线性代数考试题及答案3

1、2009 2010学年第一学期期末考试线性代数试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分 100分，120分钟完卷。题号一一三四五总分分数2、闭卷考试。评阅人:总分人：、单项选择题。(每小题3分，共24分)-3111一 1-3111.行列式11-31111-3(A) 0(B)1(C)2(D)【】2.设A为3阶方阵，数九=2,人=3,则|74 =(A) 24(B)-24 (C)6(D)-6【】3.已知A, B,为n阶方阵，则下列式子一定正确的是(A) AB =BA (B) (A B)2 = A2 2AB B2(C) AB| |BA(D) (A B)(A - B)= A2 - B2【】4.设A

2、为3阶方阵，|A =a#0,则A* =(A) a(B)a2(C) a3(D) a4【】5.设矩阵A与B等价，则有(A) R(A) < R(B) (B)R(A) R(B)(C) R(A) = R(B)(D)不能确定R(A)和R(B)的大小【】6.设n元齐次线性方程组 Ax = 0的系数矩阵 A的秩为r ,则Ax = 0有非零解 的充分必要条件是(A) r = n (B) r _ n (C) r ： n (D) r . n【】7.向量组a1，a2,，am(m之2)线性相关的充分必要条件是(A)a, am中至少有一个零向量(B) a1,a2, am中至少有两个向量成比例(C) &e2,

3、 am中每个向量都能由其余m-1个向量线性表示(D) a1，a2, am中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示【】8. n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是(A) R( A) = n(B)A有n个互不相同的特征值(C) A有n个线性无关的特征向量(D)A一定是对称阵、填空题。(每小题3分，共15分)1.已知3阶行列式D的第2行元素分别为1,2-1 ,它们的余子式分别为1,-1,2 ,则2.设矩阵方程4 2.-X1 O3 .设x ="是非齐次线性方程组 Ax = b的一个特解，2为对应齐次线性方程组Ax = 0的基础解系，则非齐次线性方程组 Ax = b的通解为.4 .设m

4、m n矩B$ A的秩R(A) = r ,则n元齐次线性方程组 Ax = 0的解集S的最大无关组S0的秩Rs0 =。25 .设K是万阵A的特征值，则 是A的特征值三、计算题（每小题8分，共40分）.102-512131 .计算行列式2-1011342一12.已知矩阵A = 2402. 一 _1-1 3 ,求其逆矩阵A 。183.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知»产2尸3是它的三个解向量且21rnI +n3)23,求该方程组的通解。求矩阵A='的特征值和特征向量。2_225.用配万法化一次型 f =x1 +2x2 +5x3 +2x1x2+2x1x3+6x2x3 成标

5、准型。四、综合体（每小题8分，共16分）1.解下列非齐次线性方程组1 2xi x2 - x3 x4 = 1* 4x1 +2x2 -2x3 + x4 = 22x x x2 - x3 x4 12.已知向量组求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。B五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足A2 -A-2E =0 ,证明A及A + 2E都可逆，并求A，及（A+2E）。一、单项选择题。（每小题3分，共24分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C二、填空题。（每小题3分，共15分）21,1.4 2. I3. x =G-1

6、+c22+"（C1，C2 w R） 4. n -r 5.% -6一102-5102-5-1213023-22-1010-1-41113420327 -三、计算题（每小题8分，共40分）.1.解:2分）一12.已知矩阵A = 2L4一102-5"0-1-411=00-520_00-1040_102-50-1-411=00-520-0000_=0 （2 分）02-1 3 ,求其逆矩阵A，。182分）2分）（2分）一1解：（A,E） = 2402 10 0-13 0 1018 0 0 1100-1122r11_4分）1-1121则 A = -406 12

7、1 - 1（2分）3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知？尸2尸3是它的三个解向量且21340-ll2I +n3 =,求该方程组的通解。34解：由已知可得：对应的齐次线性方程组Ax = 0的解集S的秩为4-3 = 1,因此齐次线性方程组 Ax = 0的任意非零解即为它的一个基础解系。 （3分）令二2 1 一（ 2 3）则 A = A2 i 一（ 2 - 3） -2A i - A 2 - A 3 =2b b b = 0所以七=（3,4,5,6）T #0为齐次线性方程组 Ax = 0的一个基础解系。 （3分）由此可得非齐次线性方程组 Ax = b的通解为:R）（2分）4.求矩阵A =

8、I的特征值和特征向量。12解：A的特征多项式为：2 九 1A *uE =（九一 1）（九一3）12 f所以A的特征值为=1,%=3。（4分）（1）当人=1时，对应的特征向量满足,解得：x1 - -x2则九 1 =1对应的特征向量可取（2分）（2）当 =3时，对应的特征向量满足收二巴解得：x1=x2一1-1x20则，勺=3对应的特征向量可取 p21 = (I（2分）5.用配方法化二次型 f =x12 +2x22 +5x32 + 2x1x2 + 2x1x3 +6x2x3 成标准型。222_解：f = x12x1x2 2x1x3 2x2 5x36x2x3= （x1 x2 x3）222x2 4x3 4

9、x2 x3 （x1 x2 x3）2（x2 2x3）2（4分）fy1x1x2x3令y2 =x2 +2x3 则把f化成标准型得:2 .2一 y1y2（4分）)3 = x3四.综合题(每小题 8分，共16分)1 .解下列非齐次线性方程组2x1 x2 -x3 x4 =1« 4x1 +2x2 -2x3 + x4 = 2 2x1 +x2 -x3 -x4 =1解：对增广矩阵B作初等行变换-1_2 1-1 7 1- _0100（5分）由上式可写出原方程组的通解为:-x11一 1 1-01 -01x2x3-20-0C2（c1,C2 JR）（3分）2 .已知向量组一1一21一3 1求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。1 2310-7r(2分)解：A = 2 31 0 153 1 -160 0 0则Ra =2, （2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知a1,a2为向量组的一个最大无关组。（2分）且 a3 = 7a1 +5a2 （2 分）五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足A2 A2E = 0 ,证明A及A + 2E都可逆，并求 A及(A+2E)。证明：1-(