数学归纳法及其应用举例1

1、数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时， 常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n边形的边数无限增加时，正 n边形的周长Pn无限趋近于圆周长 2ttR。这里的鸟，片/1 只是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项 的数列来探索无穷数列 为 弓.与的变化趋势。不论n取多么大的整数，Pn都是相应的圆周长的近似值， 但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中(限n无限增大)找出圆周长的精确值 2兀R。随着n的增加，Pn在变化，这可以认为是量变(即只要n是有限数，Pn都是圆内

2、接正多边形的周长)；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出 2兀R,就是质的变化(即不再是正多边形的周长)。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。本章重点内容是：(1)数学归纳法及其应用。(2)研究性课题：杨辉三角。(3)数列的极限。(4)函数的极限。(5)极限的四则运算。(6)函数的连续性。本章难点内容是：(1)数学归纳法的原理及其应用。(2)极限的概念。【基础知识导引】1 了解数学推理中的常用方法一一数学归纳法。2 .理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。3 .掌握数学归纳法的一些简单应用。【教材内容全解】1.归纳

3、法前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。(1)归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。(2)根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式， 凸n边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。 但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本P62数

4、列通项公式2 2an (n 5n 5)就是一个典型。2.数学归纳法在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。 如果只对部分正整数加以验证就得出结论， 所得结论又不一定正确，要是找到 把所得结论递推下去的根据， 就可以把结论推广到所有正整数。 这就是数学归纳法的基本思想： 即先验证使结论* .有意义的最小正整数n0,如果当n n0时，命题成立，再假设当n k(k n0,k N )时，命题成立(这时命是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于no的正整数 制+

5、L畸+2,命题都成立。由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。第一步递推的基础， 缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k时，等式:>4 + 6+=疗+内成立， 就是|2+4+6 + 2k -兴 + M 1 。那 么，=+=8"1尸 *6*1) +1。这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于

6、任何nCN*都成立。因为当n=1时，上式左边=2,2右边 12 1 1 3,左边w右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一 步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。在证明传递性时，应注意：(1)证n=k+1成立时，必须用n=k成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论(命题对n n0成立)，就可以知道命题对no 1也成立，进而再由第二步可知n (no 1) 1,即n no 2也成立。这样递推下去，就可以知道命题对

7、所有不小于no的正整数都成立。(2)证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。3.这一节课本中共安排了五个例题，例 1例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当n no (这里 1)时等式成立。再假设当n=k时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时111 . 3M十十,. 4= 1 -(一)等式也成立。注意 n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证： 22。2、2 。在第2步中这样证：设n=k时，等式成立，即2 2,那么当n=k+

8、111222所以当111 k 111 k 1尹 1 (2)k1/(1 2) 1 (2)n=k+1时，命题也成立。这种方法不是数学归纳法，因为这个证明过程中没有体现递推的思想。例4是用数学归纳法证明整除性问题。由于前面我们没有学过多项式除以多项式，所以题中介绍了多项式整除的概念。由多项式整除的定义容易得出：对多项式a, b, c, p,如果a能被c整除，那么pa也能被c整除;2 2k 2 2k如果a, b能被c整除，那么a+b或a-b也能被c整除。在本例证明的第二步中，为了利用归纳假设，在xx yy2 2k2 2k中添加一项x y ,为了使等式不变，同时添加一项 x y 。例5是用数学归纳法证明

9、几何问题。证明的关键是弄清增加一条直线增加多少个不同的交点。【难题巧解点拨】例1试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：3+7+11+ (4n-1) =n (2n+1)证明：(1)当n=1时，左边=3,右边=3,所以当n=1时命题成立。(2)假设当 n=k 时命题成立，即 3+7+ - + (4k-1) =k (2k+1)。3 + 7 + - +(4-1)3)三工(七十 1)0 无 <3 + 3)=当 n=k+1 时，2(k 1)(2k 3),所n=k+1时，命题也成立。根据(1) (2)可知，等式对一切 nC N*成立。分析看用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是

10、否齐全，特别是在第二步证明中归纳假设是否被应用。如果没有用到归纳假设，那就不正确。解 以上用数学归纳法证明的过程是错误的。在证明当n=k+1时等式成立时，没有用到当n=k时命题成立的归纳假设，所以不符合数学归纳法证题的要求。第二步正确的证明方法是：假设 n=k 时命题成立， 即 3+7+11+ ( 4k-1 ) =k ( 2k+1 ) 成立，则当 n=k+1 时， >7 比-1)+=封21t51t+ 3 =,即当 n=k+1 时命题也成立。点拨用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，尽管有的与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归

11、纳法的步骤进行，否则是不正确的。例2证明5 2)伊+醇=2" T13'”2曾-5,其中nC N*。分析 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n=k+1时，等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系，或增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决。1证明 （1）当n=1时，左边=1+1=2,右边 2 1 2,等式成立。（2）假设当n=k时,等式成立，即.十1）比十+期 2工，1，3（.一!）。则当n=k+1时，（i + 1 +1）（+ 1 + 2） -4 1+ 1 +1 + + 1）=（* + 2）（t+ 3Q- （i + 2）=（无4 1）彼+ 2

12、>-七4© 2侬7=2":3,（24-1”2（2上、1）=户】1 3（次-1）（系+1）即当n=k+1时，等式也成立。由（1）、（2）可知，对一切nC N* ,等式成立。点拨 解题过程中，当n=k+1时，等式的左边若错写为（k+1） （k+2）（k+k） （k+k+1 ）,时导致证明错误 或无法进行。例3平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。求证：这n个圆把平2面分成n n 2个部分。分析 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时，分点增加了多少，区域增加了几块。本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一

13、条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了 2k个部分，问题就容易得到解决。证明 用（1）当n=1时，一个圆把平面分成两部分，12 1 2 2,命题成立。2（2）假设当n=k时命题成立（nCN*）, k个圆把平面分成k k 2个部分。2当n=k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成k k 2个部分，第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧， 每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k+1个圆把平面分成22（k k 2） 2k （k 1） （k 1） 2个部分，即命题也成立。由（1）、（2）可知，对任意 n N*命题都成立。点拨 不能错误地认为第 k+1个圆被前k个圆分成k段弧

14、。1 1 1 1+ “ +> 例4若不等式用+ 1司+ 2 n 24对一切正整数 n都成立，求正整数 a的最大值，并证明你的结论。分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n,不等式成立。111a解当 n=1 时，1 1 1 2 3 124 ,26_a_即2424,/.a<26,又aCN, .取a=25,下面用数学归纳法证明：111 、25理十I题十23库十124。(1)当n=1时，已证。I 11 、 25(2)假设当n=k时，# +1上+ 23上+ 124成立。1 1 1 1 1十十 * 十十十则当n=k+1时，有 伏十1)十1 /+

15、1)十2311 3上十2 3t + 313(k 1) 11111111, 251 ( + 4-4) + (+-)+七十1七十2*+13此+ 2 3比+3 3t + 4七十124 3比十2123k 4 3(k 1),1122-0. 3k 2 3k 4 3(k 1)3(k 1)(3k 2)(3k 4),1 11 v 25+ 一 +> .后+1)+1 0t+D + 2 式七十9+124也成立。I 111 、 25由(1)、( 2)可知，对一切n C N* ,都有不等式正十1内十2%+124成立。，a的最大值为25。点拨 用数学归纳法证明不等式，推导 n=k+1时不等式也成立，可以适当运用比较法

16、、分析法、放缩法等, 但前提必须是在假设的基础上使用。【课本习题解答】练习(P64页)1 + 2 + 3 + -+由=工无(七 +1)1 .在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是2，那么，.C C 1 1_11十2个3十,十k十(无+1) = 一七(七十1)十&+1)(k1)(k 2)(k1)(k 1) 122这就是说，当n=k+1时，等式也成立。2 .在第二步中，假设当n=k时，等式 1+2 + 20,一+21 + 2£（2-1）十2'23 -1 o这就是说，当n=k+1时，等式也成立。3.在第二步中，假设当 n=k时，等式成立，就是这就是说，当n=k+1时，等

17、式也成立。练习（P66页）1.在第二步中，假设当 n=k时，等式成立，就是F + 23 + 33 十一十上3 + 册：+ D）= 十 1） A=-+ 1V + * T）=工 g T尸体4 2尸444这就是说，当n=k+1时，等式也成立。2.在第二步中，假设当 n=k时，等式成立，就是I3 +3a +5a 十一+ Q无一1/ 十2g+ 1） -I3=1（4 -1） + （2i+lJa=；（2斤+1）（笈3十5丈十3）=g（2巾+ D伏 41）（2比 4 3）=；的+1）（4/十g4十为2 + 1）於 + 1 尸-1成立，就是1 十 2+2二十+ 2b】=2'-1。那么，k 1/ k 1、

18、kak aq ,刃么，ak 1 ak q (aq ) q aqF+2彳十堂十十工优十1产4。那么,3十伏十1成I2 +33+宁+十('-1)J = 1削4M -1)3。那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。3.在第二步中，假设当 n=k时，等式成立，就是lx2+2x3+3x + .-+t（t+1J m上（无 + 1）（七十 2）1X2 + 2X3 + 3x4 +-+>+) + (> +1)(+ 2)-+ S)(k + 2) + © 十 1)伏十 2)Jg+l)g + 2)(卜 35=；侬+讥(上.1) + 1(史+1)+2

19、这就是说，当n=k+1时，等式也成立。练习(P67页)1 .不妨设两个正整数是 n, n+1(n C N*)。(1)当 n=1 时，n(n+1)=1 x (1+1)=2 能被 2 整除。(2)假设当n=k时，命题成立，就是 k(k+1)能被2整除。那么，(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)也能被2整除，这就是说，当 n=k+1时，命题也成立。因此对任何正整数, 命题都成立。k k2 .在第二步中，假设当 n=k时，命题成立，就是 x y能被x-y整除。那么，k 1 k 1kkkkkk . k k . k .x y x x y y x x x y x y y y x(x y ) y

20、(x y)k 1 k 1由此可知x y 也能被x-y整除，即当n=k+1时，命题也成立。3 .在第二步中，假设当n=k(k>2)时，命题成立，就是平面内有k(k>2)个点，连接两点所成的线段的条数11f(k)-k(k 1)-k(k 1)2，那么当平面内有k+1个点时，其中k个点，连接两点所成的线段的条数为2，第k+1个点与上述k个点连接得到k条线段，因此.111f (k1)f (k)k-k(k1) k-k(k1)-(k 1)k 1) 1222这就是说，当n=k+1时，命题也成立。4. (1)三角形的内角和为 180° ,所以当 n=3 时，f(3)=180° ;

21、另一方面(n-2) X180° =(3-2) X 180° =180°。 因此，当 n=3 时，f(n)=(n-2) X 180° 成立。(2)假设当n=k(k>3)时，命题成立，就是 f(k)=(k-2) x 180。如果 4 4, &，Au是凸k+1边形的顶 点，连接A1Ak,它把凸(k+1)边形分成凸k边形''Be与三角形A1AkAk 1 ,因此凸(k+1)边形的内角和 等于分成的两个图形的内角的和，就是 (k-2) X180° +180° =(k-1) X180° =(k+1)-2 x

22、180° =f(k+1)。根据（1）和（2）可知，命题对所有不小于 3的正整数都成立。习题2. 1 (P67页)1. （1）在第二步中，假设当 n=k时，等式成立，就是2十4+6十# 2Q 上工十氐。那么244:64 + 2尢4 2（比41）=上2 4上）+ 2（七+1）=a *3k，2 = （k* 4 2上.1）*（左41）=（七:1尸这就是说，当n=k+1时，等式也成立。（2）在第二步中，假设当 n=k时，等式成立，就是2+2x3+24 + + 2*3口3-1 ,那么,2十2/3十2乂 + - + 2笈3k1十2元3氏 =（3此1）+2黑3反=+3氏1= 3-1这就是说，当n=k

23、+1时，等式也成立。Sn同业"2.先用数学归纳法证明等差数列前n项和公式2（1）当n=1时，左边 S ,右边 a1,此时等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是Skka1Sk 1 Sk ak 1ka1k(k 1)da1 kd（k 1）a1数都成立。k（k 1）d2 o这就是说，当n=k+1时，等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何正整再用数学归纳法证明等比数列前n项和公式Sna1(11(q1)o（1）当n=1时，左边 S ,右边a1o此时等式成立。a1（1 qk）Sk（2）假设当n=k时，等式成立，就是1 q 。那么,、 ga1（1 qk） k a1（1 qk 1）k

24、1 Sk ak 1 a1q 1 q1 q 。这就是说，当n=k+1时，等式也成立。根据(1)和(2)可知，等式对任何正整数都成立。3. (1)在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是-1 + 3-5+ (-1/(%-1) , (-1)“无。那么,-1+3-5 + + (T) “加-1) + ( 1)m2 伏 + 1)-1 二(-1)7十(-1广、2比十1) -7产七_4+ 2比+1) =(-1 产(Ml)这就是说，当n=k+1时，等式也成立。(2)在第二步中，假设当 n=k时，等式成立，就是1寸_1_十_+1_ = Jr而.而十十证而一而7。那么而 4.+ (2上=)(法:1) + (24+

25、 )(2/+印一 为' 1_反次+习)1+ 1 (2方十 1乂2七十 3? 一 (2七十 1)(2,十 3)_ (2# + 1)2+1)QC+62七十3)k 12(k 1) 1这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 口 3 口4.在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是(即*3+*纵)=的+勺十端+2g死+%十十唳产)那么(由(4十%十 H- ay+2(为十%十十/)十吃i这就是说，当n=k+1时，等式也成立。5. (1)在第二步中，假设当n=k 时,2k 1命题成立，就是 x2k 1y 能被x+y整除，那么2(k 1) 12(k 1) 1x y2 2k 1X X2 / 2k 1X

26、(x2X2ky2k 1X2k 1y x1、 2k 1)y2k 1y2k 1y/ 22(X y )2 2k 1y y2(k 1) 12(k 1) 1由此可知，xy 也能被x+y整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。(2)在第二步中，假设当.3n=k时，命题成立，就是 k 5k能被6整除。那么33 _ 2_(k 1)35(k 1) k3 3k2 3k 15k 532(k5k) 3k3k 632(k5k) 3(kk 2)3因为k 5k能被6整除，而k(k+1)必为偶数，于是3k(k+1)+2也能被6整除。由此可知， ,33(k 5k) 3k(k 1) 2也能被6整除，即(k 1)5(k9能被6

27、整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。4k 2 2k 1 .(3)在第二步中，假设当 n=k时，命题成立，就是 35 能被14整除。那么，4(k 1) 22(k 1) 1 4k 6 2k 33535_4_4k 2_4 2k 1_4 2k 12 2k 13 33 53 55 534(34k 252k 1) 56 52k 1由此可知，34(k 1) 2 52(k 1) 1也能被14整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。 2k 1 k 2(4)在第二步中，假设当 n=k时，命题成立，就是 42k 1 3k 2能被13整除，那么，42(k 1) 13(k 1) 242k33k 3,2 ,2

28、k1,2ck2,2ck24 44 34 32k 1 k 2k 216(43 ) 13 3.,2(k 1) 1由此可知，当n=k+1时，43(k1)2也能被13整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。6. (1)因为四边形有两条对角线，所以当 时命题成立。1 n(n 3) n=4 时，f(4)=2 ；另一方面 21a4 (4 3) 2。此,八、1,八L ,r, f (k)二k(k 3)4 A A A,一 A r(2)假设当n=k(k>4)时，2成立，当凸k边形斗与之 口*增加一个顶点 Ak 1成为凸(k+1)边形时，由顶点 八卜1与另外6-2)个顶点4,53-,，41,可构成(k-2)

29、条对角线，同时原来的一条边 AAk变成 一条对角线，这样一共增加了 (k-1)条对角线，所以凸(k+1)边形的对角线条数为rr1f(k 1) f(k) (k 1) 5 k(k 3) (k 1)1212(k2 k 2) -(k 1)(k 2)12* 1)(k 1) 3这就是说，当n=k+1时，命题也成立。根据(1)、(2)可知，命题对任何不小于4的正整数都成立。7.在第二步中，假设当 n=k时，命题成立，就是当平面内有k+1个圆时，任取其中的一个圆，记为 2.数f(k) k k。因为每两个圆都相交于两点，所以圆每三个圆都无公共点，所以上面的2k个交点两两不同,面内交点的个数是f (k 1) f

30、(k) 2k (k2 k) 2kk2 k (k2 2k 1) (k 1)(k 1)2 (k 1)这说是说，当n=k+1时，命题也成立。f(k) k2 koP。由上述归纳假设，除圆 P以外的其他k个圆的交点个P与其他k个圆都相交于两点(有 2k个交点)；又因为2且与平面内其他的kk个交点也两两不相同，从而平【同步达纲练习】、选择题1.用数学归纳法证明 )A. 1 B. 1+a1 _胪+三1 +也*4'+中口"” =(理w 出工1)】一0,在验证n=1命题成立时，其左边等223C. 1a a d. 1 a a as®'十，十_L十，-32.设 总用+ 1再十2

31、融十3 N，则()11工SS(2)A. S(n)共有n项，当n=2时，2 3。-S SS S(2)B . S(n)共有n+1项，当n=2时，1112 3 4。2C. S(n)共有 n工 s 2S(2)n项，当n=2时，11123 4。D. S(n)共有 n2 n 1 项，当 n=2 时，"2)1112 3 4 o3.用数学归纳法证明命题“当应写成()n为正奇数时,n nx y能被x+y整除”时，在验证 n=1正确后，归纳假设kA .假设 n=k(k C N*)时，xky能被x+y整除。2k 1B .假设 n=k(k C N*)时，x2k 1y 能被x+y整除。C.假设n=2k+1(k

32、 C N*)时,2k 1 x2k 1y 能被x+y整除。D.假设2k 1n=2k-1(k C N*)时，x2k 1y 能被x+y整除。4 .在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()A. n=1成立B . n=2成立 C. n=3成立 D. n=4成立1 + + + + " < 双N 曰>1)5 .用数学归纳法证明 2 32浮-1时，第一步应证下述哪个不等式成立 ()A. 1<21B.21 1 1C.231 D.6.用数学归纳法证明 时应增添的项是()11111, -4 + + (年正酒)2n- % 片+ 1 舞+ 2 2n时，从n=k到n=k+11A.

33、 2k 1111B. 2k 2 2k 4 c. 2k 211D. 2k 1 2k 2二、填空题1f W) = + - + (we 囚*)7 .设月十1犀十22«,那么f(n+1)-f(n)=8 .设凸k边形的内角和为f(k),则f(k+1)=f(k)+ 。9.数列an中，al 1 ,且Sn , Sn 1 , 2§成等差数列，则S2, S3 , S4依次等于 ，由此猜想Sn -10 .共有n级楼梯，每步只能跨上1级或2级，走完这n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n), f(n-1), f(n-2)之间的关系式是三、解答题设Sn为其前n项和，计算S1 , S2 , S3

34、, S4 的值,12 .在数列an中，ai 1Sn是它们的前n项和，若当n> 2 时，an , Sn , Sn12成等比数列，求a2,0-18 211,已知数列1 3 3 R推测出Sn,并用数学归纳法加以证明。a3, a4的值，由此猜想an的通项公式，并证明所得的结论。13.已知数列an满足ai12 ,且前n项和Sn满足：Sn2n an,求m的通项公式，并加以证明。14.是否存在常数a, b,_ 2_21 22 3c使得等式n(n1)2n(n 1)12(an2 bn c)对一切正整数n都成立？证明你的结论。参考答案【同步达纲练习】一、选择题1. D2. D 3. D 4. C5. C 6

35、. D二、填空题1 17. 2n 1 2n 2。8. 180° 。37152n 19. 2 , 4 , 8 , 2n 1。10. f(n)=f(n-1)+f(n-2)。2121三、解答题SiS22425 ,S34849 ,S48081,由此猜测-2(2n 1)1/c9 八2(2n 1)。证明如下:(1)当n=1时,S332 13289,等式成立。(2)假设n=k时等式成立，即Sk2(2k 1)2(2k1)n=k+1Sk1Sk ak 1_2(2k 1)(2k 1)2(2k 1)2_ 21(2k 3)8(k1)(2k 1)2(2k 3)2一一2 一8(k 1)(2k 1) (2k3)2一 - 2 一(2k 3)8(k 1)所以一2 一 4 2(2