中考数学压轴题专题相似的经典综合题及答案

1、-相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1. 如图，AABC是一锐角三角形余料，边BC=IGcm,髙AD=24cm,要加工成矩形零件, 使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上求：(1) AK为何值时，矩形EFGH是正方形？(2) 若设AK=×, Sefgh=Y,试写出y与X的函数解析式.(3) X为何值时，SEFGH达到最大值.【答案】(1)解：设边长为×cm,V矩形为正方形， EHIl AD, EFIl BC,Eh BE Eb Ab根据平行线的性质可以得出： 応石、BC = AB,X BE X AE 由题意知 EH=x, AD=24, BC=16, E

2、F=X,即 24AB, 16 = AB9 T BE+AE=AB,X X BE Ab：.24+ 16 =46 解得X=T,72AK= 5 ,_ 72：.当AKT 时，矩形EFGH为正方形(2)解：设 AK=x, EH=24-x,. EHGF为矩形,Eb AK2.,.BC=AL ,即 EF= 3,2 2二 Sefgh=Y= 3 (24-×) =- <32÷16x (0<x<24)（3）解：y=- <J2+16×2配方得：y=-J （×-12） 2+96,.当X=12时，SEFGH有最大值96【解析】【分析】（1）设出边长为xcm,由正

3、方形的性质得岀，EHIl AD, EFIIBC,根据 平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。（2）设AK=x,则EH=16-x,根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高 之比等于相似比，用含X的代数式表示出EF的长，根据矩形而积公式即可得出y与X的函 数解析式。（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的而 积取最大值时的X的值。a b C2. 已知线段 a, b, C 满足 丁 2_N,且 a + 2b÷c=26.（1）判断a, 2b, c, b2是否成比例：（2）若实数X为a, b的比例中项，求X的值.a b

4、C k【答案】（1）解：设'3'26,则 a=3k» b=2k, c=6k,又T a+2b+c=26>. 3k+2×2k+6k=26> 解得 k=2,. a=6> b=4, c=12;/. 2b=8, b2=16T a=6t 2b=8 C=I2» b2=16. 2bc=96> ab2=6×16=96/. 2bc=ab2a, 2b, c, b?是成比例的线段。（2）解：Tx是a、b的比例中项，/. x2=6ab>. x2=6×4×6>. x=12.【解析】【分析】（1）设已知比例式的值

5、为k,可得岀a=3k, b=2k, c=6k,再代入 a+2b+c=26,建立关于k的方程，求出kl的值，再求岀2b、b?,然后利用成比例线段的泄 义，可判断a, 2b, c, b?是否成比例。(2)根据实数X为a, b的比例中项，可得出x2=ab,建立关于X的方程，求出X的值。3如图，在AABC中，Z C = 90o, AC = & BC=6。P是AB边上的一个动点(异于A、B两 点)，过点P分别作AC. BC边的垂线，垂足为M、N设AP=×.(1) 在AABC 中，AB=:(2) 当X=时，矩形PMCN的周长是14：(3) 是否存在X的值，使得APAM的而积、APBN的而

6、积与矩形PMCN的而积同时相 等？谙说岀你的判断，并加以说明。【答案】(1) 10(2) 5(3) 解：. PM丄AC, PN丄BC, Z AMP=Z PNB=Z C=90°/. ACll PN, Z A=Z NPB. AMP心 PNB- A ABC.当P为AB中点时，可得AAMP牛APNB 此时 S AMP=SA PNB= 2 ×4×3=6而 S mpmcn=PMMC=3×4=12所以不存在X的值，能使 AMP的面积、 PNB的而积与矩形PMCN面积同时相等.【解析】【解答】(I)ZABC为直角三角形,且AC=8, BC=6, ： AB 二 AC2 B

7、C2 二 亠 E 二 IG(2 ) T Plvl 丄AC PN 丄 BC/.MPll BC, ACll PN (垂直于同一条直线的两条直线平行)，PM _ AF PN _ BF BC AB , AC ABBC APAB.AP=x, AB=10, BC=6, AC=8, BP=IO-×,63X = -X 105PNAC SPAB84(10 - x)4x.矩形 PMCN 周长=2 (PM+PN) =2 ( 5+85) =14,解得 x=5：【分析】在AABC中，Z C=90o, AC=8, BC=6根拯勾股泄理，可求岀AB的长；AP=X,可以 得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解

8、方程得到X值.可以证明 AMP PNB-厶ABC ,只有当P为AB中点时，可得 AMP旻 PNB ,此时S AMP=S PNB ,分别求出当P为AB中点时APAM的而积、 PBN的而积与矩形PMCN的 面积比较即可.4. 如图，AABC内接于OO,且AB=AC涎长BC到点D,使CD = CA,连接AD交C)O于点 E.(1) 求证： ABE旻厶CDE：(2) 填空： 当Z ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形： 若AE = 6, BE=&则EF的长为【答案】(1)证明:VAB=AC, CD=CA, Z ABC=Z ACB, AB=CD. 四边形ABCE是圆内接四边形,/. Z ECD

9、=Z BAE, Z CED=Z ABC. Z ABC=Z ACB=Z AEB, Z CED=Z AEB, /. ABE空厶 CDE (AAS)5(2) 60： 2【解析】【解答】解：(2)当ZABC的度数为60。时，四边形AOCE是菱形; 理由是：连接AO、0C.T四边形ABCE是圆内接四边形,AZABC+ZAEC=180o.Z ABC=60, /. Z AEC=I20=Z AOC. OA=OC, Z OAC=Z OCA=30oAB=ACCABC 是等边三角形,AZACB=60°.T Z ACB=Z CAD+Z D AC=CD, /. Z CAD=Z D=30% /. Z ACE=I

10、80° - 120° - 30o=30% . Z OAE=Z OCE=60o, .四 边形AOCE是平行四边形.T OA=OC, /. -AOCE 是菱形；由(1)得： ABE空厶 CDE, BE=DE=8, AE=CE=6, . Z D=Z EBC.ECCbe - Z CED=Z ABC=Z ACB, /. A ECD心 CFB, /. ED BC=S.AE _ BC6 836 "i" TzAFE=ZBFC, Z AEB=Z FCB,二 AEF- BCF,. EF CF 八 E卜=6、：升 8 =故答案为：60°：2.【分析】（1）由题意易证

11、Z ABC=Z ACB , AB=CD :再由四点共圆和已证可得Z ABC=Z ACB=Z AEBt Z CED=Z AEB,则利用 AAS 可证得结论：（2）连接AO、CO.宪政AABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又AO=CO可得结论；先证2ECD-ACFB,可得 EC： ED=CF: BC=6:8：再证 AEF-厶 BCF,贝IJ AE： EF=BC:CF,从而求岀ER5. 在正方形饮2中，AB =8y点/在边Q上，WZPBC _ ：,点6是在射线艮上的 一个动点，过点C作月万的平行线交射线/于点用，点拆在射线月©上，使应始终与直线 毋垂直.(1) 如图1，当

12、点拆与点©重合时，求&的长；BRb(2) 如图2,试探索：肌的比值是否随点C的运动而发生变化？若有变化，请说明你的 理由：若没有变化，请求出它的比值：BC(3)如图3,若点6在线段册匕 设PQ=Xy RM = y ,求F关于X的函数关系式，并写 出它的定义域.【答案】（I）解：由题意，得AB=BC = CD=AD=8tZC = ZA = 90' 在 Rt BCF 中，ZC = 90。PCt&nZPBC = DC tanZPBC 二二4. PC = 6：. RP =2 PB = J妙 += IGRQ 1弘. ZRQP = 90° ZC = ZRy ZB

13、pC = ZRPG PBC-卜 PRC PB PC.乔一元10 6 H _ PG 6PQ 二二5Rh(2)解：答：腕的比值随点C的运动没有变化理由：如图,BC. M Il AB Zl = ,ABF. ZQMR = ZA. ZC=ZA= 90° ZQMR = ZC = 90°T RQ 1 BC ZI ZRQM = 90QZABC = ZABP ZpBC = 90° ZRQM = ZPBC：. RMC 八 PCBRM _ PC.1qTc： PC = 6、BC = SRM _ 3.矿 7Rb3亦的比值随点C的运动没有变化丄匕值为刁（3）解：延长毋交皿的延长线于点A 又

14、PD"M 二 PQ + pNr+弓D- 心 必妙一M胁初宀£ N - - 刃刃亦M Y8 W-"一3-M y 一一M, 肪曲 MA7-.V65 - / - 7 Nn - 一一 - 刃WM 一阀拠1027T _ Tg.7 % +飞93V = X + - 20 2.26O < X W 它的定义域是£【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出AB = BC = CD = AD = 8 ZZC = ZA = 90。，在Rt BCP中，根据正切函数的左义得岀tan Z PBC=PC : B C,又tan Z PBCJ二,从而得出PC的长，进而得出RP的长，根

15、据勾股左理得出PB的长，然后判断岀 P B C- 4 PRQ,根据相似三角形对应边成比例得出PB : RP=PC : PQ,从而得岀PQ的长：（2）RM ： MQ的比值随点Q的运动没有变化,根据二直线平行同位角相等得岀Z I = ZA BP, Z QMR = Z A ,根据等虽代换得出Z QMR = Z C = 90 %根据根据等角的余角相等得 出Z RQM = Z PBC ,从而判断出 RMQsA PCB,根据相似三角形对应边成比例， 得出PM : MQ=PC : BC,从而得岀答案；（3）延长B P交 A D的延长线于点 N,根据平行线分线段成比例定理得出 PD : AB=ND : NA,

16、又NA = ND + AD = 8 + ND ,从而得岀关于ND的方程，求解即可得出 ND,根据勾股定理得出PN,根据平行线的判左怎理得出PDIl MQ,再根据平行线分线段成4比例左理得岀PD : MQ=NP : NQ八又RM : MQ=3 : 4zRM=y,从而得岀MQ二印又P D二2 , N IGQ=PQ + P N = X +三，根据比例式，即可得出y与X之间的函数关系式。6. 如图，已知在AABC中，ZACB二90。，BC=2, AC二4,点D在射线BC上，以点D为圆 心，BD为半径画弧交边AB于点E,过点E作EF丄AB交边AC于点F,射线ED交射线AC 于点G.C(1) 求证： EF

17、GA AEG；(2) 设FG=×, EFG的而积为y,求y关于X的函数解析式并写岀定义域:(3) 联结DF,当AEFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度【答案】(1)证明： ED=BD,. Z B=Z BED. Z ACB=90% Z B+Z A=90o T EF丄AB,Z BEF=90o Z BED+Z GEF=90o Z A=Z GEF.T ZG是公共角， EFG-厶AEG(2)解：作EH丄AF于点H.BC 1/. tanA= AC - 2 ,Eb 1 ：.在 Rt AEF 中，Z AEF=90% tanA= AE 29 EFG-厶 AEG,T FG=XfEG=2×,

18、 AG=4×.AF=3×.EH 丄 AF, Z AHE=Z EHF=90o. Z EFA+Z FEH=90o. ZAEF=90° Z A+Z EFA=90oz Z A=Z FEH,. tanA =tanZ FEH,HF 1在 Rt EHF 中，ZEHF二90°, tanZ FEH= = f EH=2HF,Eh 1在 Rt AEH 中，Z AHE=90o, tanA=-, AH=2EH, AH=4HF, AF=5HF,3. HF=/,6 EH= 了，1 1 6 3 r4MHMMM MM y %. y= FG-EH= x=左义域：（OVXS 3）（3）解：当

19、厶EFD为等腰三角形时， 当 ED=EF 时，则有Z EDF=Z EFD,T Z BED=Z EFH, Z BEH=Z AHG, Z ACB=Z AEH=90%Z CEF=Z HEF,即EF为Z GEH的平分线，则 ED=EF=x, DG=8-x,1T anA= 2 >A x=3,即 BE=3;4 若FE=FDZ此时FG的长度是3；25-55 若DE=DF,此时FG的长度是12.【解析】【分析】（1）因为ED=BD,所以Z B=Z BED .根据等角的补角相等可得Z A=Z GEF,而Z G是公共角，所以由相似三角形的判泄可得厶EFG- AEG：（2）作EH丄AF于点H. Z AEF=Z

20、 ACB=90o, ZA是公共角，所以可得 AEF 厶ACB.所以可得比例式，AC7e1"2,由(I)得AEFG-AAEg,所以可得比例式，FG GE EF lEGTa AE1,因为FG=X,所以EG=2×, AG=4x.则AF=3x,由同角的余角相等可得 HF IZ A=Z FEH,所以 tanA =tanZ FEH,在 Rt EHF 中，Z EHF=90o, taZ FEH=EH £所以 EH=2HRS6在 Rt AEH 中，同理可得 AH=2EH,所以 AH=4HF, AF=5HF, HF=抵 ，则 EH=<5x , EFG1 1 6 3 r4的而积y

21、=2FGEH=25=/ ,自变量的取值范囤是0<x 3；(3)当AEFD为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当ED=EF时，则有Z EDF=Z EFD,易得FG=3:4 若FE=FD,易得FG=S;25-55 若DE=DB易得FG= 127.SA ABD SA ACD（1）【探索发现】如图1， ABC中，点D, E, F分别在边BC, AC, AB上，且AD BE, CF相交于同一点O.用"S"表示三角形的面积,有S AB0： S ACD=BD： CD,这一结论可通过 以下推理得到：过点B作BM丄AD,交AD延长线于点M,过点C作CN丄AD于点N.可得 BM):(-Ao

22、CN)2 ,又可iiE BDMACDN, /. BM： CN = BD: CD,S CAO ： S CBO =BCO .,.S ABD： SAACD=BD: CD由此可得 S BAO: SAD, E, F 分别是 BC, AC, AB 的中点，则 SABFo： SAABC（2）【灵活运用】如图2,正方形ABCD中，点E, F分别在边AD, CD上，连接AF, BE 和CE, AF分别交BE, CE于点G, M.图2若AE = DF.判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；（3）若点E, F分别是边AD, CD的中点，且AB=4.则四边形EMFD的而积是多少？（4）【拓展应用】如图3,正

23、方形ABCD中，AB=4,对角线AC, BD相交于点O.点F是 边CD的中点AF与BD相交于点P, BG丄AF于点G,连接OG.请直接写出SXGP的值.SC图3【答案】（1）AE： EC： AF： BF； 1： 6（2）解：结论：AF=BE, AF丄BE. 理由：如图2中，團2V四边形ABCD是正方形， AB=AD Z BAE = Z ADF = 90T AE = DF, BAE雯厶 ADF (SAS), BE=AF, ZABE = Z DAF,T Z ABE+Z AEB=90o, Z DAF+Z AEB=90 Z AGE = 90 AF = BE.（3）解：如图2 - 1中，连接DM.根据对

24、称性可知仏DMEt DMF,关于直线DM对称,二 S DME = S DMF IT AE = DE,二 S AEM = SA DME = SA DMF »1T S ADF= 242 = 4,4 SA AEM = SA DME = DMF= ' 8 I S Wft EMFD= 1 8故答案为2.（4）拓展应用：如图3中,四边形ABCD是正方形，/. AB = BC = CD=AD=4, AC = BD=4 屁 OA=OB = OD = OC = 2 DF = FC, DF = FC=2, DFIl AB,DF DP l.ABPl,：.OP： 0B=0P: OA = I: 3,T

25、BG丄PA, AO丄0B, Z AGB = Z AOB = 90o,/ Z OAP+Z APO=90 Z PBG+Z BPG=90% Z PAO = Z PBG, Z APO = Z BPG,H 一丹67一丹一一 一一乔一丹,T Z GPO = Z BPA. GPOS BPA,S CPD OP 求线段AB的长度； 设点M在射线AB上，将点M绕点、A按逆时针方向旋转90。到点N,以点N为圆 心，NA的长为半径作O N. 当ON与X轴相切时，求点M的坐标： 在的条件下，设直线AN与X轴交于点C,与ON的另一个交点为D,连接MD交X I （丿= S BPA PA IG ,2 16S ABP= 3 A

26、BD= 3 >8. S GOP= 15 .【解析】【解答】（I ）探索发现：由题意：S Bao: S bco = AE: EC； S Cao： SCBO = AF: BF:若 D, E, F 分别是 BC, AC, AB 的中点，则 SAB心 SAABC=1： 6,故答案为：AE： EG AF： BF, 1： 6.【分析】【探索发现】利用等高模型，解决问题即可.【灵活运用】（1）结论：AF = BE, AF丄BE证明 BAE A ADF （SAS）即可解决问题（2）根据对称性可知厶DME, DMF, X?十庖线 DM 对称,推出 SDME = SDMF 9 由 AE = DE,推出 SA

27、AEM = SADME = SADMF ,求出S 甌OP _ 1 ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由AGP0-ABPA,推岀S PA 元即 可解决问题.48如图，已知一次函数y= - 3x÷4的图象是直线I,设直线I分别与y轴.X轴交于点A、 轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线I交于点P、Q,当AAPQ与 CDE相似时，求 点P的坐标.【答案】(1)解：当X=O时，y=4, A (0 4), OA二4,4当 y=0 时， S+4=0,×=3, B (3, 0),OB=3,由勾股左理得：AB=5=-二tanz OAB= OA AE 4 ,设 EM=3x, AE=4x

28、> 则 AM=5x, M (3x, -4×+4),由旋转得：AM=AN, ZMAN=90。, Z EAM+Z HAN=90 Z EAM+Z AME二90°, Z HAN=Z AME, Z AHN=Z AEM=90% AHN旻厶MEA, AH=EM=3×t. ON与X轴相切，设切点为G,连接NG,则NG丄X轴, NG=OH, 则 5x=3×+4, 2x=4, x=2, M(6 -4 ): D (16, 16),设直线 DM： y=k×+b,把 D (16, 16)和 M(6,4)代入得:k=2解得：Ib= - 16,：.直线DM的解析式为：

29、y=2x-16,.直线DM交X轴于E,当 y二O 时，2x-16=0,X二 8, E (8, 0),由知：C)N与X轴相切，切点为G,且G (8, 0),. E与切点G重合， Z QAP=Z OAB=Z DCE, APQ CDE相似时，顶点C必与顶点A对应, 分两种情况：i)当ADCE-AQAp 时，如图 2, Z AQP=Z NDE,T Z QNA=Z DNF, Z NFD=Z QAN=90o,TAOII NE, ACOA NCE,AO _CG.NEci,4 _ Co I(TCO s916：.CO= 3 ,连接BN, AB=BE=5,. Z BAN=Z BEN=90% Z ANB=Z ENB

30、,T EN=ND Z NDE=Z NED,. Z CNE=Z NDE+Z NED, Z ANB=Z NDE, BNlI DE,Rt ABN 中，BN= + 孑=M ,AB NF=SinZ ANB=Z NDE= BN DN.5 _肿. 55", NF=2 , DF=4 . Z QNA=Z DNF,DF_AC. tanZ QNA=tanZ DNF= NF A 945 AC. 25Tg , AQ=20.3 Qh二 T tanZ QAH=tanZ OAB= 4 Ah t设 QH=3x, AH=4x,则 AQ=5×,.,.5x=20>X二4,. QH=3x=12, AH=16,

31、 Q (-12, 20),1冋理易得：直线NQ的解析式：y=-2+14, P (0, 14):ii)当厶DCE- PAQ时，如图3,A(1) 如图2,在AABC中AB=ACzZ B=50 APD是AB边上的"等腰邻相似三角形"，且AD=DP, Z PAC=Z BPD,则Z PAC 的度数是:(2) 如图3,在ZXABC中，ZA二2ZC,在AC边上至少存在一个"等腰邻相似 APDS请画 出一个AC边上的"等腰邻相似 APD",并说明理由；(3) 如图4,在Rt ABC中AB=AC=2, APD是AB边上的"等腰邻相似三角形"，

32、请写岀 AD长度的所有可能值.【答案】(1)30。(2)解：如图3中，AAPD是AC边上的"等腰邻相似三角形”，理由：作Z BAC的平分线AP交BC于P,作PDIl AB交AC于D,S3/. Z BAP=Z PAD=Z DPAt Z CPD=Z B, DP=DAt Z CAB=2Z C, Z BAP =Z C,. APD是等腰三角形且厶APB CDP相似, APD是AC边上的"等腰邻相似三角形(3) 解:如图 3冲,当 DA=DP 时,设Z APD=Z DAP=X,3r若Z BPD=Z CAP=90o-×, Z BDP=Z CPA=2×> 90o-

33、x+2x+x=180% x=45%三角形都是等腰直角三角形，易知ADT：若Z PDB=Z CAP 时，设Z APD=Z DAP=X, 得到Z PDB=Z CAP=2×,易知 x=30o, 设 AD=a,则 AP= BPD- CPA,BD Pb：.花一兀即 2/1如图4中，当PA=PD时，易知Z PDB是钝角，Z CAP是锐角,4Z PDB=Z CPA,则厶BPD旻厶CPA,设 AD=a,则 BD=2-a, BP (2 a) = 2 , AC=2,22 -(2 - a) =2,解得a=" -恥，如图 5 中，当 AP=AD 时,设Z APD=Z ADP=X,则Z DAP=I8

34、0o-2x,易知Z PDB 为钝角,Z CAP为锐角，图5 Z PDB=Z CPA=I80o-x, Z CAP=90o-Z DAP=90o- (180o-2×) =2x-90%在厶 APC 中，2×-90o+180o-x+45o=180%解得x=45不可能成立 综上所述.AD的长为2或 3 或4- 2【解析】【解答】（1）解：如图2中，TAB=AC, DA=DP,/. Z B = Z Ct ZDAP = Z DPA, Z PAC=Z BPD, Z APC=Z BDP = Z DAP+Z DPA,. Z APC=Z B + Z BAP, Z B = Z PAB = 5O. Z

35、 BAC=I80°-50°-50° = 80°, Z PAC=30o故答案为30°【分析】（2）根据等边对等角和三角形外角的性质证明ZB = ZPAB即可解决问题 （2） 如图3中，作Z BAC的平分线AP交BC于P,作PDll AB交AC于D,根据平行线的性质和 角平分线左义可得ZBAP=ZPAD二Z DPA, Z CPD=Z B,结合Z A=2Z C可证AAPD是等腰三 角形且AAPB与ACDP相似，即可解决问题.（3）分三种情形讨论：如图3,中，当DA= DP时：如图4中，当PA=PD时：如图5中，当AP=AD时：分别求解即可解决问题.1

36、0.在等腰直角三角形ABC中上ACB = 9OOzAC=BCzD是AB边上的中点，Rt EFG的直角顶 点E在AB边上移动（1）如图魚 若点D与点E重合且EG丄AC、DF丄BC,分别交AC. BC于点M、N,易证EM = EN:如图2,若点D与点E重合，将AEFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长 度还相等吗?若相等请给岀证明，不相等请说明理由：（2）将图1中的Rt EGF绕点D顺时针旋转角度（00<<450）.如图2,在旋转过程中,当 Z MDC=I5°时，连接MN,若AC=BC = 2,请求岀线段MN的长；(3)图3z旋转后,若Rt EGF的顶点E在线段AB上移动(不与

37、点D、B重合)，当AB = 3AE 时，线段EM与EN的数量关系是:当AB = mAE时，线段EM与EN的数量关系是【答案】(1)解：EM = EN;原因如下： Z ACB = 90o AC = BC D是AB边上的中点 DC=DB Z ACD = Z B=45o Z CDB = 90o Z CDF÷Z FDB = 90o Z GDF = 90o/. Z GDC÷Z CDF = 90o/. Z CDM=Z BDN1 CDM和厶BDN中Z MCD = Z B, DC = DB, ZCDM = ZBDN, CDM更 BDN DM = DN 即 EM = ENZ CDP=450

38、CP = DP = AP = I(2)解：作DP丄AC于R则DM= 2DM = DN,Z CDG = I5° Z MDP = 30o. COSZ MDP= ML MND为等腰宜角三角形(3) NE = 2ME; EN = (m-l)ME【解析】【解答】解：NE=2ME,EN = (ml)ME证明：如图3,过点E作EP丄AB交AC于点P则厶AEP为等腰直角三角形，Z PEB = 90°/. AE = PE / AB=3AE A BE = 2AE . BE = 2PE又 Z MEP + Z PEN = 90oZ PEN + Z NEB = 90o Z MEP = Z NEB又

39、Z MPE = Z B = 45o PME- BNEME PE l：.NE EB 2,即 EN = 2EM由此规律可知，当AB = mAE时，EN = (m-l)ME【分析】(I)EM = EN;原因如下：根拯等腰直角三角形的性质得岀DC=DB ZACD = Z B = 45° Z CDB = 90°根据同角的余角相等得岀Z CDM =ZBDN ,然后由ASA判断出 CDM旻 BDN根据全等三角形的对应边相等得出DM = DN即EM = EN;(2)根据等腰直角三角形的性质得岀Z CDP = 450 CP = DP = AP = I.根拯角的和差得岀PLZ MDP = 30

40、o,根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由CoSZMDP=仏得岀DM的 长，又DM = DN,故AMND为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得岀MN 的长：NE = 2MEzEN = (m-l)ME,如图3,过点E作EP丄AB交AC于点P,则ZkAEP为等腰直角 三角形，Z PEB = 90° ,根据同角的余角相等得出ZMEP = ZNEB然后判断出 PME- BNE,根据相似三角形对应边成比例即可得岀U结论，由此规律可知，当AB = mAE 时，EN = (m-l)ME 门已知：A、B两点在直线I的同一侧，线段AO, BM均是直线I的垂线段，且BM在AO 的右边，A0

41、=2BM,将BM沿直线I向右平移，在平移过程中，始终保持Z ABP=90o不变，BP边与直线I相交于点P.A(1) 当P与O重合时(如图2所示)，设点C是AO的中点，连接BC.求证：四边形OCBM是正方形;Ab Ob(2) 请利用如图1所示的情形，求证：PB = Bii(3) 若A0=23 且当M0=2PO时，请直接写出AB和PB的长.【答案】(1)解:V2BM=A0, 2C0=A0 BM=CO> AOIl BM,.四边形OCBM是平行四边形， Z BMO=90%PCBM是矩形，/ Z ABP=90% C 是 AO 的中点， OC=BC,.矩形OCBM是正方形(2)解：连接 AP. OB

42、,A、B、0、P四点共圆， 由圆周角泄理可知：ZAPB=ZAOB,/ AOIl BM,/. Z AOB=Z OBM, Z APB=Z OBM, APB- OBMtAB _ fc PB _ (3)解：当点P在O的左侧时，如图所示,过点B作BD丄AO于点D, 易证 PEO心BED.PO oh莎易证：四边形DBMO是矩形,/. BD=MO, OD=BM, M0=2P0=BD>OE I.DE2, AO=2BM=2 ,BM= dy 2 OE= 3 , DE= 易证 ADB-厶ABE, . ab2=adae. AD=DO=DM= >56：.AE=AD+DE= 3：.AB二 丿冗，215 由勾股

43、左理可知：BE=P, 易证： PEO PBM,BE OM 2.両一而一 N PB= :当点P在0的右侧时，如图所示,过点B作BD丄OA于点D, M0=2P0,点P是OM的中点，设 PM=Xf BD=2×, Z AOM=Z ABP=90o,. A、0、P、B四点共圆，.四边形AOPB是圆内接四边形, Z BPM=Z A, ABD-厶 PBM,AD Pb.-.BD BAf又易证四边形ODBM是矩形，A0=2BM,. AD=BM= ,y6 X：.2x 6,解得：X= ,：.BD=2x=2 3由勾股定理可知：AB=3 y , BM=3【解析】【分析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行

44、四边形得岀四边形OCBM 是平行四边形，根拯有一个角是直角的平行四边形是矩形得出QOCBM是矩形，根据直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC,根据有一组邻边相等的矩形是正方形得岀 结论：(2) 连接AP、0B,根据Z ABP=Z AOP=90o,判断岀A、B、0、P四点共圆，由圆周角左 理可知：ZAPB=Z AOB,根据二直线平行内错角相等得岀ZAOB=Z OBM,根据等量代换得AB _ Ob 出Z APB=Z OBM,从而判断出 APB- OBIvl,根据相似三角形对应边成比例得出西瓦(3) 当点P在0的左侧时，如图所示，过点B作BD丄AO于点D,易证 PEO-厶BED,PO oB根据相似三角形对应边成比例得岀亦瓦易证：四边形DBMO是矩形，根据矩形的性质 得岀 BD=MO, O