二次型专题辅导.doc

1、二次型专题知识结构与内容提要、二次型及其矩阵表示1 二次型及其矩阵: 以数域 P 上的元素为系数的n 个文字nnx1, x2,L , xn 的 二 次 齐 次 多 项 式 faijxixj ，i1 j1a。aji K( 1 i,j n)称为P上的一个n元二次型.其系数矩阵a11a12 La1nA a21a22L a2nMM Man1 an2 L ann是对称矩阵称为此二次型的矩阵，A的秩r(A)称为此二次型的秩.nn二次型的矩阵表示faij xi xj XAX .i1 j1对于数域P 上 n 全体元二次型F 的与数域P 上 n 级全体对称S， 若二次型f(x1,x2,L ,xn) 的矩阵为A，

2、 定义 (f) A， 则 是F到S的一个对应。即若 f XAX,g XBX,f g AB.2 .线性替换：设,X2,L ,Xn； y1，y2,L , yn是两组文字，系数在数域 P 上的一个关系式X1c11y1c12 y2Lc1nynX2c21 y1c22 y2Lc2nynLLLLXncn1 y1cn2y2Lcnnync11c12Lc21c22LLLLcn1cn2Ly1y2 （ X CY ）MynX1或者X2MXn称为由Xi,X2,L ,Xn到y1, y2,L , yn的线性替换.当系数矩阵是非退化（可逆）的矩阵，称线性替换为非退化（可逆）的线性替换.数域P上的n元二次型f（X） X AX在非

3、退化的线性替换X CY下化成二次型g(Y) YBY,则B CAC .3 .矩阵的合同：若数域P上两个n级矩阵A,B,存在可逆矩阵C使得B C AC,称矩阵A,B合同.矩阵的合同关系是等价关系.（二）二次型的标准形任何一个二次型通过非退化的线性替换都可以化为只有平方项二次型，我们把只有平方项的二次型叫标准形/i.配方法二次型种由某个变量平方项的系数不为零 ，例如aii 0，此时把二次型对2进行配方得2 aiiXi2a12XX2n na/Xji 2 j 2aii%ai2x2 aiian xxnann nbjXXj, i 2 j 2作变数替换yiXiX2 aiiainXn aiiV2L lX2l l

4、 l lynXn.反解为XiyiX2l lai2 一、2 aiiV2l l l lainyn aiixnyn.写成矩阵形式ainXianaiiX2yiV2MXnyn i经过变数替换，二次型化作n n-2如火bjyyj,1 2 j 2然后再对上式右边的n i个变量继续进行计算.如果加0,而某个aH0，则对Xi配方.若所有40 (i i,2,L , n),而有一个aj 0 (i j ),则作变数替换xi y yj,Xj yi yj,Xk yk (k i,j).这就可以把二次型化为第一种情况.2 .合同变换法把二次型矩阵进行初等行变换同时进行相同类型的初等列变 换，把二次型矩阵化成对角形矩阵，而对单

5、位矩阵仅进行相同类型 的初等列变换，单位矩阵变成了非退化线性替换的矩阵.(三)复、实二次型的规范型1 .复二次型的规范形复数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形2Zr2Zi其中r是f的秩.复二次型的规范形是唯一的.2 .复矩阵合同标准型任何一个复对称矩阵都合同与下列形式的对角形矩阵Er 000其中 r 为矩阵的秩.3 . (惯性定理) 实数域上的任一二次型f 在可逆变数替换下都可化为规范形2222z1z p zp 1zp q ,其中正平方项的个数p 称为 f 的 正惯性指数， 负平方项的个数q 称为 f 的 负惯性指数( p q 称为 f 的 符号差 ) ， p q 是 f 的 秩

6、 . 实二次型的规范形是唯一的.4 . 实对称矩阵合同标准形 任何一个复对称矩阵都合同与下列形式的对角形矩阵EpGEr p0其中 r 为矩阵的秩，p 为正惯性指标，r p 为负惯性指标，2 p r叫符号差, 矩阵G 叫矩阵的规范型. 任何一个实对称矩阵的规范型式唯一的.(四)实二次型正定1. 正定二次型对 于 实 二 次 型f(x1,x2,L ,xn) XAX ( A 为 对 称 矩 阵 ，X (x1,x2,L ,xn) ) , 如果对于任意不全为零的实数c1, c2,L ,cn，都有 f(Ci,C2,L ,Cn) 0,则称 f(Xi,X2,L ,Xn) X AX 为正定二次型，而对应的实对称

7、矩阵式正定矩阵；若f(c1,c2,L ,cn) 0 ，则称f(X1,X2,L ,Xn) XAX 为半正定二次型，而对应的实对称矩阵是半正定矩阵；f (c1,c2,L , cn) 0 ，则称f(X1, X2,L , Xn ) X AX 为负定二次型，而对应的实对称矩阵是负定矩阵；f（c1,c2,L ,cn） 0，则称f（x1,x2,L ,xn） XAX 为半负定二次型，而对应的实对称矩阵是半负定矩阵. 既不是（半）正定又不是（半）负定的二次型叫不定二次型 , 相应的矩阵叫不定矩阵.2. 正定二次型等价定理设 f 是实二次型,则下述四条等价：（ 1） f 正定；（ 2）正惯性指数等于变元个数；（

8、3） f 的矩阵 A T T ，其中 T 为可逆阵；（ 4）的矩阵的所有顺序主子式都大于0；（ 5）矩阵的特征值全大于零.3. 负定二次型等价定理设 f 是实二次型，则下述四条等价：（ 1） f 负定；（ 2）负惯性指数等于变元个数；（ 3） f 的矩阵为TT ，其中 T 为可逆阵；（ 4）的矩阵的所有顺序主子式负正相间；（ 5）矩阵的特征值全小于零.4. 半 正定二次型等价定理设 f 是实二次型，则下述四条等价： 1） f半正定；（ 2）正惯性指数等于二次型的秩（负惯性指标为0） ； 3） 3） f 的矩阵 A T T ；（ 4）矩阵的特征值非负.5. 半 负定二次型等价定理：设 f 是实二

9、次型，则下述四条等价：(1) f半负定；(2)负惯性指数等于二次型的秩(正惯性指标为 0);(3) f的矩阵A TT ;(4)矩阵的特征值非正二、解题方法与典型例题1 .求二次型矩阵；2 .判断矩阵是否合同；3 .化二次型为标准形；4 .求二次型的规范型，先求其标准型，然后化为规范型；5 .判断复与实对称矩阵是否合同，主要是看其秩与惯性指标是 否相等；6 .秩与符号差的讨论；7 .正定二次型(矩阵)的证明.例1 n级复对称矩阵按合同分类共有多少类 ？n级实对称矩阵 按合同分类共有多少类？解n级复对称矩阵按合同分类共有n 1类，n级实对称矩阵按合同分类共有n 1 n 2类。2例2证明：E, E在

10、复数域上合同，但在实数域上不合同.i证明 在复数域上取C,即得CEC E .而在实数i域上对任意的可逆矩阵C, CEC的主对角线上元素是C的行向量元素的平方和，不可能是-1.故CECE不成立.例3证明：秩为r的对称矩阵可以表示成r个秩为1的对称矩 阵之和.证明 设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵C,使didrACC ,0diOdr0O0di0LO00OdrO0D1D2 L Dr则 A C D1CC D2CCDrC ,其中 CD。1,2, ,r）为秩为1的矩阵.例4化二次型XiX2nX2X2n 1 LXnXn i为标准形，并写出所用的非退化的线性替换.解令XiY_2n,L Xnynyni,22y

11、n yn i2,L , X2n则 XiX2n X2X2n i LXnXn i2222yiy2y3y422y2n iy2n,所用的非退化的线性替换为CY, C例5证明A11 A2与A101合同，其中A1为A21A 0A22A2A11A2可逆的对称矩阵.证明因为E1A 111A120 E2A1 A2E1A 111A12A21A220E2A101 -A22A12A11 AI2所"乂 I £与I A22黑人合同.例6 s S Knn,证明；存在A Knn,使S AA.证明设矩阵的秩为r ,则S C BC , 1其中B，显然B2 B ,因此 S C BC C BBC (BC) (BC

12、) AA,A BC .4060106 09543A, B在实例7令A453,332数域上合同，并且求一实可逆矩阵P 使 PAPB.5 4 3解容易利用合同变换把A4 5 3,3 3 2B.成与它们合同的标准型.然后求出可逆矩阵 P使PAP例8证明：任何一个n级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的 矩阵之一.0EvEv,n 02v；0Ev0Ev0000 ,n 2v 1.1证明法一）由复对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩，于是对可逆的复对称矩阵如果是偶数级的合同于0EvEv0果是奇数级的则合同于0Ev0Ev 0 0法二）对于n2vEv2EvEv0EvEv0Ev1e2EvEvEvIe2EvEvE

13、vEv 0Ev0EvEv0Ev0EvEvEv0EvEEv0EvEvEv00Ev在复数域上Ev 00iEvEv00EvEv00iEvEv 00Ev利用传递性，n 2 V得证.0Ev0n 2v 1 ,只需考察Ev00即可.001例9证明：一个n级实可逆矩阵必合同于下列形式的矩阵之一0Ev0Ev0000En 2v0Ev0Ev0000En 2v证明设实对称矩阵A的正、负惯性指标分别是p,qv, a与矩阵Ev合同,于是A与矩阵Ev Ev合同;A与矩阵0A与Ev 0例10EqEqEn 2qEqEq合同,En 2qEv 0 0Ev0Ev0En0En2v合同；合同.EvEvEn 2v合同En 2vt取何值时，

14、二次型f (Xi, X2,X3)x12 2x2 3x2 2x1x22x1x3 2tx2x3是正定的.1解二次型矩阵A 111, A t2 2t 1显然当 A 0, i.et2 2t 101 . 2 t 122时二次型正定.例11(1)判断下列二次型是否正定f(Xi,X2,必)XiXj ,(2)f(X1，X2, ,Xn)2XinXiXj . i 1解（1）二次型矩阵的k级主子式为1 1 X k .2 2) k0.(k)因此二次型不是正定、半正定的，也不是负定半负定的（2）二次型矩阵的k级主子式为1212(1)k(1 9 0，(k)所以二次型正定.例12证明n级实对称矩阵A正定的充分必要条件是它的

15、任意主子式全大于零.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.证明充分性显然.往证必要性.设n级对称矩阵正定，而ai1iAai2iai1iai2iaiii1ikai2ik(0 i1 i2ik n）为A的任意主a alpaai1kiaaikik子式所对应的一个k级矩阵，二次型f（Xi，X2，,Xn）,为正定，则 对于任意不全为 0的实数Ci,C2, ©都有f（Ci,C2, ,Cn） 0 ,从而对于任意不全为零的实数ci1，9f(0, ,00,0,0,Cik,0,.0) 0但对于文字为 Xi1,Xi2, ,Xin 而矩阵为 Ak 的二次型 9国1冬，,Xin)f(0,0Xh,0,0,Xik，0

16、, ,0),显然是正定的，故Ak的行列式大于0.例13设A (aj)是等号成立的充要条件是一个n级正定矩阵，证明|a A为对角形矩阵.a11a22 ann ,证明 设A （a。）是一个n级正定矩阵,首先我们证明二次型anany1amannyny1yn0负定.f(yi, ,yn)A事实上 YA 1YA1 YOYA1Y，f |AYA 1Y ,所以f负定.其次我们证明annAnAn i是n 1级顺序主子式.由于a11a1,n 1ana11a1,n 10an 1,1an 1,n 1an 1,nan 1,1an 1,n 10an1an,n 10an1an,n 1annD ann An 1a11a1,n

17、1an其中Df(ain,an 1 ,n )an 1,1an 1,n 1an 1,n.由于A正定，an1an,n 10从而An1正定.因此由上面证明可知D 0.即|AannAn 1.显然当A的第一行第一列除加外全为0时等号成立.最后利用数学归纳法，就可以证明本题的结论.即Aana22%，且等号成立的充要条件是A为对角形矩阵.测试题.选择填空1 . A是n级反对称矩阵，对任意的n维向量X都有 XAX .(A) 0; (B)0; (C)等于 0; (D)不确定.2 .实二次型可以分解为两个不成比例的实系数多项式，则它 必有 .(A) 秩为2;(B)秩为0;(C)秩为2符号差为0;(D)秩为1.3 .

18、二次型f经非退化的线性替换化为g,则它们的矩阵A,B满 足 .(A)等价；(B)存在P,使B P1AP；(C)合同；(D)存在P,Q,使B PAQ(P,Q可逆).二、 解答题1 .设A为实对称方阵，证明，当 充分小时，E A是正定的.2 .设S是n级复对称矩阵，证明存在复矩阵 A,使S AA.3 .设A是n级实对称矩阵，证明，存在实数c,使对任一 n维向XAXcXX24 .令 a1，a2, , an R,证明：f(x1，X2,L ,Xn) (x a-)(X2 a2X3)2 L(Xn 1 an iXn)2 (Xn anXi)2 正定的充要条件是1 ( 1尸眄 an 0.测试题参考答案、选择填空1. (C); 2. (C); 3. (A) (C) (D).二、解答题11 .证明 由于对任意的正实数，E A(- E A)成立，所1E A,、，1 、，以当 充分小时1充分大，利用北大高等代数教材习题知:为正定矩阵.故EA是正定的.2.证明设S是n级复对称矩阵，则存在可逆的复矩阵ErS C rErC C r0Er00(ErErC)( rC) AA 03.证明X AXa (n n Xi22 i 14.证明na。XiXji.j 1n2、nXj)j 1充分性:f(X1，X2， ,Xn) (X1i.j 1ann2Xi1y1令y2