2020届河北省中考系统复习：第15讲等腰三角形(8年真题训练)

1、第15讲等腰三角形10SJjt8g题训绒a命题点1等腰三角形的性质与判定P在线段AB的垂直平分线上.在1 . （2020 河北T8 3分）已知，如图，点 P在线段AB夕卜，且PA= PB,求证：点 证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（B）A. 作 APB的平分线 PC交AB于点CB. 过点P作PCL AB于点C且AC= BCC. 取AB中点C,连接PCD 过点P作PCL AB,垂足为 CA, B同时出发，并以等速驶向2 . （2020 河北T10 3分）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从某海域，甲的航向是北偏东35,为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是(D)A.北偏

2、东55B .北偏西55C.北偏东35D .北偏西35Jt3. （2013 河北T8 3 分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔 P的北偏东40的N处，则N处与灯塔P的距离为（D）A. 40海里B. 60海里C. 70海里D. 80海里命题点2等边三角形的性质与判定4. （2020 河北 T16 2 分）如图，为等边三角形，则满足上述条件的A. 1个B. 2个AOB= 120,PMN有 (D)C. 3个OP平分 AOB且 OP= 2.若点 M N分别在 OA OB上，且 PMND. 3个以上5. （2011 河北 T17

3、3 分）如图 1,D的位置，得到图2 ,则阴影部分的周长为,将 ABD沿 AC方向向右平移到 A B重难点1等腰三角形的性质与判定在厶ABC中，AC= BC, ACB= 120 ,点D是线段 AB上一动点(D不与A, B重合).(1) 如图1 ,当点D为AB的中点，过点 B作BF/ AC交CD的延长线于点 F,求证：AC= BF;(2) 连接CD.作 CDE= 30, DE交AC于点E.若DE/ BC时，如图2. CDB= 120 ; 求证： ADE为等腰三角形； 在点D的运动过程中， ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出AED的度数；若不可以，请说明理由.PADB AI)Jfi图I

4、2苗用画【自主解答】解：证明： CA= CB CD是厶ABC的中线， AD= BD. BF/ AC, A= FBD. ADC= BDFACD BFD. AC= BF.(2)证明：I AC= BC, A= B. DE/ BC, EDA= B. A= EDAADE为等腰三角形.厶ECD可以是等腰三角形.理由如下：I .当 CDE= ECD时,EC= DE, ECD= CDE= 30 . AED= ECDF CDE AED= 60 . .当 ECD= CED时,CD= DE, v ECD CED CDE= 180 , CED=180 CDE=75 AED= 180/ CED= 105In .当 CE

5、D= CDE时,EC= CD ACD= 180/ CED- CDE= 180 30 30= 120 , ACB= 120 ,此时，点D与点B重合，不合题意.综上， ECD可以是等腰三角形，此时 AED的度数为60或105 . 【变式训练1】的度数是(B)A. 20(2020 湖州)如图,B. 35AD CE分别是 ABC的中线和角平分线.若 AB= Aq CAD= 20,则 ACEC. 40D. 70【变式训练2】C的度数为(B)A. 30 B(2020 河北大联考.36 C . 40 D)如图，在厶ABC中，AB= AC, D为BC边上的一点，且 BA= BD, DA= Dq 则.45方法指

6、导1.在同一个三角形中证明边相等或角相等的方法主要是等边对等角或等角对等边，在两个不同三角形中，证明两 条边相等或角相等的方法是利用全等三角形.2 几何常见图形“ 8”字图，其基本构成过程是：(1) 把三角形的中线加倍，即CD是厶ABC的中线，延长 CD至F,使DF= CD(2) D 是 AB的中点，BF/ AC;(3) 没有明确腰或底边的等腰三角形或没有明确顶角或底角的等腰三角形问题，解决时常常需要分类讨论.K在厶 ABC中，AB= 6, AC= 4, BC= 8, BP平分 ABC CP平分 ACB.(1)如图1 ,过点P作BC的平行线交 AB于点E,交AC于点卩，则厶AEF的周长为10;

7、(2)如图2,过点P作PM/ AB交BC于点 M PN/ AC交BC于点 叫则厶PMN勺周长为8;【变式1】如图3 ,若点PABC的内心，将 BAC平移使其顶点与 P重合，则图中阴影部分的周长为8.【变式2】如图4,若厶ABC的内角平分线 BQ与外角平分线 CQ相交于点Q过点Q作QH/ BC交AB于点H,交AC于点R.若BH= 5, HR= 2,求CR的长.【思路点拨】(1)由角平分线及两直线平行，内错角相等，可得到厶BEP CFP均是等腰三角形，从而有 EF= EB+ FC,所以 AEF的周长为 AB AC;对于(2)同理可得，PM= BM PN= CN 所以 PMN的周长BMF MN CN

8、= BC= 8, 对于变式2连接PB PC,根据中结论可得阴影部分的周长；对于变式 2可证得 BHQ CRC是等腰三角形.【自主解答】 解：. HQ/ BC, HQB= QBC.又 BQ平分 ABC HBQ= CBQ. HQB= HBQ/. HB= HQ同理可得 CR= RQ. CR= RQ= HQ- HR= BH- HR= 5 2= 3.【变式训练 3】已知：如图，点 。在厶ABC外 , BD, CD分别平分厶ABC的外角 GBC和 HCB过点D作DE/ BC,分别交BG CH于E, F两点，贝U EF与BE CF之间存在怎样的关系？写出你的结论，并加以证明.证明： BD平分 EBq CD平

9、分 FCB EBD= CBD FCD= BCD. EF/ BC, EDB= CBD FDC= BCD. EBD= EDB FDC= FCD. BE= DE CF= DF. BE+ CF= DE+ DF= EF. BE+ CF= EF.方法指导1.角平分线+平行线可以得出等腰三角形.模型如下：如图，OA/ BC, OC平分 AOB则厶BoC为等腰三角形.2 .利用等腰三角形的腰相等，可以实现化曲为直，实现线段求解或周长求解.变式点：1.内心可以看作三角形三条角平分线的交点.2 平移可以看作平行线.3 .等腰三角形可以作一条线段绕其中一个端点旋转一个角度，交于另一个端点连接得到的图形.4 外心可以

10、看作三角形三边垂直平分线的交点. 重难点2等边三角形的性质与判定J3（2020 廊坊安次区模拟）如图， ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点,PD/ AB, PE/ BC, PF/ AC.若厶 ABC的周长为 12 ,贝U PD PE+ PF= (C)A. 12B. 8C. 4D. 3【思路点拨】延长DP交AC于点M由等边三角形的性质及两直线平行，同位角相等，易得MDC= C= 60,从而厶MDC是等边三角形， MPE也是等边三角形，有 MD= CM= MP PD= PE+ PD,又可得四边形 AMPF是平行四边形，所以 PF= AM所以 AC= PD+ PE+ PF= 4.【变式训练

11、4】作EF丄BC于点A. 3【变式训练5】 的周长为（C）（2020 河池）已知等边厶F,过点F作FG丄AB于点B. 4如图，六边形C.ABCDEF中,ABC的边长为12,点D是AB上的动点，过点 D作DEl AC于点E,过点E G.当点G与点D重合时，AD的长是（C）8 D . 9每一个内角都是 120, AB= 12, BC= 30 , CD= 8, DE= 28.则这个六边形A.125B.126C.116D.108方法指导这里依据两个角为60的三角形是等边三角形，利用等边三角形的性质以及平行四边形的性质，化曲为直，平移线段，将三条线段的和转化成一条线段.体现了整体求值的数学思想.注：本题

12、的结论与“过等边三角形内一点向三边作垂线段，三条垂线段”之和等于等边三角形的高类似.口课后嵌础过1 . （2020 宿迁）若实数m n满足等式|m 2| + Jn 4 = 0,且m n恰好是等腰 ABC的两条边的边长，则ABC的周长是（B）A. 12B. 10C. 8D.62. (2020 德州改编)如图,A. 3B. 4OC为 AOB的平分线，CML OB OC= 5, OM= 4,则点C到射线OA的距离为（A）C. 5D. 63. （2020 黄冈）如图，在 ABC中，DE是 AC的垂直平分线，且分别交 BC AC于点D和E, 则 BAD为（B）A. 50 B= 60, C= 25,B.

13、70C. 754. (2020 福建)如图，等边 ABC中，ADL BC,A. 15 B . 30 C . 45 D . 60垂足为 D,点E在线段AD上， EBC= 45,则 ACE等于(A)5. (2020 昆明)在厶AoC中，OB交AC于点A. 90B. 95C.D,量角器的摆放如图所示，则CDO勺度数为100D. 120(B)6 如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能得到两个等腰三角形纸7. （2020 枣庄）如图，在Rt ABC中， C= 90,以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC, AB于点MN,再分别以点 M, N为圆心，大于2m

14、N的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D.若CD= 4, AB=15,则厶ABD的面积是(B)A. 15B. 30C. 45D. 608. （2020 玉林）如图， AOB= 60 , OA= OB动点C从点O出发，沿射线 OB方向移动，以AC为边在右侧作等边 ACD连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（A）A平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直9. (2020 南充)如图，在 ABC中，AF平分 BAC AC的垂直平分线交 BC于点E, B= 70 C= 24., FAE= 19 ,则10 . (2020 吉林)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值

15、叫做等腰三角形的“特征值”1=2,则该等腰三角形的顶角为 36度.,记作k.若k11 .证：(2020 嘉兴)如图，在 ABC中，AB= AC ABC是等边三角形.DF BC垂足分别为E, F, 且 DE= DF.求证明： DEl AB DF BC AED- CFD- 90 .TD为AC的中点， Ac= DC. 在 Rt ADE和 Rt CDF中，AD= DCDE= DF, Rt ADE Rt CDF(HL). A= C. BA= BC. AB= AC, AB= BC= AC. ABC是等边三角形.12 . (2020 绍兴)数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中， A= 11

16、0,求 B的度数.(答案：35 )例2 等腰三角形 ABC中， A= 40,求 B的度数.(答案：40或70或100 )张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形 ABC中， A= 80,求 B的度数.(1) 请你解答以上的变式题；(2) 解(1)后，小敏发现， A的度数不同，得到 B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设 A= X ,当 B有三个不同的度数时，请你探索X的取值范围.解：(1)若 A为顶角，则 B= (180 A) 2 = 50 ;若/ A 为底角， B为顶角，则 B= 180 - 2 80 =20 ;若/ A为底角， B为底角，则 B= 80;

17、故 B= 50 或 20 或 80;(2)分两种情况： 当90 XV 180时， A只能为顶角， B的度数只有一个；180 一 X 当0V X V 90时，若 A为顶角，则 B= (2) ；若 A为底角， B为顶角，则 B= (180 2x) ;若 A为底角， B为底角，则 B= X.当 180X 180 2x 且 180 2x X 且180- X X ,即 X 60 时， B有三个不同的度数综上所述，可知当0v XV 90且X 60时， B有三个不同的度数.13 . (2020 武汉)如图，在Rt ABC中， C= 90 ,以 ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在 ABC的其他

18、边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(D)A. 4B. 5C. 6D. 714 .如图，在等边厶 ABC中，AC= 8,点O在AC上，且AC= 3,点P是AB上一动点，连接 OP,将线段 OP绕点O逆 时针旋转60得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则AP的长是5.15 . (2020 河北模拟)如图1,在等边 ABC和等边 ADP中，AB= 2,点P在厶ABC的高CE上(点P与点C不重合)， 点D在点P的左侧，连接 BD ED.(1) 求证：BD= CP(2) 当点P与点E重合时，延长 CE交BD于点F,请你在图2中作出图形，并求出 BF的长；(3) 直接写出线段DE长度的最小值.图 Il2解： 证明： ABC是等边三角形， AB= AC, BAC= 60 . ADP是等边三角形， AD= AP, DAP= 60 . DAB BAP= BAP CAP. DAB= CAP.