西北工业大学自动控制原理p

1、3.3.3欠阻尼系统动态性能指标计算1欠阻尼系统极点的两种表示方法欠阻尼系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。l 直角坐标表示l= s ± jw= -xw ± j 1 - x 2w（3-8）1,2dnnl “极”坐标表示ì cos b = xìl= w níí（3-9）îsin b =1 - xî Ðl = b22欠阻尼系统的阶跃响应阶跃响应的拉氏变换为由式（3-5），可得系统w 2s + 2xw11C(s) = F (s)R(s) =n=-ns 2 + 2xw s + wss(s + xw

2、 ) + (1 - x )w2222nnnns + xwx1- x 2w1=-n-ns(s + xw ) + (1- x )w(s + xw ) + (1- x )w222222n1- x 2nnn系统阶跃响应为h(t) = 1 - e-xwnt cos(1 - x 2 w t )- x e-xwnt sin(1 - x 2 w t )=nn1 - x 21 - x 2 w t )+ x sin( 1 - x 2 w t ) =nnö1 - x 2 cos(e-xwnt1 -1 - x 2æe-xwnt1 - x 2-c1 - x 2脉冲响应为ç- x wt +

3、ar ÷2at1n（3-110）siç÷nxèø系统é-1ù1 - x 2 wnwnk(t) = h (t) = L F(s) = L ê¢-1ú(s + xw ) + (1 - xw222)n1 - x 2 úûêëne-xwn t sin (1- x 2 w t )wn=（3-11）n1- x 2典型欠阻尼系统的阶跃响应如图 3-11 所示。响应曲线位于两条包络线1 ± e-xwnt1 - x 2 之间，如图 3-12 所示。包络线收敛速率取

4、决于xw （特征根实部之模），n响应的阻尼振荡频率取决于 1 - x 2w （特征根虚部）。响应的初始值 h(0) = 0 ，初始斜率nh¢(0) = 0 ，终值h(¥) = 1。图 3-11 典型欠阻尼系统的阶跃响应3欠阻尼系统动态性能指标计算l 峰值时间t p ：令 h¢(t) = k (t) = 0 ，利用式（3-11）可得sin ( 1- x 2 w t ) = 0n1 - x 2 w t = 0, p , 2p , 3p , Ln即有由图 3-1，并根据峰值时间定义，可得pt p =（3-12）1 - x 2 wnl 超调量s 0 0 ：将式（3-12）

5、代入式（3-10）整理后可得-xph(t p ) = 1 + e1-x 2= h(t p ) - h(¥) ´100= e-xp1-x 2s ´100（3-13）h(¥)可见，典型欠阻尼系统的超调量s 0 0 只与阻尼比x 有关，两者的关系如图 3-13 所示。l 调节时间ts ：用定义求解欠阻尼系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入 5误差带的时间计算调节时间。令e -xwnte-xwnt1 +-1= 0.051 - x 21 - x 2可解得ln 0.05 + 1 ln(1 - x 2 )3.5t = -2»sxwxw

6、nn（ 0.3 < x < 0.8 ）（3-14）式（3-12）式（3-14）给出了典型欠阻系统动态性能指标的计算公式。可见，典型欠阻尼系统超调量s 0 0 只取决于阻尼尼比x ，而调节时间ts 则与阻尼比x 和自然频率wn 均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间ts 偏于保守。xw n 一定时，调节时间ts 实际上随阻尼比x 还有所变化。图 3-14 给出当 T = 1 wn 时，调节时间ts 与阻尼比x 之间的关系曲线。可看出，当x = 0.707 （ b = 45° ） 时， ts » 2T ，实际调节时间最短， s 0 0 = 4.32 0 0 &#

7、187; 5，超调量又不大，所以一般称x = 0.707 为“最佳阻尼比”。4典型欠阻尼系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。当wn 固定，x 增加（ b 减小）极点在 s 平面按图 3-15 中所示的圆弧轨迹（I）移动，对应系统超调量s 减小；同时由于极点远离虚轴， xwn 增加，调节时间ts 减小。图 3-16(a)给出wn =1，x 改变时的系统阶跃响应过程。当x 固定，wn 增加极点在 s 平面按图 3-15 中所示的射线轨迹（II）移动，对应系统超调量s

8、不变；由于极点远离虚轴，xwn 增加，调节时间ts 减小。图 3-16(b)给出了x =0.5( b = 60° )，wn 变化时的系统阶跃响应过程。一般实际系统中（如图 3-6 所示），T0 是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益极点在 s 平面按图 3-15 中所示的垂K 是各环节总的传递系数，可以调节。 K 增大直线（III）移动，阻尼比x 变小，超调量s 会增加。图 3-16(c)给出T0 = 1， K 变化时系统阶跃响应的过程。综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使系统的闭环极点位于 b = 45° 线附近，使系统具有合适的超调量，并根据

9、情况尽量使其远离虚轴，以提的快速性。掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析和设计系统是十分重要的。图 3-16 (a) wn = 1 , x 改变系统阶跃响应图 3-16 (b) x = 0.5 , wn 改变系统阶跃响应图 3-16 (c) T = 1 ， K 改变系统阶跃响应例 3-5系统结构图如图 3-17 所示。（1）当开环增益 K = 10 时，的动态性能指标；（2）确定使系统阻尼比x = 0.707 的 K 值。解 （1）当 K = 10闭环传递函数G(s)100F(s) =1 + G(s)s 2 + 10s + 100与系统传递函数标准形式比较，得10w = 10

10、0 = 10x = 0.5n2 ´10t=p=p= 0.363p1 - x 2 w1 - 0.52 ´10ns = e-xp1-x 2= e -0 5p / 1-0 52= 16.3 3.53.5t = 0.7xw0.5 ´10sn相应的阶跃响应如图 3-18 所示。10K(2)F(s) =，与系统传递+ 10s + 10Ks 2函数标准形式比较，得ìw n=10K10ïíx =ïî210K100 ´ 2令x = 0.707 ，得 K= 54 ´10例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求

11、开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09性能指标。的动态解 当 K =10， K 0.5为欠阻尼状态，当K =0.09为过阻尼状态，应按相应的公式计算系统的动态性能指标，列表计算，见表 3-4。图 3-20（a）,（b）分别给出了不同 K 值时的系统的极点分布和相应的阶跃响应曲线。可见，调整系统参数可以使系统动态性能有所，但动态性能和稳态性能对 K 的要求相互的程度有限；而且，一般只能综合考虑，取折中方案。用后面介绍的速度反馈或比例加微分可以进一步提的动态性能。K = 10, 0.5, 0.09图 3-20极点的分布及阶跃响应表 3-4例 36 的计算结果K计算100.50.09开环 传递

12、函数G (s) =101s(s + 1)G (s) =0.52s(s + 1)G (s) = 0.093s(s + 1)闭环 传递函数F (s) =101s 2 + s + 10F (s) =0.52s 2 + s + 0.5F (s) =0.093s 2 + s + 0.09特征参数ìwn = 10 = 3.16ïïx =1= 0.158í2 ´ 3.16ïïîb = arccosx = 81°ìwn = 0.5 = 0.707ïïx =1= 0.707í2 &#

13、180; 0.707ïïîb = arccosx = 45°ìïwn =0.09 = 0.3íïx =1= 1.67î2 ´ 0.3特征根l1,2 = -0.5 ± j3.12l1,2 = -0.5 ± j0.5ì l1 = -0.1ì T1 = 10íl = -0.9í = 1.11î 2îT2系统的结构图及阶跃响应分别如图 3-21(a), (b)所示。试确定系统参数例 3-7K1, K 2 , a 的值。解结构

14、图可得K1 K 2F(s) =s 2 + as + K2与系统传递函数标准形式比较，得K = wü22ný（3-15）a = 2xwn þ由阶跃响应曲线有K1 K 2h(¥) = 2 = lim sF(s)R(s) = lim= K（3-16）s 2 + as + K1s®0s®02=p= 0.75ì tïp1 - x 2wín= 2.18 - 2 = 0.09 = e-xp /ïs 01-x 2ïî02ìx = 0.608íw（3-17）联立求解得= 5

15、.278î n将式（3-17）代入式（3-15）得ìK = 5.2782 = 27.852íî a = 2 ´ 0.608 ´ 5.278 = 6.42因此有 K1 = 2,K 2 = 27.85,a = 6.42 。关于系统的脉冲响应和斜坡响应的讨论，方法与一阶系统类似，在此不再赘述。表 3-5中给出了不同阻尼比下系统的典型输入响应公式及曲线，供查阅。动态性能指标ìpïtp = 1.01ï1 - x 2wnï-xp 1-x 2ís 0 0 = e= 60.4 0 0ï3.5