不等式的几种证明方法及其应用

1、不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳 法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法本文将对其中一些典型证法给 出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用.1利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学 问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法利用构造思想方法不是直 接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题”(P52)在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1构造函数证明不等式构造函数指根据所给不

2、等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式 或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式.1.1.1利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能 通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法.例 1 设 x, y, Z R，证明 2 Xy y2 3z(x y Z) 0 成立.解 令 f(x) 2 (y 3z)x y2 3yz 3z2 为 X 的二次函数.由 (y 3z)2 4(y2 3yz 3z2)3(y z)2 知 O ,所以 f(x) 0.故 2 Xy y2 3z(x y Z) O 恒成立.对于某些不等式，若能根

3、据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数 f(x)=(a1x b1)2 + (a2x b2)2 + (anx bn)2 ,由 f (x) O 得出 O ,从而即可得出所 需证的不等式.例 2 设 a,b,c,d R ,且 a b C d 1 ,求证4a 1. 4b 1 4c 1 4d 162(P18).证明 令 f()=(.4a 1x 1)2 + ( 4b 1x 1) 2 + C 4c 1x 1) 2 + ( . 4d 1x 1) 28x22( ： 4a 1,4b 1. 4c 1, 4d 1)x4(因为 a bed 1).由 f(x) 0 得 O 即 4(.4a 1. 4

4、b 1. 4e 1,. 4d 1)21280 .所以.4a 1,4b 1 4c 1,4d 14.2 6.1.1.2利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做 法是将所证不等式视为某个变量的函数.例 3 设 a 1, b 1, C 1,求证 ab be Ca1 2(P18).证明 令f(x) (a C)X ae 1为X的一次函数.因为a 1, C 1,所以f(1) a c ae 1(1a)(1 C) 0, f ( 1) (a C) ae 1(1 a)(1 C) 0.即 X ( 1,1),恒有 f (X)0.又因为 b ( 1,1),所以 f(

5、b) 0,即 ab be Ca 10.1.1.3利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决.求证a1a2 Lan1a1a2 Lana11 aa2|1 a2an1(P53)1Ian分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子,于是构造函数1 Mf()14(X 0).证明构造函数f()1 X (X0).因为f'()1(1 X)20 ,所以f()在0,)上严格递增.令X1an，X2a1a2an因为 X1 X2 ,所以 f (X1) f (X2).a1a2an1a1a2an所以Ian

6、anaaa2ana2aan1 a1a2aa21Iall1a211.1.4利用函数奇偶性an|1 an例5求证 I(X O) VV证明设f(x)盯-,对f(x)进行整理得f (X)x(1 2x)2(1 2x)f ( x)x(12 x) _x(2x 1)2(1 2 x)2(2x 1)所以f(x)是偶函数.当X O时，2x 1 ,所以12x 0 ,所以f(x) 0 即当XXX0 时，恒有 f(X)0 ,即X(X 0) 1 2x 2注意由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题由偶函数的图象关于 y轴对称知，当X O时，f(x) O 的关键.1.2构造几何图形证明不等

7、式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形(体)建立联系时宜采用此方法.1(P52)这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性.下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1构造三角形3(PI)例6 已知x, y, Z为正数，求证x2 Xy y2 + . 2 XZ z2分析注意到X2 Xy y2 X2 y2 2xycos120 ,于是X2 Xy y2可看作是以x, y为两边，夹角为120的三角形的第三边，由此，

8、易得出下面的证明：证 如图1 ,在 ABC内取一点O ,分别连接OAlOBlOC ,使图1AOB BOC COA 120 , OA x,OB y,OC Z2yz Z .则 AB . X2 Xy y2 , ACX2 XZ z2 , BCy2由AB AC BC , 即得所要证明的不等式.该题可做如下推广：已知X, y,z为正数，O2 ,求证.X2 2xycosy2X22xzcosz2y2 2yzcos Z2 ,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式.证明上依次截取已知正数a,b,c,m, n, k满足a m如图2,构造边长为P的正三角形ABC，CkP ,求证 an bk Cm在边 AB, BC,

9、CAAD a, DB m, BE c, ECk,CFb,FA因为 S ADF S DBE S FEC S ABCAn .2P .所以3 an4.3Cm43bk - p2,即 an bk44图1.2.2构造正方形3( P1)分析且a (X证明依次截取GD则四边形Cm已知X R,a,b,c,d均是小于X的正数，求证.a2 (X b)2 b2 (X c)2 c2 (X d)2 d2 (X a)24x .观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边,a) b (x b) c (X C) d (X d),所以可构造边长为 X的正方形.如图3,构造边长为X的正方形ABCD ,

10、在边AB, BC,CD, DA上AE a, EB X a, BF d, FC X d,CGX c, DH b , HAXb .EFGH的周长为,a2(X b)2. b2 (X c)2.c2 (X d)2CEFGH的周长小于正方形 ABCD的周长,DX-CGC由三角形两边之和大于第三边知，四边形从而命题得证.1.2.3构造矩形例9已知x, y,z为正数，证明 Xy yz (X y)(y Z) 也可以看成以这两个数为直角分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积,边长的三角形面积的两倍.证明如图4 ,造矩形ABCD ,使AB CD y, BE x, ECZ,设 AED由 S矩形 ABC

11、DS ABE S ECDS AED 知y( z) 2 Xy 1 . yz1 .2 X y)(y Z) SinC化简得.xy yz (X y)(y Z) Sin因为OSin 1 ,所以.Xy . yzy)(yz)（当且仅当90时，等号成立）1.2.4 构造三棱锥例10 设X 0, y 0, Z 0,求证2 2y yz z224(P129), Z ZX X分析注意到、X2 Xy y2X2 y2 2xycos60 ,可以表示以x, y为边,在 ABC中AB BC AC,即得原不等式成立.C注 该题还可做如下推广：已知x, y, Z为正数,0,求证 X2 2xy COS22'22、x 2xzc

12、os Z y 2yzcos Z .例 10 便是当60时的特殊情况.1.3构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想.1 3例11 求证一一2 42n 111 3分析令P 丄32 42n 12n由于P中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P的一个对偶式Q,Q2 42n3 52n1证明设P132n 1构造P的对偶式Q ,Q242nC12n 124因为O P Q,所以P2PQ (1')(22n35所以P242n352n 12n 112n 1,即原不等式成立.2n 1注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇

13、偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相 反关系、对称性关系等来构造对偶式.1.4构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为 数列，然后利用数列的单调性来证明.例12求证：不等式2n 1 n!,对任何正整数n 都成立1(P55).分析2n 1不等式可变形为2n!1, n是正整数，所以可构造数列2n 1an ,其中ann!,a11 ,则只需证ana1即可.对于任意正整数n , an I an2n 2n 1nn 1 /22(n1)(1n)2n 1O ,(n 1)!n!(n 1)!(n 1)!所以an是递减数列.所以an a1 ,即原命题

14、成立.1.5构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利 工具.对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的 证明.1.5.1利用向量模的性质例13 已知a,b,c,d R,求证.a2 b2 b2 c2. c2 d2 d2 a22(a b C d).证明 在原点为O的直角坐标系内取四个点：Aa,b,Ba b, b c,Ca b c,b C d ,Dabcd,bcd a ,则原问题可转化为IOA IAB + IBCl + ICD 2OD ,该不等式显然成立.1.5.2利用向量的几何特征例14 设an是由正

15、数组成的等比数列，Sn是前n项和，求证Iog 0.2 Sn log 0.2 Sn 220g 0.2 Sn5(P31)1分析可将上述不等式转化为Sn Sn 2 S' 1,构造向量，用平行四边形的几何特征来证明证明设该等比数列的公比为q ,如图6,构造向量OA a ,a1 , OBqSm,qSn,OC a1 qSn Z qSn则OC OA OB ,故O,A,C,B构成平行四边形.由于OA,OB在对角线OC的两侧，所以斜率 kOA,kOB中必有一个大于k°c ,另一个小于k°c S因为an是由正数组成的等比数列，所以k°c 口 1Sn 2Sn2 , Sn 1所以

16、kOB s即蠱St 所以Sn Sn2 Sn1 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式a b abcos找出不等关系，如a b a b , a b ab等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明.综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助 于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使 原问题获得解决.就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和 解题技巧，综合运用所学知识将问题解决.2利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目

17、的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式换元法主要有以下几种形式:2.1三角换元法例 15 已知 2 y21,求证 2 2xy y22 .证明设 X r CoS , y r Sin 0 r 1 ,则X2 2xy y22 2r cos2r2 cos Sin r2 sin2r cossin 22Sin2 rcos2 sin 22r2Sin4.2r2、2 .X 2y 1,可设2X cos ,2y Sin ;题设为 X2y 1,可设 X SeC , y tan 等.注这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用若题设为2.2均值换元法例16设 X, y, ZR, XyZ 1,求证 X

18、2 y22 Z12(P12)设X -13证明,y,Z -,其中0则3332 22 1X 212 1 2 12(X 222 1X yZ(-)(-)7)33333(当且仅当时取等号).2.3增量换元法)和给定字母顺序的不等式的证这种方法一般用于对称式 (任意互换两个字母顺序，代数式不变明.例17 已知Xy 0,求证.X 、科 X y6(P55).证明由X y 0,可令X y t (t 0).因为 y t y t 2 yt (、讨.t)2,所以；y t . y t ,即X . y X y .总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换, 则因题而异，总的目的是化繁

19、为简.3利用概率方法证明不等式7(P51)利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题.3.1利用概率的性质：对任意事件A, 0 P(A) 1 ,证明不等式例 18 证明若 O a 1,0 b 1,则 ab a b ab 1.分析由O a 1,0 b 1,可把a看做事件A发生的概率，b看做事件B发生的概率.证明 设事件A与B相互独立，且 P(A) a,P(B) b,则P(AB) P(A)P(B) P(A B)ab .因为0 P(A B) 1,所以0a b ab1 ,所以ab a bab3.2 利用 CaUChy-SChWarZ不等式：(E()2

20、E 2E 2例 19 设 ai 0 , bi0 , i 1,2,n ,则naibi)21n(aD(b2).i 1i 1证明设随机变量满足下列要求概率分布：P(概率分布：P(1 Z= aj= (n=bi )= 1(ni 1,2,n),1,2,n),概率分布：P(abj)j)j)1 n 2ain i 1bi2 , E(a bi .2由(E() 2E1 n(aibi)2n i 1 (丄na2)(-nbi2).a')(nbi2).i 1n即(aibi)2 (i 1用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径但该法用起来不太容易，因为读 者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论

21、加以利用，因此对这种方法只做简单了解 即可.4用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分，用微分方法讨论不等式，为不等式证明方法开辟了新的视野. 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值 定理、泰勒定理的应用:拉格朗日中值定理8(P120)若函数f(X)在a,b上连续，a,b内可导，则在 a,b内至少存在一点，使得 f'( ) = f(b) f(a).b a已知 b 0,求证一b-2arctanb b .1 b例20证明函数arctanx在0,b上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有arcta nb arcta n =

22、(arcta nx)'-,(0,b).而上1 x2b ,故原不等式成立.泰勒定理8(P138)若函数f (x)在a, b上有直至n阶的连续导数，在 a, b内存在n 1阶导函数，则对任意给定的x, Xoa,b ,使得f(x) f(X0) f'(x0)(x X。) f (XO)2! (XX0)2f(n)(XO)(X X0)n!(n 1)(n 1T)(X XO)n1该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式例21 设函数f(x)在a,b上二阶可导，且f (x) M ,a b、f(-)0,b a 1,试证f(a) f(b)M 9(P69)4a b证明 将函数f (X)在点X0展成二阶泰勒公

23、式2)f'(a -)(x2a b2f(x)f(- b2'a b=f ( -)(x2a b2)+2将X a,b代入上式得f (a)1 -F)(2) + 1f (1),f(b)相加得f(a) f(b)8(f() f ( 2) 取绝对值得f (a) f (b)1 ''-(f (1)82)4.2利用极值例22 设a In 21为任一常数，求证2ax 1证明 原问题可转化为求证 f (x) ex2ax 1)(xf'(0 (XT2a b)2 -) ()(x -%)1f,2).0 10(P188)0) 因为f(0)0,所以只需证f'(x) ex 2x 2a 0

24、.由 f''(x) ex 20 得 f '()的稳定点 X In 2 .当 X In2 时，f''()0 . 当 X In2 时，f''(x)0 .所以 minf'(x) f'(ln2)2 2In 2 2a 2(1 In 2) 2a 0.X 0所以原不等式成立.4.3利用函数的凹凸性定义10(P193)f(x)在区间I上有定义，f(x) 称为I上的凸(凹)函数，当且仅当:2216X1,X2 I ,有f(XI X2)f(X1) f(X2)(2 )Z x1(f(产)f(xj f(x2)推论10(P201)若f (x)在区间I上

25、有二阶导数，则f(x)在I上为凸(凹)函数的充要条件是:f (x) 0(x) 0).例23证明色a2an证明n a1a2an(ai0,i1,2,n)11(P125)令 f(X) In X)则 f(X)1 -,f (X)X0 ,所以f (x) In x在0, 上是凹函数，对a1, a2,a (0,Inan-(In a1 nIn a2In an),所以aa2ann a1a2a .例24对任意实数a ba,b,有 e 2!(eab) 12(P80)证明设f (x)X''e ,则 f (x)Xe 0, X所以f(x)为()上凸函数.从而对 x1 aX2 b有f(专)f(a) f(b)即

26、e学1(eaeb).5利用几个著名的不等式来证明不等式5.1均值不等式4(P133)定理1设a,a2, ,an是n个正数，则H( n) G( n) A(n) Q(n)称为均值不等式，其中H(n)Q(n)n111，a1a2anI 222a1a2anG(n) n aa an, A(n)aa2an分别称为a1,a2, ,an的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方20根平均值.例26证明三角不等式1 12 n 2 bi)2ai2+i 11n 2212(P33)ii 1n证明因为(aibi)2i 1(aii 1nbi )ai +(aii 1bi)bin根据CaUChy不等式，可得 佝i 1nb)ai i 1nb)2i 1ai22(1)(aii 1nbi )bi (aii 1n 2b)2 bi2i 1把(1) (2)两个式子相加，再除以n(ai1bi)2 2 ,即得原式成立.例25已知 O a 1, X2 y0,求证 log a(axay)lOg a 2£ .证明由 0 a 1, ax 0,ay0,有 ax a