广东省2020届高三第二次线上统一测试(4月)数学(理)试题

1、不要等待机会，而要创造机会2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 A= x -<2x<2 , B=x|ln(x 1)W0,则 AA ( eR B)=2 2A. B.( T, 1C.1,1)D.(-1, 1222 .棣莫弗公式(cosx + isinx) n= cosnx + isinnx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667 1754)发现 的，根据棣莫弗公式可知，复数 (cos

2、+isin )6在复平面内所对应的点位于A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3 .已知点(3, 1)和(一4, 6)在直线3x2y + a=0的两侧，则实数 a的取值范围是A. 7<a<24 B.a =7 或 a = 24C.a<7 或 a>24 D. 24<a<74 .已知f(x)(a 2)x3a,x是(8,+8)上的减函数，那么实数a的取值范围是A.(0 , 1)B.(0,C.5 .在4ABC中，D是BC边上一点,11-,1)D.62uuir AD± AB, BC61)uuurj-uuuruuurJ3BD , AD =1

3、,则uuir uuur AC AD =A.2 .3 B.-3C.3D.、,31的正方形,6 .已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 则此四棱锥的体积为A. 一 2B.6 工 C. 1D.2,237 .在等差数列an中，S为其前n项的和，已知3a8=5a13,且a>0,若Sn取得最大值，则 n为A.20B.21C.22D.238 .已知抛物线y2=8x,过点A(2, 0)作倾斜角为石的直线I,若l与抛物线交于 B C两点，弦BC的中垂线交x轴于点巳则线段AP的长为人16A.B.C.16:3D.8,39 .已知函数f(x) =sin( 3 x+ 4)

4、( 3 >0, | 4 | <a)的最小正周期是兀，把它图象向右平移三个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数。现有下列结论：一 一一一一，,，5,函数f(x)的图象关于直线x=一对称 12函数f(x)的图象关于点(一，0)对称函数f(x)在区间，一上单调递减其中所有正确结论的编号是A. B. C. D. 一一3. 一，函数f(x)在z，/上有3个零点DOOB1的值为二、填空题：本大题共一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在 2个片区的概率是2x16.在平面直角坐标系中，过椭圆ay2b21(a b 0)的左焦点F的直线交椭圆于 A, B两点，C为椭圆的右焦点，

5、且 ABC是等腰直角三角形,且/A= 90° ,则椭圆的离心率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考0.6 。设各局比赛相互间没10 .甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以 3: 1获胜的概率是A.0.0402B.0.2592C.0.0864D.0.172811 .设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当 xC2, 3时，f(x) =x,则xC 2, 0时，f(x)的解 析式为A.f(x) =2+|x+1| B.f(x) =3|x+1|

6、 C.f(x) =2-x D.f(x) =x + 412 .如图，长方体ABCD- ABCDi中，E、F分别为棱 AR AQ的中点。直线DB与平面EFC的交点 O,则4小题，每小题5分，共20分.13 .已知x轴为曲线f(x) =4x3 + 4(a - 1)x + 1的切线，则a的值为14 .已知Sn为数列an的前n项和，若 S=2an2,则G&=。15 .某市公租房的房源位于A, B, C三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分.17 .(本小题满分12分)在 ABC中，内角 A B

7、C对边分别是 a、b、c,已知sin 2B= sinAsinC 。求证：0<BW；3o A C(2)求2sin sin B 1的取值范围。218 .(本小题满分12分)如图所示，四棱锥 S ABCM, SA1平面 ABCD AD/BC, SA= AB= BC= CD= 1, AA2。在SD上是否存在一点 巳使得CP平面SAB?青证明你的结论;(2)求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值。19 .(本小题满分12分)22已知椭圆C:二匕 1 , A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，M为椭圆上的动点。124(1)求/ AMB勺最大值，并证明你的结论；(2)设直线AM的斜率为k,且kC

8、( - 1 , 1),求直线BM的斜率的取值范围。2320 .(本小题满分12分)已知函数f(x) =ln(x +1), g(x) = ex(e为自然对数的底数)。x a(1)讨论函数 (x) f (x) 在7E义域内极值点的个数；x(2)设直线l为函数f(x)的图象上一点 A(xo, y°)处的切线，证明：在区间 (0,+8)上存在唯一的 xo,使 得直线l与曲线y = g(x)相切。21 .(本小题满分12分)2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊 1349例患者(无境外输入病例)。100名确诊

9、患者，统计他们的年龄数据,(1)为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取得下面的频数分布表:年龄10;川(20.30(30.40(40,50(50,60(6070Jg80(8090.(90,100人数61218221217由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z服从正态分布 N(w, 15.2 2),其中 科近似为这100名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)。请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上(>70)的患者比例；(2)截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者(均已接受检测)中确诊患者约占10%以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者

10、确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20名密切接触者随机地按 n(1<n<20且n是20的约 数)个人一组平均分组，并将同组的n个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n个人抽取的另一半血液逐一化验，记n个人中患者的人数为 Xn,以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的 n的值。参考数据：若 ZN(科，/),贝U P(科b <Z<p + d ) =0.6826 , P(科-2(t<Z< +2 ) =0.9544 , P(厂3 <Yq

11、 + 3(t) = 0.9973 , 0.9 4= 0.66 , 0.9 5 0.59 , 0.9 10= 0.35。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做， 则按所做的第一题计分。22 .(本小题满分10分)选彳4 4-4:坐标系与参数方程x tcosx 2cos在平面直角坐标系 xOy中，直线l1：(t为参数，0<“<一),曲线C:( 3为y tsin2y 4 2sin参数)，1i与。相切于点A,以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)求C的极坐标方程及点 A的极坐标；(2)已知直线l2： 0 = (

12、 p R)与圆G： p 243cos。+ 2= 0交于B, C两点，记 AOB勺面积为S1, COC的面积为S2,求运的值。S2 S123.(本小题满分10分)选彳45:不等式选讲 已知 f(x) = |x - 2a|。(1)当a= 1时，解不等式 f(x)>2x +1;2(2)若存在实数aC (1 , +8),使得关于x的不等式f (x) x -2 m有实数解，求实数m的取值范围。a 1理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2. C3. A4.C6. D7. A10. Bll.B12. A二、填空题;14 3215.142716.二、融答题;解答应写出。字说明,17.1 本小题满分

13、12分)在&中,内角8、。对造分别昆门、b、t ,已知siiB=sinXwinC.(1)求证工0 < B W?：(2)求2疝？"£+&inB L的取值着同解：C1)由正弦定理可得s.111 A &uiB siii C二 sin，二，'siii5 =* siiiC =.1R1R2RV sin(2) 2iin'十siiiBl = -C0S(j4 4 (?) + 而 E= oo与8 + siuB卫i,S #山(1)揖0cBMg . 工工.IQ 分 4 124即1 in2空二十 B-1的小值范是(L VI.12分18-(本小题满分12分

14、)如图所示，四棱锥S 4BCD 中.SA1 平-面 AD BC , SA= AB= BC = CD = , AD=2.(1)化棱工D上是否存住一启尸.侵卷CP/严面MB?请证明你的结论；(2)求产面MB和平面SCD所做税 而用的余效值 3 = sin JsmC.:* b =ac -4分lac4 出2r上一 &2= 2ac-ac I :.cos =>=-,二04月6分证明；(门:与点F内梭5D的中方时.CP 平二面£48,让明如下: 取£4的中点F.连结口、FB. PC,则FP '：ADuBC t .4B-BCCD . AD2. JiA AE=-. BE

15、= t 22IR> JiOjIOh B -,- 口史二.JI， />(.：,(. I. .S：IMJ.1J. JIAS = (0.04)* 启5 =, SD = (0,2, 1)i DC .0)* *8 分设平面以B的法向量为)=(孙平面SCD的法向量为a=(毛，死.4),则Kj - AS = o. I 九工-SD = 0., T，5.，ri , jiB - 0. | % l DC tX AD且FP = qjiZ)，+,2分*； ADfiBC , SC=-AD = lrC BC ：| FPBC .二四出用FBCP为平日四边JK-4分二 CP IEF .UPh 卜面£45.

16、 AFul 面£1B.二CP 平面£或，5分(2)在¥面且就心内过点看作出线/D电线上-SAL 平面，£4_LAD.、可线月£、小和.0收阳聿有，*1 = 6，工%-J =。、以点d为原点，分加以Fi线短、ADASx. p和工建立加剧所亭的直角坐标系， 过点/作月E1HD交宜战/DTE.艰工l=J5, x3=VJ可得rtj = (y/3. 3,0)/=(V-3.6).lo 分疝-3.0卜疝3.6）_ 1J诉仪7/串广2。64，平面幺6和平面5CD所成锐二面角的余强也为上一 L2分419.（本小题满分12分）已知椭回C;二十乙=】，A . E分别

17、是椭圆C长轴的左.右端点，M为椭同上的动点. 12 4（1）求工4A加的最h值.并证明你的结论；（2）设直线dAf的斜率为匕且正亡（一；：）求直线力材的料率的取值范围.2 3解：C1）根据椭圆的前称件，不妨设M。*,盟）（一2君< /< 26。'2）.过点M作MH_L工轴，垂足为日，（0<?0<2）,1分于是，有tanZ4Mff =|谢_32后 函T崎_防_2万一玉一口放1一外1 血一如必= M=+)用口乙LKH 十跖口ZBA/ZZ _4j3v07w -UfHta口工Al田-i；+y：-12',3 分丁点在例U I，:* 幅口 /AMB =.'.

18、tail AMB =一二 < -VJ，与0< ZAMS < 国 1，一<44疥的最"的内生.此时£ 二 3即点”为桶同C的匕顶点.根抠桶照的材称性.当点时内聃回。的麻辅的顶点时.乙必m四最大信.兀尻上侑为,7分（2）亚百姓力”的曾奉为尸.*0 +汽），剧，-苫 + ?= 1 J ¥ = 12 - 3 *二=一！， 10 分": £ B（一2一；1二k'L，3故目建HA/的斜率的取值轮因为12分20.虫小窗清分10分）已知函敬/口） = hil，41J,g（£） = * C为门然对数的底数）.C）附论函数

19、或。-fM - 正定义域内极值点的个数： X（2）设直至？为函数/。）的图象上，点处的切线，iD助在区间（0.2）上存在唯f的4r使得直技/与前线j-g0）相切.杯工 C1）中（工）=/0）-= ln（'Al）-11T3-1 同、±0"XX2、 1 a m + q/ 3 = * 工+ 1 x-（，+1）/令 ft（x） =，' + 口* +。* =一碗.1 分T）当A =时.即当0M口 £4时硝）之0,此时如力在（一L0）和色+=6/用递增,土横值点；2分当A :/一面0时，即当。0或白4时.函数A（x） = / +ar+。一两卜零点,-a - 4

20、c1 -4a -n +- 4n巧 2* I ；，ti）刍。之口时.rnj_ ,2 +- If1 4（r i一 4。 -旧 4 4t因为一1 网=；0,所以和0勒 ）1，3分所以函数3a在（-l三）甦m速港，在和（0,毛）上单调递Me.在"吟上推凋通增，此时函“飙灯有两十极值点；7分(li)当白>4时，2 +(t + Jn' - Ac Ja" - 4<r + 4 yla' - 4a因为一1 -r = > 0 *一个r所以毛（三一 1比依中O03 G在JLQ：和值偏递增“上极值点5分标上所述，当SN0时，晶故仪工）无极侑点，当口0时，闲散中（外

21、有两个摄值点.- -6分（曾因为rw=法以函数f（t）的图象上一点/（ I；.乳）处的w线，的方n m表示为设直线，与曲战尸二双不相切干点名里）,网为g'（4=亡）所以小 , 5】丸=11>8+1)，上1、亡 f-( 工日)/十1消去.并整理，窗11分工1）在单调递增,由(1)可知,当白=1时, F8效争住1 = ln(工+ 11 H + 1X又死9一独二40,奴mc - Ie' - 1所以函热 咐 e（c-Lcs-l）上有唯一的零点，又因为孤幻在QX）单调连增,所以为程+D一区11 = 0（0.4）11（!在唯的根，敝在R问（口“）上存百吁一的”,使用直钱/与曲找y =

22、 g（»用切.整分21.本小题博分建分）2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国.某省由于人员流动性狡大.成为黜I匕省外狡情最芦重的省 舟之一,磁至2月弱日.访省已案计破恰】349例恚若（无境外稿人病例J .（D为了好新过肺窕的相关特征，研究人员从该省随机油取100%确衿患拧.一计他们的年 龄数堀，布下面的预数分布表：年龄10 ：q(20 SO(30 40(40,50(50,60(g7b(7C,B0(80(W.IOO人题6121822ifc Jr1247 一山独敷分布表可以大致认为，读省斯通肺度小者的年合Z股从正息分布NU，52日,其中" 近似为这100名患老年箭的样本平均数。可

23、一咀中的数话用该组区间的中点值作代表）.请估计读省新 冠林炎患者年龄在7。岑以上（>70）的思者比例卜则叫估计该省痈诊新冠肺炎患者年龄任70岩以上冷患者比例为15*7%.bB团解法一，根据整章.瘠括密切接触荷痢冷为新无病发的慨第均内,门的可能取值为？，* 105. L0，m we24"QH，对于某组X个人-化验欢&V的可能取值为1，打十1.9p(y=i>=(.p(k = h+i)=i 109。9g=2二：卜二(i-1n 10口可1-()# +(m + 1) 1(y - n + ln()".人的化验苴次教为/5=2n+l-n<r n10空门箕，-t

24、/(5)12.2, /(10)15.肮以.当料=4时符合抽意.即按4人一组检测,可使化验总次数最少. 1?力解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为工TTii可能取值为2, % i- 10, 10当同工24510时，上8（小春），了分逐以神个人为一组时.省内福人所需的化验次数为F.则F的可能取信为，1 +上.则E一舄八0 6KHe1-方/（仃）=20 1+则加人所需的化跪次数为L耳】0，（2尸 133, /（4卜113. 丁（5）122.八10）015,所以，存合制意的 =4,即按4人一组检测.可怏化验总次数最少. 12分22 .（本小题满分1口分:选修4 - 4；坐标系与参数方程一 八

25、 ， fr=/cosa<jt（x= 2cds/?»在平面直角坐标系工3冲，直线外Cf为参数，0<曰<一）,曲战 总j = fs1n 口2y=4+2stnp（口为参数），与G相切十点a，以坐标喙点为粮点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求G的极坐标方理及点t的被坐标二（2J巴归直线h 8=EgwR）与圆G： / 4历2s& + 2 = 0交于E , c两点，记 6的面和为况,八eq的面积为5门 求兴十兴的信. 均 *帐 （1） 解法一由题意可知，G的直角坐标方理为X,+3-4产=4,fr = x?cosA将： .白代人得G的板坐标方程为川一一X/sin

26、8 + 12 = 0.2分（7 = psui<?I 也.）=FCO5G, d7T又4的参数方程为<（，为参数.0<s<），>=；SU1（T2得L的极坐标方程为*M/WR）.3分榔代入得/？一名户占m口+120,则4父居即1/、4、】？ = 0+ 乂OUorC；, 解得口三，此时/wG 所以点上的狄坐标为（2右守，5分（解法二）由题尊口:纪.G的直角里原方行内：？*。-匐二=4.jc = poos A,将,Y= $m8代入.得G的极坐标方程为0'工M8 + 】2=2分J P £111国为与色相用丁点d，所以在Rt八。C月中.行| O川与，0煌二岁&

27、#163; = 2百.ZAOC = = » 所以 ZX<7t=三， 4 分山极审标的几何惹义，可得X12"5分（2）由Q的极"标方程为""-4再斗仆9+? = 0，可得G的有用坐标方行为（.x-2）!+v2-5,所以圆心。式26t 8分设身用心，。修，工）将6二三代入/一4百户£86 + 2 = 0， 436券户£p4-2 = 0.所以4+必=5 +注取-117分又因为Hsmlg-/）=三与=：a"/户力，;咚2， 8分230 占2&2所吟吟二十邑一心占皿】0分% P： R A 鼻23 .（木小题清分1。分）选修4-51不等式选讲已旬FCO =|K一 2H.（E当。=1时，眸不等式幻241：（2）若存在实数田）.使得美于工的不等式fSHA二一股有实数解，求实&E的 ff-1取值范国.解；（1）当日=1时，即解不等式（法f 节近2时,原不等式等价于-一所以工-3，所以不等式f/）A2x-L的蟀集为空集, 2分当工2时.昂不等式等价于2 丁2± +】.解用工1