山东省德州市2021届新高考数学一模考试卷含解析

1、山东省德州市2021届新高考数学一模考试卷、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1,已知函数f(x) |cosx| sin x ,则下列结论中正确的是函数f(x)的最小正周期为；函数f(x)的图象是轴对称图形；函数f(x)的极大值为 J2;函数f(x)的最小值为1 .A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】【详解】x) |sinx| cosx ,因为f(x 向|cos(x 明 sin(x 句|cosx| sin x f (x),所以不正确;因为 f(x) |cosx| sin x ,所以 f ( x) | cos( x) | s

2、in( 222f(2 x) |cos(2 x)| sin(2 x) |sinx| cosx,所以 f(- x) f(- x),所以函数f(x)的图象是轴对称图形，正确；f(x)在易知函数f(x)的最小正周期为2 ，因为函数f(x)的图象关于直线x 对称，所以只需研究函数233一，上的极大值与取小值即可.当 一 x 时，f(x) cosx sin x J2sin(x -) 且2 222453一 ，3 -一一八一 x 一 一，令x 一，得x ,可知函数f(x)在x 处取得极大值为 J2 ,正确;4444 244因为一x J所以 1 J2sin(x -) 近所以函数f (x)的最小值为1,正确.44

3、44'故选D.A.【答案】A【解析】【分析】 根据函数f X的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项因为f X f X ,所以f X是偶函数，排除 C和D.当X 0时，f X1n xX 2- , f ' XXx3 21n x 13，X0,1上递减；令f ' x 0 ,得x 1 ,即f x在1, 上递增所以f X在X 1处取得极小值，排除 B.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题3.设a, b, c分别是 ABC中 A, /BC所对边的边长，则直线sin A x ay c 0与bx sin B y sinC

4、 0的位置关系是（B.重合A.平行D,相交但不垂直试题分析：由已知直线 sin A x ay c0的斜率为sin A , , , - 八八,直线bx sin B y sinC0的斜率为 asin A sin 5,又由正弦定理得=a osin A,故 、:- 二一1 ,两直线垂直I sin B ）考点：直线与直线的位置关系22xy4.已知双曲线一2 f 1 ( a 0, bab0）的左、右顶点分别为 A1,A2,虚轴的两个端点分别为B1，B2,若四边形 A1B1A2B2的内切圆面积为18 ,则双曲线焦距的最小值为（A. 8B. 16C. 672D. 12 V2【答案】D【解析】【分析】根据题意画

5、出几何关系，由四边形A1B1A2B2的c与ab等量关系，再根据基本不等式求得c的【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：Var111fL-I-Tt / a /AiMqx/ bA1设四边形AB1A2B2的内切圆半径为r,双曲线则 OA2 a, OB1 b,所以 A2Bi | Ja2 b2 c，四边形A1B1A2B2的内切圆面积为18 ,则 18r2,解得 OC r 3 J2,一_1_ _ _ _1 人S四边形 A1B1A2% a A1A2 B1B2 4 2 4B即工 2a 2b 4 c 3、22222a b .2 2故由基本不等式可得ab 2 cc 3.23.26、当且仅当a b时等号成立.故

6、焦距的最小值为12、2.故选：DOC积求得半径，结合四边形A B1A2B2面积关系求得,即可确定双曲线焦距的最小值c,，即 c 672 ，【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题5.为了加强 精准扶贫”，实现伟大复兴的 中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加 A、B、C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有( )A. 24B. 36C. 48D. 64【答案】B【解析】【分析】根据题意，有两种分配方案，一是 3:1:1 ,二是2:2:1 ,然后各自全排列，再求和 .【详解】当按照

7、3:1:1进行分配时，则有 C3A； 18种不同的方案；当按照2: 2:1进行分配，则有 C32A3 18种不同白方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题6.已知数列an中，a11包2,且当n为奇数时，an 2an2；当n为偶数时，an2 1 3an1 .则此数列的前20项的和为()<J2-D. 100c111112 cA. 90 B. 100 C. 90222【答案】A【解析】【分析】根据分组求和法，利用等差数列的前n项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前n项和公式求出前20项的偶数项的和

8、，进而可求解 .【详解】 当n为奇数时，an 2 an 2 ,则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列, 当n为偶数时，为2 1 3 an 1 ,则数列中每个偶数项加 1是以3为首项，以3为公比的等比数列.所以 S20a1a2a3| a20 a1a3|a19a2a4a2010 1 2 a2 1a4 1 III a20 1 10口 90.3 1 310100 101 3故选：A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.2x ,且一个焦点与抛物线2x 4y的焦点相同，则此双曲2 27 .设双曲线x- y-1的一条渐近线为 ya b

9、线的方程为（.522A. -x 5y4【答案】C25 2B. 5y -x45 22C. - y 5x 1 D.45x2求得抛物线的焦点坐标,可得双曲线方程21的渐近线方程为y a-bx,由题意可得b 4a,又c2 1,即b a 1 ,解得a , b ,即可得到所求双曲线的方程【详解】解：抛物线x2 4 y的焦点为0,12可得双曲线a22即为匕江1的渐近线方程为yba4a又 c2 1,即 b a 114斛得a一，b.55即双曲线的方程为 5y- 5x2 1.4故选：C本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题8 .某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（A. 8d. 8 4y2根据三视图还

10、原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积.由三视图知几何体是四棱锥，如图,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形，边长为2,棱锥的高为2,11所以 S 22 2-22 2-2 2.2 8 4.2, 22故选：D【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题9.阅读如图的程序框图，若输出的值为 25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（3 xxxxB. i 8C. i 10D. i 12A. i 5【答案】C【解析】【分析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i的值，进而得判断框内容根据循环程序框图可知，S 0,i

11、1则 S 1,i 3,S4, i5,S9, i7,S16,i9,S25, i11,此时输出S ,因而i 9不符合条件框的内容，但i 11符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项,故选：C.【点睛】 本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题f (x)可以为(10.已知函数f(x)的图象如图所示，则x 3B. f (x)C. f (x)D. f(x) £【答案】【解析】【分析】根据图象可知，函数 f(x)为奇函数，以及函数在0,上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出.【详解】x xe e首先对4个选项进行奇偶性判断，可知， f (x)为偶函数，不符合题

12、意，排除B;Xe|x|其次，在剩下的3个选项，对其在0,上的零点个数进行判断,f(x) 在0, 上无零点，不符合x2_题意，排除D;然后，对剩下的2个选项，进行单倜性判断，f(x) - x在0, 上单调递减,不符合题 x意，排除C.故选：A.本题主要考查图象的识别和函数性质的判断,意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题.22211.两圆 x a y 4和xA. 9B, 94【答案】A2. .a2b2y b1相外切，且ab 0 ,则 ； 2的最大值为（a bC. 1D, 13由两圆相外切，得出 a2 b2 9,结合二次函数的性质，即可得出答案【详解】2222因为两圆 x a y 4

13、和xy b 1相外切所以行工2 3，即a2b2922 9812 222a a2b2a 9 a24a2 b299w 2 9 ,a2b2 381 1当a 一时，二取取大值2 a2 b24 9故选：A94【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题12.某个小区住户共 200户，为调查小区居民的 7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为()萌 L1QT工也 _t? 15 unA. 10B. 50C. 60D. 140【答案】C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住

14、户的频率为(0.05 0.01) 5 0.3 ,即分层抽样的50户中有0.3 >50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过 15立方米的住户户数为 200 60,故选C50二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。.22.613.在(x -)的二项展开式中，所有项的系数的和为 x【答案】1【解析】【分析】 . 22,6设f(x) (x -),令x 1, f(1)的值即为所有项的系数之和。 x【详解】一一02A设 f (x) (x ),令 x 1 , x所有项的系数的和为f(1)=(1-2)6 1。【点睛】对于 f(x) (ax b)n本题主要考查二项式展开式所有项

15、的系数的和的求法一赋值法。一般地，,展开式各项系数之和为f (1),注意与 工项式系数之和”区分。14.若x, y均为正数，且 x y xy,则x y的最小值为 【答案】4【解析】【分析】2由基本不等式可得xyxf ，则x y2xy，即可解得x y 4.2【详解】方法一:xy4 ,当且仅当x y 2时取等.方法二:因为xxy11, y所以xy (xy)2.12 4,当且仅当x y2时取等.故答案为：4.本题考查基本不等式在求最小值中的应用，考查学生对基本不等式的灵活使用，难度较易.15.已知半径为R的圆周上有一定点 A,在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长介于 R与J3r之间的概率

16、为在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,其中满足条件 AB弦长介于R与J3R之间的弧长为则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P= 1 2 12 R16.若双曲线22C：x上 a2 b21 a 0,b 0的离心率为 屈,则双曲线C的渐近线方程为3x利用- ab10,得到a,b的关系式然后代入双曲线 C的渐近线方程y x即可求解.a因为双曲线C的离心率为e 50, c2a2b2,a所以 c2 10a2 a2 b2 ,1P b 3a,因为双曲线C的渐近线方程为 y bx, a所以双曲线c的渐近线方程为y 3x故答案为：y 3x【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查运算求解能力；熟练掌握双曲线的几何

17、性质是求解本题的关键；属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .设不等式 2 x 1 |x 20的解集为M, a,b M .、r 111(1)证明：-a b ; 364(2)比较1 4ab与2 a b的大小，并说明理由.【答案】证明见解析；(2)|1 4ab| 2|a b|.【解析】试题分析：(1)首先求得集合M,然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论;(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab| >2|a-b|.试题解析:(I)证明：记 f (x) =|x-1|-|x+2| ,3, x 2八，11,1 1则 f(x)= -2x 1,2 x

18、1 ,所以解得-vxv ,故 M=(-,).222 23, x 1.所以,|a6|l|a|+6|b|<3J+l J2 6 2 41- c 1(n)由(i)得 0w, 0w一.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a 2b2)-4(a 2-2ab+b 2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以，|1-4ab|>2|a-b|.1 1 1_18 .(某工厂生产零件 A,工人甲生产一件零件 A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为 一，一，一，工4 2 41 1 1人乙生产一件零件 A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为1,1,-.己知生产一件一等品、二等品、3 3

19、3三等品零件 A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.(1)试根据生产一件零件 A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；(2)为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件 A,如果一方生产的零件 A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件 A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜.Pi+4 (i=-4, -3, -2,，4)表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率.写出Po, P8的值；求决赛甲获胜的概率.1【答案】(1)乙的技术更好，见解析(2)P0 0, P8 1

20、 ；一2【解析】【分析】(2)直接根据概率的意义可得(1)列出分布列，求出期望，比较大小即可；Po, P8；设每轮比赛甲得分为 X ,求出每轮比赛甲得 1分的概率，甲i 4,可推出 Pn是等差数列，根111得0分的概率，甲得 1分的概率，可的R Pn1 -Pn Pn1,n333gP0 P8据P4-一8可得答案.2【详解】(1)记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X元、Y元,所以EX1011EY1017随机变量X , Y的分布列分别为X1052P14-214Y1052P- 3- 3- 31 2 3n3 4 5n22 3 4n 12 34 n12 n 1 n 1所以EX EY ,即乙的技术更

21、好P00,(2)P0表示的是甲得 4分时，甲最终获胜的概率，所以P8表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以 E 1；设每轮比赛甲得分为 X ,则一 、，一111111每轮比赛甲得1分的概率P(X 1)-433233甲得0分的I率P(X11111114 3 2 3 4 3 3所以甲得i(i 3, 2, 3)时，最终获胜有以下三种情况:1(1)下一轮得1分并最终获胜，概率为-P 4 1 ;3 八、，1(2)下一轮得0分并最终获胜，概率为-P 4 ;3一，1(3)下一轮得1分并最终获胜，概率为-P 4 1 ；32Pn Pn1 Pn1，(n 2,3,4,5,6,7),111所以 Pn-1-Pn-P

22、m333所以Pn是等差数列,P) P8 -22 '1即决赛甲获胜的概率是1 .2本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目219 .已知函数f(x) a x 1 In x 1 x ax(a 0)是减函数.(1)试确定a的值；(2)已知数列anan*n nTna1a2a3N“IB n N* ,求证：lnn 2Tn1 2.【答案】(i) a 2 (n)见证明【解析】【分析】(i)求导得f x aln x 1 2x,由f x是减函数得，对任意的 x 1,都有f x aln x 1 2x 0恒成立，构造函数 g x aln x 1 2x,通过求导判断它的

23、单调性，令其最大值小于等于 0,即可求出a；(n)由f x是减函数，且f 00可得，当x 0时，f x 0,则f n 0,即2 n 1 In 1 n n2 2n ,两边同除以 2 n 1 2 得，nn 1 n -2 ,即n 12 n 1 n 1an1 n n 2,从而Tnaa2a3an1n 2，. 一,两边取对数ln n 22 n 1后再证明2ln n 2 In n 1 nh x 2ln x 2 In x 1 x【详解】解：（I） f x的定义域为1,n 2Tnln 1 2ln n 2 ln n 1 n 1 ln2 ,然2n 1 n 11 ln2 - 1 0恒成立即可，构造函数2._ xln2

24、 1, x 1,通过求导证明h x0即可.2f x aln x 1 2x.由f x是减函数得，对任意的 x 1,都有f x aln x 1 2x 0恒成立.设 g x aln x 1 2x.1.a2 ，由 a 0知 9 11 , 2x 1，当x1,a 1 时，g' x 0；当 x - 1,22时，g x 0,. g x在 1,a 1上单调递增，在 1, 22上单调递减,， a .g x在x - 1时取得最大值2又; g 00, 对任意的x 1,g x g 0恒成立，即g x的最大值为g 0a一 1 0,解得 a 2.2(n)由f x是减函数，且f 00可得，当x 0时，f x0,f n

25、 0,即 2 n 1 ln 1 n2n 2n.2两边同除以2 n 1得,ln n 1n 1从而 Tnaa2a3.anX 1 2 32n 2 3 42n 1所以ln n 2 Tnnln 2np2ln n 2 ln n 1n 11n2 .下面证 2ln n 2 ln n 1 n 1 ln2 - 1 0 .2，x记 h x 2ln x 2 ln x 1 x 1 ln2 1 , x 1,211n2.211 x1 h x ln2 2 ln2 -x 2 x 12 x 3x 222 4-，, y x 1在2,上单调递增,h x在2,上单调递减，_1_11_1_而 h x h 2 ln22 31n22 ln8

26、62 33当x 2, 时，h x0恒成立，0,. h x在2,上单调递减,即 x 2, 时，h x h 221n4 1n3 31n2 1n21n3 0,当 n 2时，h n 0.19. h 121n3 1n2 21n2 1n - 1n Ve 0,28当 n N* 时，h n 0,即 21n n 2 1n n 1 n综上可得，1n n 2 Tn1 -.21 1n2 1 -.2本题考查了导数与函数的单调性的关系,考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题.，20.已知函数 f x 2x a x 1 a R .(I)当a 1时，求不等式f x 1的解集；(n

27、)若存在x R满足不等式f x 4 ,求实数a的取值范围一1【答案】(I) xx -或 x 1.(n)6 a 103【解析】【分析】(I)分类讨论解绝对值不等式得到答案(n)讨论a 2和a 2两种情况，得到函数单调性，得到只需【详解】af(-) 4,代入计算得到答案2(I)当a 1时，不等式为2x 1 x 11 ,变形为11xx2 或21x11.或，解集为x x -或x 13x 2 1323x 1 x1a3x 1 a, x2(n)当 a 2时，f(x) 2x a x 1x a 1,a x23x a 1,x 1由此可知f(x)在(，a单调递减，在a,)单调递增，a_a当a 2时，同样得到f (x

28、)在(，_单调递减，在,)单调递增， 22所以f(x) f(a),存在x R满足不等式f (x) 4,只需f (马 4,即户1| 4, 222解得6 a 10.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力x y )生寸之叱-可如书臼2(同向 MriI1.47 20.6 0.78 2.350.81-19.316.2表中Wi1 10w Wi10 i 1d(1)根据散点图判断，y a bx与y c 下哪一个更适宜作烧水时间 y关于开关旋钮旋转的弧度数 xx的回归方程类型？(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据，建立 y关于x的回归方程；u的斜率和截距

29、的最(3)若旋转的弧度数 x与单位时间内煤气输出量 t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据Ui,Vi , U2,V2 , U3,V3 ,，Un,Vn ,其回归直线Vviv Ui u小二乘估计分别为i 1nUii 1【答案】(1)d二更适宜(x2)202(3)xx为2时，烧开一壶水最省煤气(i)根据散点图是否按直线型分布作答;(2)根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程,再得出y关于x的回归方程;(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件(1) yd -、,、一c 更适宜作烧水时间 y关于开关旋钮旋转的弧度数 xx的回归方程类型.(2)由公式可得:10_wi

30、wyi yi 110Wi i 116.2 20 , 0.81y dw 20.6200.78 5,所以所求回归方程为20-2 . x(3)设t kx,则煤气用量S ytkx20-2x5kx迎 x2, 20k20k当且仅当5kx 时取2时，煤气用量最小.x故x为2时，烧开一壶水最省煤气本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解,涉及均值不等式的使用，属综合中档题1222.已知函数 f(x) -ax 2(1a)xlnx,a R.(1)讨论f x的单调性;(2)若a (,1),xxex ln x a ,证明：x1(0,2 ,x2 (0,)，使f x1g x22ln2 .(1)见解析;(2)证明见解析(1)

31、 f' x aX 1 X 1，分a0,1 a 0, a 1 , a 1四种情况讨论即可;(2)问题转化为f x min g X min2 2 2,利用导数找到f (x)min与g(x)min即可证明(1) f x ax 1 a1 ax 1 x 1x 0xx当a 0时，ax 1 0恒成立,当0 x 1时，f x 0;当x 1时，f x 0,所以, f x在0,1上是减函数，在1, 上是增函数.1ax x 1当1 a 0时，一1,'aa f x x当0 x 1时，f x 0；-1.' 一当 1 x 一时，f x 0; a1 .,八当x 时，f x 0,所以，a1f x在0,

32、1上是减函数，在 1,一上是增函数， a，1，一 ，一一在一，上是减函数.a2当a 1时，f x-0 ,x则f x在0,上是减函数.当a 1时，1 1, a、，一1-当 0 x 时，f x 0 ； a1-一当 一 x 1时，f x 0;a当 x 1 时，f x 0 ,一，八 1，一 ，一，所以，f x在0, 一上是减函数,1)在 一，1上是增函数，在 1,上是减函数.a(2)由题意，得f 乂由mg X min 2 ln2.1.八由(1)知，当 a 1, x 0,2 时，f x . f - , f 2,min，a.1.11f - f 2 In1 ln2 .aa 2a人1x 2令 h x In x - x 1 In 2, x 0,1 , h x 022x故h x在0,1上是减函数，有h x h 1 In 2 1 In 4- 0 ,2 e“，1，八，一，.所以 ff 2 ,从而 f x min f 22 ln2.ag xxex x In x a , x 0,i ,x 1则 g x x 1 e -,x x 1令G x e 一，显然G x在0, 上是增函数，且 G 17e 2 0, G 1 e 1 0,21- a 1_ 所以存在x0一,1使G