解决排列组合问题的常用方法

1、解决排列组合问题的常用方法1 .特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例 1：六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数（）.520 C答案： A分析：法1:先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有A 种站法。第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，这时候有4种选择即C,还剩5个位置，甲不能再排头所以只有4种选择C,剩下的全排列，即有CCA种站法。2 .反面考虑法法 2: 全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分（正好甲在排头，乙在排尾）A-A*2+A =504例 2：某单位邀请10 名教师中的6 位参加一个会议，其中甲乙两位不能同时参加，

2、则邀请的不同方法有多少种（）.98 C答案： D解析：法1:甲参加，乙不参加，有 C=56种乙参加，甲不参加，有 C=56种甲，乙都不参加，有 C=28种则邀请的不同方法有56+56+28=140种法2:从反面考虑，甲乙都参加，有 C=70种C -C=1403 .捆绑法例3: A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法。.72 C D24答案： C42解析:将A、B捆绑一起，与C、D、E一起排，共有A4 24种排法，A、B又有A2 2种排法，共有24 2 48种排法。例4：从单词“ equation”选5个不同的字母排成一排，且含有 qu (其中qu相 连且顺序

3、不变)，共有()种排法。.480 C D840答案： B解析：从剩下的6个字母里选3个，有C(6, 3)=20,再将这3 个字母和qu 全排列 A=24所以共有20X24=480种排法4 .错位排列错位排列问题：有n 封信和 n 个信封，每封信都不装在自己的信封里，比如：2 封信就有1 种装法；3封信的具体装法 12,23,3-1和1 3,21,3-2就有2种装法；随着信封数目的增多，这种问题也随之复杂多了。应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式，请牢记：设这 n 个数的错位排列数为Dn ，当 n 1,2,3,4,5时，D1 0， D2 1 ，D3 2, D4

4、9, D5 44，经过枚举我们可以得到：Dn (n 1)(Dn 1 Dn 2)例 5：甲乙丙丁四个同学站成一队，从左到右数，如果甲不排在第一个位置，乙不排在第二个位置，丙不排在第三个位置，丁不排在第四个位置，那不同的排法有几种.11 C D24答案： A5 .间接计数法.(排除法 )例 6：三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形B.71C72D76答案： D分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，C-8例7:正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体 分析：所求问题的方法数= 任意选四点的组合数-共面四点的方法数,

5、 共 C-12=70-12=58个。6 .分配插板 什么时候使用插板法呢有两个前提：1）相同的东西进行分配；2）每人至少分一 个；例8:（河南政法2010A-41）把9个苹果分给5个人，每人至少分一个苹果，那 么不同的分法有多少种（）.40 C D60答案：A 分析：9个苹果排成一排，形成8个空，插4个挡板，就可以把这9个苹果分成5份，并且每份至少1个，C8470 例9: 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方 法 分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七 个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。 因而共C7 36种。例10

6、: 5个教师分配到3个班参加活动，每班至少1人，有几种不同的分法错解：把5个老师排成一排，中间投入四块挡板：0| 0 | 0 | 0 | 0 ,只要在 4块挡板中任取2块，一共有=6种不同的方法 错因：5个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同 .即把问题改为：把5个名额分配给3个班，每班至少有1人.问有几种不同的分法5个 名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.正解：先把5位老师分成三堆，有两类：1、1、3和1、2、2分别有和 九 种，再分到三个班里，共有1 5 0 种.7 .等价转换当考试题目和实际问题比较接近时。我们一定要将其转换成我们呢熟悉的等价数学模型例11:马路上有编号为

7、1,2,3,4,5,6，的6只路灯，为了节约用电，现要求把其中 的两只灯关掉，但不能关掉相邻的两只，也不关掉两端的路灯，则满足条件的 关灯方法共有几种().3 C D5答案：B分析：等价转换，假设有4个白球排成一排(中间3个空，不包括端点2个空)，将2个黑球插入到白球构成的空中，最后得到的6个球就相当于6只路灯，白球代表亮的，黑球代表关掉的 C32 3.8 .分组法例本不同的书(1)分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法(2)分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法(3)分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法(4)甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法(5)分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的 分法分析(1)分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法CC(2)分成三堆，每堆两本，有