福建师范大学网络教育《高等代数选讲》在线作业考核材料答案复习资料

1、高等代数选讲考前辅导（一）本块主要复习高等代数选讲各章的基本概念及重要知识点 一、行列式（一）”重要定义;行列式、（代数）余子式（二）、重要结论：1 .行列式的性质；2 .范德蒙行列式、拉普拉斯展开式；3 .克莱姆法则。1 1 1例1计算行列式2 3 4.4 9 16解；原式 =14-3)(4-2岸-0=2例2设/V）工x-l x-2 lx -1 2t - 2 j.r-2 4x-5 4x-3 5r-7则方程“幻=0的根的个数为（）。（A） 1;（B）2;（C） 3;（。）4;答案：B解：因为:已知5阶行列式D =I33244 4 112 14 53 3 2 23 5 4 25 6 13试求:(

2、1 ) 421 + ”22 + 43，( 2 )+ 425其中4,是。中元素甸0二1,2,3,4,5)的代数余子式。解：由行列式按行展开定理有：I月21 + ai22 + 为423 +4424 +5425 =。= L 3, 4, 5)取Z = 1,3得:141 +%2&2 +勾3&23 +444 +545 =°+ a3222 + %3.23 + 613424 + °35425 二 °即有：4(4 + A22 +23)+(4« + 425)= 03(J21 + A22 + &3)+ 2(424 +25) = 0解方程组得：A2i +

3、 A22 + 月23 = 0A24 +a25=o例4试讨论当2为何值时，方程组只有唯一解?解：由于方程组的系数行列式= Q + 2)1= (4 + 2) 11Ax + y + zx+2y+zx + y +Az由克莱姆法则知，当(2+ 2)。-1)2/0,时，方程组有唯一解，即零解。二、矩阵00 = (A+ 2)(/1-I)2A 1(一)、重要定义：矩阵、(可)逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵、几类特殊矩阵、初等变换与初等矩阵。:二）、重要知识点：1、（分块）矩阵的运算：加减法、乘法、数乘、 转置、逆。2、矩阵可逆的判定方法（充要条件）3、初等矩阵与初等变换的关系例1设4 8为阶方阵，则下列运算正确的

4、是（）（A） （AB）k =AkBk（B） HI =（C） a2-b2=（a + b）（a-b）（D） （A + /y =A2 + 2A + I答案：D例2设/是阶方阵，不是4的伴随矩阵，左是 任一个常数，则必有（"）"=（）。(A) kA(B)La(C) knA（。）答案：B20012002例3计算解：由于P二都是初等矩阵，且P/是对/作一次行变换（一，三行互换），故尸2叫4 =尸4 4。是对/作一次列变换（二，三列互换）， '7 8 9从而/。"°2=4,故原式=24= 4 5 6 o1 2 3三、线性方程组(一)、重要定义(简化)阶梯形矩阵

5、、自由未知量、 线性相关与线性无关、向量组与矩阵的秩、极大无 关组、子式、增广矩阵、特解与基础解系。(二)、重要知识点1、向量组线性无(相)关的充要条件2、关于向量组的线性关系若干重要结论3、关于向量组与矩阵的秩相关结论4、(非)齐次线性方程组的解的判定与结构例1设%是四元非齐次线性方程组4 =匕的三 个解向量，且秩(4)=3,%=口23,4了,。2+4=。123匕 k 为任意常数，则线性方程组4¥ = b的通解X=()。答案：C例2设力是“7X 矩阵，8是“根矩阵，则()(A )若则 1431H0；(B )若用，则 14MH 0 ；(C)若则同=0；(D )若而，则 = 0。答案：

6、C例3向量组四,见，,%线性无关的充要条件是()(A )向量组%,%不含零向量;(B)向量组中有部分向量线性无关；(C)向量组火,中任一向量不能由其它向量线性表示；（。）存在一组全为零的数勺，&人，使得k© +k2a2 +七 =0 o答案：C四、向量空间（一）、重要定义 向量空间、内积、欧氏空间、正交 矩阵、矩阵的特征值、特征向量，特征多项式、特征子 空间、相似矩阵、矩阵的可对用化、实对称矩阵的对角 化（二）、重要知识点1、关于矩阵的特征值与特征向量的相关性质2、矩阵的特征多项式的结构3、相似矩阵具有的性质（相似关系下的不变性）4、Schmidt正交化公式5、矩阵可对角化的充

7、要条件6、矩阵可对角化的充分条件7、实对称矩阵特征值与特征向量所特有的性质8、实对称矩阵4必有正交矩阵T,使得广/T为对 角矩阵。例1下列集合是区”的子空间的是（）（4）% =回0,。吗|小4 £肽n（B）开=他,e叱，= 1,2,= 1 ,（C） % =.，/，4 |q G肥力= 1,2,%=1 （。）町=1,生,叫底=2,3,7答案：A例2已知三阶矩阵/的特征值为则矩阵A-1的特征值为（）。（A） 1,-1,2；（B） 2,-2,4 ；,1（C） LT。）五、多项式（一）、重要定义 带余除法、综合除法、整除、 最大公因式、互素、不可约多项式、多项式的根。(二)、重要结论：1、综合

8、除法的应用2、多项式的根与整除的关系3、不可约多项式及其性质例L把/(x) = /表成X-1的方某和.解：1100000于是有,A = 1B=-211111则g（x） = x2-2x-le Qx且以力在Q卜.不可 约。于是-应是与g（x）在IR中的一 个公因式，从而在R中（/（以蛇）,1产是在Q中也有（鼠幻）"，又由于 不可约多项式与其它多项式要么整除要么 互素，所以八X）与氟支）在Q中相伴，即： f （工、=cg（x）,所以f（x）是2次多项式高等代数选讲考前辅导（二）本块主要复习高等代数中主要的计算题型，它们有一个共同点就是以初等变换为工具。一、关于n阶行列式的计算计算行列式的主

9、要方法是降阶，用按行、按列展开公式来实现，但在展开之前往往先用性质对行列式做恒等变换，化简之后再展开。数学归纳法、递推法、公式法、三角化法、定 义法也都是常用方法。把每一行（列）加至“第” 一行（列）；把每一行（列）均减去“第” 一行（列）；逐行（列）相加（减）是一些常用的技巧，当零元素多时亦可立即展开。区/ % % 一% 内 x % % 例1计算为卜1阶行列式与N = /叼K% 外解：将各列都加到第1列，并提出公因子得:1%a2a.1xa.a.*1。向=1%x%Ia7餐出 T10001x-c?00fl=(x + £ 0 J1 叼 _ /，见0C=二。+以）立行-珥）F=15 3 0

10、 0 02 5 3 0 00 2 5 -0 0例2计算阶行列式4 = 0 0 0 5 30 0 0 -2 5解：用递推法,先按2的第一行展开，得到：2 30 . 0 00 53 0 0025 002 =3 =5Dn.-6%0 005 30 002 5于是得到递推公式:Dn =5i-62”或2-2% =3(%)递推下去得到：Dn-2D,HD2DJ同样可得递推公式：2-32- = 2(2_32_2)递推下去得到：2-3i = 243-3QJi|5|二5,3“，p-1 1- 2 52-30,1=2"解方程组得：2=3"x-2日二、关于逆矩阵的计算1、利用逆矩阵的定义求逆矩阵2、利

11、用伴随矩阵的性质求逆矩阵3、利用矩阵的初等变换求逆矩阵4、利用矩阵的分块求逆矩阵5、求矩阵方程4¥ =5£4 = 3 ,其中力是可逆矩阵。例3已知矩阵X满足矩阵方程12-11-26求矩阵X。解：方法1 （用逆矩阵）由于|力|二0所以/可逆，故X = BA-' =1-2612-1-120-11 一12 2=6h0,-1 0一 1 1 1= 2020 3 0方法2 （列初等变换）2 214 0-20 6 6方法3 （用方程组）设 X = X4 x5 x6x7 +x9得方程组:1 1 1故 X= 2 0 20 3 0xx + 2x2 - x3 x4 + 2x5-x6 x7

12、 + 2x8 - x9X, +x3 =2N +2x2-x3 =2 , 4fi +2a =1则有-xx + 2.r2一勺 + 2x5-x7 + 2x81 1 1解方程得矩阵x= 2 0 2 0 3 02 2 14 0-20 6 6x1 +x9 =0< x7+2x9-x9=6-x7 + 2x3 =6三、关于方程组的计算1、求齐次线性方程组的通解2、判定非齐次线性方程组的解的情形并求解3、讨论带有参数的方程组的解的情形并求解例4设线性方程组px1 + x2 +2x + 2右xi + 2tx2 +=4=7=4试就讨论方程组的解的情况，有解时求出解。 解：对方程组的增广矩阵却可作初等行变换：Ab=

13、 2 3t1 It2t1101一 P314 一 2P34一2011l-p34-2pl-4t + 2pt(1)当（口一1»0 （即且，于0）时，秩（/）- 秩（4）=3 ,从而方程组有唯一解：21(P T"11 - 4/ + 2 Z?/_ x.=J (P-3(2)当而 l-4/ + 2p/ = l-2/ = 0 ,也即，=% 时,秩（4句）=秩5） = 2 ,从而方程组有无穷多解，此时增广矩阵变为:2201 f0 10 0得同解方程组：6+七=2I X. = 2取自由未知量.0 = 0得原方程组的一个特解X。= 2,2,0，。 在方程组的导出组中令自由未知量七=1得原方程组的

14、 导出组的一个基础解系：Ifo于是方程组的一 般为：X = X0 + £Xi，其中左为任意常数。(3)当 P = l，而 1 一4r + 2p，= l-2，x0,即时，有 秩(46) = 3>2=秩(月)，从而方程组无解。(4)当，=。时，有 1 4f + 2pfx0,秩(2,6) = 3> 2 =秩(月) 从而方程组无解。四、关于矩阵对角化问题的计算1、求矩阵的特征值与特征向量2、对于一般矩阵力，判断是否可对角化，若可以,求可逆矩阵尸，使得P-NP为对角矩阵。3、对实对称矩阵力，求正交矩阵T,使得广力7为对 角矩阵。422例5设力=2 4 2 ,求正交矩阵T,使尸行为对

15、角阵。224A422解：由-22-4 -2 =(2-2)2(2-8)得A的特征值为-2一2A-44 = 4=2(二重特征值)，4 = 8。当4 = 4 = 2 时，由 GV-4)X =。，即：得基础解系为% =l,L0T,% =T，oF，把它正交化得:-a pz =%-偿夕4 =-PU P)/ /再将其单位化得：2 '2,0 , Hi =TT5T当 4=8 时，由 &/T)X =。，即:4 -2 -2-24-2-2 -24_得基础解系为%，U,里将其单位化得：=444则是力的一组单位正交的特征向量，令6一在6A则T是一个正交矩阵，且T-AT =81111111=CO1234112345= G136113610= G 14.11410=。3115=c4. x5=(x-1)5 + 5(k -1)4 + 10(x -1)3 + 10(