江苏省南通基地2020年高考数学密卷3理

1、江苏省南通基地2020年高考数学密卷（3）理第I卷（必做题，共 160分）、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.已知集合A x| 0 x 2 ,集合B x| x 1 ，则AU B2.若（a+bi）（3 4i） =25（ a, be R, i为虚数单位），则a2 一 ，_ r , r的直径，O为坐标原点，直线l : x 与x轴垂直，过圆C b2的值为3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150, 150,400, 300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查,则应从丁专业抽取的学生人数为4.从1个黑球，1个黄球，3个红球中随机取出三个

2、球,则三球颜色互不相同的概率是5.6.右图是一个算法的流程图，则输出的 k的值为.22在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 亲一y=1的顶点到其渐近线的距离16 9 c结束一）7.各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m,则m的值为8.已知公差不为零的等差数列 an的前n项和为Sn,且a2 6 ,若为37成（第5题）等比数列，则S7&的值为2<x< 4,9.已知实数x, y满足条件y>3, 则z 3的最大值与最小值之和为x+yW8,x10.已知函数f(x) -x2 , x R,则f(x2 2x) f (2 x)的解集是 |x| 211 .将函数y <3sin

3、 x的图象向左平移 3个单位，得函数 ，4图象（如图），点M,N分别是函数f（x）图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点，设则tan的值为1112 .已知正实数x,y满足'- x y1,则卫士_的最小值为x 1 y 1的13.已知 AB是圆C: x2 y2uuur uuirOM ON(第15题)上任意一点 P (不同于A, B )作直线PA与PB分别交直线l于M , N两点，则14 .若方程|x22x 1| t0有四个不同的实数根x1,x2, x3,x4,且x1x2x3x4 ,则2(X4 xi) (x3 x2)的取值范围是二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15 .(本小题满分14分

4、)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PD 平面 ABCD ,过AD的平面分别与PB , PC交于点E , F .(1)求证：平面 PBC 平面PCD;(2)求证：AD / EF .16 .(本小题满分14分)在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知sin(C -6) cosC .(1)求角C ;(2)若a+b=4,设D为AB的中点，求线段 CD长的最小值.在平面直角坐标系xOy中，圆O x2 y2 4,直线l ： 4x 3y 20 0. A(4/)为 5 5圆O内一点，弦 MN±点A,过点O作MN勺垂线交l于点P.(1)若MN/ l ,求

5、 PMN勺面积.(2)判断直线PM与圆O的位置关系，并证明.18 .(本小题满分16分)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受.如图(1)为一花窗；图(2)所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长 30 cm,宽26 cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为L.(1)试用x, y表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2 cm,每个菱形的面积为 130 cm2,那么做这样图1一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榨卯及其它损耗

6、)？30cm图219 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) x3 3x2 (2 a)x, a R .(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若函数f(x)有三个互不相同的零点0, t1, t2,其中t t2 .(i )若t2 3ti ,求a的值；(ii)若对任意的x t1, t2,都有f(x) < 16 a成立，求a的取值范围.20 .(本小题满分16分)在数列an中，a1 ,a28, an 1(1)，J1,为常数，nN*.3n(1)求的值；(2)设bn 号，求数列bn的通项公式；(3)是否存在正整数 r, s, t ( r st),使得r, s, t与a，as, at都为等差数列?

7、若存在，求r, s, t的值；若不存在，请说明理由.2020年高考模拟试卷（3）数学n （附加题）21 .【选做题】本题包括 A、B C D四小题，请选定两题，并在 相应的答题区域内作答A 选彳4-1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，A, B, C是圆。上不共线的三点， OD AB于D, BC和AC分别交DO的延长线于 P和Q ,求证： OBP CQP .（第 21-A）B.选彳4-2:矩阵与变换（本小题满分10分）1已知a, b R ,向量a是二阶矩阵A1a 2 , 一 一，一的属性特征值3的一个特征向量, b 4求直线l:2x y 3 0在矩阵A对应的变换作用下得到的直线 l的方程.

8、C.选修4-4 :坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知直线l的方程为 cos T 2,圆C的方程为 4sin 2cos4试判断直线l与圆C的位置关系.D.选彳4-5:不等式选讲（本小题满分10分）对任意实数t,不等式|t 3| 12t 1|河2x 1| |x 2|恒成立，求实数x的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内 作答.22 .(本小题满分10分)某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A、B两种抽奖方案，方案 A的中奖率为2,中奖可以获得2分；方案B的中奖率为Po(0<R<1), 3中奖

9、可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品.(1)若顾客甲选择方案 A抽奖，顾客乙选择方案 B抽奖，记他们的累计得分为 X,若XW3的概率为7,求R; 9(2)若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A或都选择方案 B进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？23 .(本小题满分10分)如图，在平行四边形 ABCD中，AB 1 , AD 2 , ABC 工，四边形 ACEF为矩形,3，uuuu uur平面ACEF 平面ABCD , AF 1,点M在线段EF上运动，且 EM EF .(1)当2时，求异面直线 DE与BM所成角的大小;(2

10、)设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为(0< -2),求cos的取值范围.2020年高考模拟试卷(3)参考答案、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 .答案：x| x 0解析：由并集定义可得 AUB x|x 02 .答案：25 解析：因为a2 b2即为复数a+bi模的平方，且a bi ,3 4i所以 |a bi1525d JO_b7 5 ,即 a2 b2 的值为 253 .答案：18解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为3:3:8:6 ,所以100名学生中丁专业抽取人数为60 18人.204 .答案：解析：将黑球标记为 a,黄球标记为b,红球标记为G,c

11、2,q基本事件10有 a,b,G；a,b,C2；a,b,C3；a,G,C2；a,C2,C3；a,G,C3；b,G,C2；b,C2,q；b,G,C3；G,C2,C3共计 10种,其中颜色互不相同有 3种，故所求事件概率为-3.105 .答案：7 解析：第1次，S 1 , k 3 ;第2次，S 3, k 5 ;第三次，S 15 10, k 7 .,、123x6 .答案：12解析：顶点坐标为 4,0，渐近线方程为y 3x,由对称性不妨取顶点4,0 ,54312渐近线万程为y -x,故顶点到其渐近线的距离为d .457 .答案："解析：方法一：正四棱柱的体积为8,正四棱锥的高为 丘,底面积为

12、4,故体积为4巫，所以正四棱锥与正四棱柱的体积之比为J2: 6 ,即m .36方法二：设正四棱锥与正四柱的高分别为几，h2 .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所1、2h1 2以体积之比为ta 土. h2268 .答案：80解析：因为a1, a?,a?成等比数列，所以a3 a a7.又a2 6 ,设公差为d ,故6 d 26 d 6 5d ,即d2 2d ,又公差不为零，故 d 2 .即a4a? 2d 10.所以 S7 S2 7a4 a2 a180.9 .答案：15解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.z2的几何意义为可行域中4x的任一点与原点连线的斜率 .由图形可得：在点 A处取到最

13、大值.又A 2,6 ,故zmax 3.在点a 3153 441 , x> 0,10.答案：（0,2）解析：f （x）所以f（x）在（,0）上单调递增，在0,）上为常数函数，则x2x2x2x解得0 x2.11.答案:邪解析:将函数.3sin -4x的图象向左平移3个单位，得函数y 3sin竽,所以1, 3 ,OM2,N 3,ON 273,|MN| 4<3 ,由余弦定理可得,cos12 282 2 2.3兀，tantan Tt4tan3 兀4tan-5 兀6,3,5tan兀 tan/ 兀612.答案:43解析:方法一：因为11, y所以11,1 y4yy 14 八413y 4x,所以3

14、y4x3y4x213xy4x4，3 .当且仅当2xV3y时取等号、， 一，1万法二：因为一 x1,所以xy x3x 4y故 x 1 y 1-347 4.3x 1 y 1当且仅当2x J3y时取等号、. 一 3x方法三：因为-3x-x 14y 3xy 1 x 1 14-3y3x3 4x 7 x 1x 14x1,3x所以与x 14y4J3,当且仅当2xJ3y时取等号13.答案:解析：设直线tan tanuuuin uuirOM ONuuurQOHuuuu OMuuirONOHHN|HM |HN |uuurHNOH HMuuuinQ|HMuuuruuur| |HN | | AH |tanuuur|B

15、H |tanI L r)Lr)uuuinOMuuirr2 2 r4ON (一)2 L c cr2)r2.即uuuu uuirOM ON 钻2的值为r【解析】方程|x2 2x 1|t0有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数f (x) |x2 2x 1| 与函数g(x) t的图象如下图所示,所以x1，x4是方程x2 2xt的两根，x2,x3是方程x2 2x 1t的两根,由求根公式得x4x12 2 t,x3 x2272tr,且0 t 2, -所以 2(x4 x)(X3 x?)2(2.2 t万7),令f (t) 2(2 V2t V2t),由 f (t).4 t2666一,函数f(t)在区间(0,引

16、递增，在区间6,2)递减,555又 f(0) 672, f(6) 4芯 f(2) 8,5所以所求函数的取值范围是(8,4 J5.、解答题：本大题共 6小题，共90分.15 .(本小题满分14分)证：(1)因为 PD 平面 ABCD, BC 平面 ABCD,所以 PD BC .因为底面 ABCD是矩形，所以 CD BC .因为CD I PD D , CD,PD 平面PCD ,所以BC 平面PCD .因为BC 平面PBC ,所以平面 PBC 平面PCD .(2)底面ABCD是矩形，所以 AD / BC,因为BC 平面PBC , AD 平面PBC ,所以AD /平面PBC .因为AD 平面ADFE

17、,平面ADFE I平面PBC EF ,所以AD / EF .16 .(本小题满分14分)解：(1)因为 sin(C 6) cosC 1,所以 乎sinC cosC 1 ,所以sin(C 6) 2 .又因为0兀，所以C模.3uur uuu uuu(2)法一：因为D是AB中点，所以CD 1(CA CB),所以uur 2 CDUJU2 uuu uuu UUU21(CA2CA CB CB ),4即 CD2 4(a2 b2ab)，所以 4CD2 (a b)2 ab > 3(a b)212,当且仅当a b 2时等号成立.所以CD长的最小值为73 .法二：在4ABC中，由余弦定理得 CD2 AC2 A

18、D2 2AC AD cosA ,2122b -c CD 可设 cos A 4.bc在ABC中，由余弦定理得 CB2 AC2 AB2 2AC AB cosA ,可设cos A b222c a2bc21 2b -c所以一 JbcCD2,222所以 CD24（a2 b2 ab）.卜同法一.法三：以C为原点,CA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,4 yo3xo所以A(b,0),B(2,空)，所以D管b,空),所以 CD2 -(a2 b2 ab),下同法一.17 .(本小题满分14分)解：(1)因为MM l ,设直线 MN勺方程为4x 3y c 0 ,由条件得，4 4 3 3 c 0,解得c 5,即

19、直线MN勺方程为4x 3y 5 0. 55因为 koA 3 , kMN4 ,所以 koA kMN1 ,即 OA MN ,43所以 MN 2j4 OA2273.又因为直线 MN与直线l间的距离d | 20 ( 5)| 3,即点P到直线MN的距离为3, J42 32所以 PMN勺面积为1 2v3 3 3点.(2)直线PM与圆O相切，证明如下:设M(%,y0),则直线MN的斜率kx055y。35xo 4因为OP MN ,所以直线OP的斜率为5x。 45yo 3所以直线OP的方程为y5x。 4 x5yo 35x。 4y x,5yo 3 解得点P的坐标为4（5y。3）4（5x。4）4y。 3x。4y。3

20、x。4x 3y 20 0,联立方程组4（5x。 4）uuuu 所以PM4（5y。 3）x。，；-y。，4y03xouuuu 由于OMuuuu 所以PMuuuuOM4x0 (5 y03)2X04%(5y。 3)4y0 3xo4 yo(5Xo 4)4 y0 3xo4 y0(5X0 4),4 y0 3x012% 16y04 y0 3Xq2-youuuu uuuu所以PM OM ,即PM OM,所以直线PMI与圆O相切，得证.18.（本小题满分16分）解：（1）由题意，水平方向每根支条长为比且15 xcm, 2竖直方向每根支条长为n26 y132y 一 cm,2菱形的边长为（令2（$2；,22x yc

21、m.2从而，所需木料的长度之和L 2(15 x) 4(13 22x y 2(x y) cm.(2)由题意， 1 xy213,260,又由x1513x> 2,y 可得 £°WxW13.->2,112所以2260 282 4 x (x)2(x260一).x82260xc 十 1300在<11x< 13上恒成立,260在130,13上单调递减，所以可得11372 33,.1182因为函数260 222j(x )520 (x2, t2520 、,t2Jt2 520 和 y所以L 822 t2520即 x 13,y260 一)x-2 520520 t=82 2

22、Ht520?一 - t2 520 t520. t2 520520.t2 520 t',372 在t 33, 上均为增函数,1120时L有最小值16 4标9 .372 33,上为增函数，故当t 33,11答：做这样一个窗芯至少需要16 4 . 569 cm长的条形木料.3 、3(a 1)319. (1) f (x) 3x2 6x (2 a),其判别式(6)2 12(2 a) 12(a+1).当a0 1时，< 0 , f(x)为0恒成立，所以f (x)的单调增区间为(，) 1分当a 1时，由f(x) 0,得x 3 ,"a 1)或x 3屈1) ,33所以f (x)的单调增区间

23、为(,3 J3(a 1) , (3，3(a 1),) . 3分33综上，当a0 1时，f(x)的单调增区间为(，)；当a 1时，f(x)的单调增区间为(,3 "3a 1), (3 J3(a 1),). 4分33由题意t1, t2是方程x2 3x (2 a) 0的两个实根， 5分21故t1 t2 3,媾2 2 a ,且判别式 1 ( 3)4(2 a) 0,得 a 43 9由 t2 3t1 ,得 t1 , t2 , 8 分4 4275故 t1t2 2 a ,所以 a . 9分(2)(1)方程£3 0,即为 x3 3x2 (2 a)x 0,亦即 xx2 3x (2 a)0,161

24、6(ii)因为对任意的 x t, t2 , f (x) < 16 a恒成立.一、，3因为 tt23 ,t1t2，所以t1t2,2所以 0t1t2 或 t10t2 .当 0t1t2 时，对 xt1,t2, f(x)<0,所以0 16 a ,所以a 16 .又 11t2 2 a 0,所以 a 2. 12分2当 t1 0 t2 时，f (x) 3x 6x (2 a),由(1)知，存在f(x)的极大值点x1 (t1,0),且x132(万法 1)由题得 f(x1) x1 3x1 (2 a)x1wi6 a,将x114分3 '"a "代入化简得(a 1)j3(a 1)

25、 < 72 ,解得 a 0 11 . 3又11t2 2 a 0,所以 a 2.因此 2 a< 11. 15分1综上，a的取值范围是(_,2)U(2,11. 16分4(方法 2) a 3x2 6x1 2,由题得 f(x1) x3 3x2 (2 a)x1 w 16 a,将a 3x2 6x1 2,代入化简得(41)3> 8,得 x1 > 1 ,故 1 w x1 0 ,因为 a 3x2 6x1 2在 x1 1,0)上递减，故 a (2,11.1综上，a的取值范围是(_,2)U(2,11. 16分420.(本小题满分16分)解：(1)将 n 1 代入 an1 (1 1)an J因

26、为b1al1 ,得 a2 2al 2 ,由 ai 1 , a2 8 ,得 3. 3(2)由an1(1g) ann n ,得n1 J , 即bn1 bn £ n 3 n 1 n3n3当 n>2 时，bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b2bi)31y1丁 213n 1因为n 1也适合上式,所以bn12 3n 13由（2）知，an |（n假设存在正整数r, s,t,s,t与a，as, at同时成等差数列,则r t 2s且arat2as ，£_33r2*)整理得一：§ , 3r3t3s设cn弃n N，则cn1 cn号学产0所以cn单调递减数列.若r 1,当时,

27、则2s 所以（）左边1,右边w 2,显然等式不成立,39当s 2时，得-t最，解得t 3,所以r 1 , s 2 , t 3符合题意.若r > 2 ,因为s r ,所以s > r 1,所以 Cs < Cr 1 ,所以 2s> JL 22-J_2> °,所以工w 0,所以t不存在, 3r 3s 3r3r 13r 13即r > 2时，不存在符合题意的 r , s, t .综上，存在r 1, s 2, t 3,使得r, 3 t与ar, as, a同时成等差数列.数学n （附加题）21 .【选做题】本题包括 A、B、C D四小题，请选定其中两题，并在相应的

28、答题区域内 作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳41:几何证明选讲（本小题满分10分）1证：连接 OA,因为 OD AB, OA OB ,所以 BOD AOD 1 AOB ,21又 ACB AOB ,所以 ACB DOB , 2又因为 BOP 180oDOP , QCP 180o ACB ,所以 BOP QCP ,所以B, O, C, Q四点共圆，所以 OBP CQP .B.选彳42:矩阵与变换（本小题满分10分） a 2 11解：由题息，A a 3a,即3,b 4 11a 2 31 2所以a 2 3'解得a 1, b 1,所以A ,

29、2 .b 4 3,1 4设l上一点P(x, y)在A的作用下得到直线l上一点P(x, y),x 2y,x 4y,x所以y1(2x 3'1(x6y )，y )，代入直线l : 2x0,7x 5y 180,即直线l的方程为7x5y18 0.C.选彳44:坐标系与参数方程(本小题满分10分)解：由 cos -2,得父24?2cos停sin2,所以直线l直角坐标方程为由 4sin 2cos ,得sin 2 cos ,所以圆C的直角坐标方程为y2 2x4y0,所以圆心到直线的距离d所以直线l与圆C相交.D.选彳4- 5:不等式选讲(本小题满分10分)3t 2,解：设 f(t) |t 3| |2t

30、 1| ,即 f(t) t 4,t 3,3t2,所以f(t)的最小值为2所以|2x1|x当x 2时,不等式即为(2x 1)(x2) < -2 ,解得x> 2 ,矛盾;2时，不等式即(2x 1) (x 2)<1 ,解得 x> 2 ,所以当x 3时,不等式即为(2x 1) (x 2)心解得x/所以修x建综上，实数x的取值范围是2< x< 6 ,【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)2 解：(1)由已知得，甲中奖的概率为乙中奖的概率为 P),且两人中奖与否互不影响.3记“这2人的累计得分XW 3”的事件为C,则事件C的对立事件为“ X= 5” ._.2_.27因为 RX= 5) = -Pd,所以 P(C) = 1-P(X= 5) = 1-P)=-, 339,1所以P0= 3(2)设甲、乙都选择方案 A抽奖的中奖次数为 X,都选择方案B抽奖的中奖次数为X2,则这两人选择方案 A抽奖累计得分的均值为 E(2X),选择方案B抽奖累计得分的均值为 E(3X2).22 4由已知可得，X1 B(2,-),X2B(2,Po),所以E(X1)= 2X