB 同理，AD BD DE AB

9、AE BEAE BE又CE DE E . ab 平面 CDE(2)由(1)有AB 平面CDE又v AB 平面ABC ,；平面CDE 平面ABC 例2、菱形.PACDCAB例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中ACB 90 , SA面 ABC,AD SC,求证:AD 面 SBC.证明：. ACB 90。 BC AC又 SA 面 ABC SA BCBC 面 SACBC AD 又SC AD，SC BC C AD 面 SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆。在平面，AB是圆。的直 径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC,点E是线段PC的中点.求证：AE

10、 平面PBC.证明：: PA 。0所在平面，BCfe。的弦，. BC PA.又; AB是。0的直径，ACB是直径所对的圆周角，.二BC AC.v PApAC A, PA 平面 PAC , AC 平面 PAC. BC 平面 PAC , AE 平面 PAC ,AE BC .V PA AC，点E是线段PC的中点. AE PC . PCBC C, PC 平面 PBC , BC 平面 PBC. AE 平面 PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD1等腰梯形，AB/ CD /DAB= 60 , AE BD, CB= C* CF 求证：BDL平面 AED证明 因为四边形ABC

11、英等腰,$形，AB/ CD / DA氏60 ,所以/ AD(C= / BC氏 120 又 CB= CD 所以 / CD&300 ,因止匕/ AD氏90 ,即ADL BD又 AE_L BD 且 AEA AD= A, AE, AD?平面 AEQ所以BD1平面AED例6、（勾股定理的逆定理）如图 7 7 5所示，已知直三棱柱 ABC-ABG中， ABC等腰直角三角形，/ BA:90 ,且A五AA, D、E、F分别为BA、GC BC的中点.求证：（1） DE/平面 ABC （2） BF，平面 AEF垂足O落在线段AD上.证明：AP，BC；例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD- ABGD中，AC

12、平面BGD证明：连结ACv BDXAC AC为AC在平面AC上的射影BD A1cAC平面BGD同理可证AiC BCi练习;1、如图在三棱锥P ABC中，A五AC D为BC的中点，PU平面ABC2、直三棱柱 ABO ABC 中，AC= BC= /aA, D是棱 AA 的中点，DG，BD(1) 证明：DC，BC证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于 D为AA的中点，故DC= DG.1又 AG= AA,可得 DG+DG= CG,所以 DGDG又 DG，BD DGP BD= D,所以 DG,平面 BCD因为BG?平面BCD所以DGBG3.如图，平行四边形 ABGM, /DA&600 , AB= 2,

13、 AD= 4.将 GBD& BD折起至1! EBD的位置，使平面EBDL平面ABD(1)求证:AB DE(2)求三棱锥EABD勺侧面积.(1)证明：在4ABD中，v AB= 2, AD= 4, / DAB= 60设F为ADi的中点,连接FB,.ABF为等边三角形，/AF回 60 ,又D曰BF= 2,. BFD为等腰三角形. / FD氏 30 ,故/ AB氏 90 .AB BD又平面EBDL平面ABQ平面EBD?平面ABA BD AB?平面ABD.ABJ面 EBD . DE?平面 EBD - ABI DE(2)【解析】由(1)知 AB，BQ . CD/ AB, . CEK BQ 从而 DH BD

14、_1_-在 RtzXDBE中，v DB= 24 D昌 DC= AB= 2,，SzDB- 2DB- D 2 .13. AB,平面 EBD BE?平面 EBD AB,BE v BE= BG= AD= 4,二 Saabe= 1aB- BE= 4. v DEL BD,平面 EBDL平面 ABD ED，平面 ABD而 AD?平面 ABD1EDIAR ；Sde= 2AD- DE= 4.综上，三棱锥 EABD勺侧面积 S= 8+2/3.4、在正三棱柱 ABC AiBiCi中，若AB=Z AAi 1,求点A到平面AiBC的距离。6如图所示，在四棱锥P ABC冲，底面ABCD1矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分

15、别是ARPC的中点，PA= AD求证：(i) CD!PD；(2) EF，平面 PCD证明 (i)PA，底面 ABCD CD!PA又矩形 ABCDfr, CD! AD,且 Am PA= A, CDL平面 PAD CD PD(2)取PD的中点G,连接AG FG又二 G F分别是PD PC的中占i_ _ .GF2CD -GFAE,二四边形 AEFG是平行四边形，.AG/ EF . PA= AR G是 PD的中点，；AG!PR - EF PR. CDL平面 PAR AG 平面 PAD ； CD! AG . . EF CD. PDA CA D, . EF，平面 PCD 6、如图759(i),在RtABC中，/ C= 90 , D, E分别为AC AB的中点，点F为线段CD上的一点，将 ADE仟DE折起到AA iDE的位置，使 AF，CD如图(2).求证：AF，BE.(3)线段AiB上是否存在点Q,使AC，平面DEQ明理由.求证:【规范解答】(i)因为D, E分别为AC AB的中点,所以DEE/分又因为D曰平面ACB,所以DE/平面分(2)由已知得ACL BC且DE/ BC所以DEL AC.所以 DEL AiD, DEL CD.所以DE1平面分又AiF?平面ADC所