湖南大学【精品】2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷

1、13湖南大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷20162017学年第2学期考试科目：高等数学 A考试类型：(闭卷)考试考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业题号一二三四总分得分评阅人得分、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)21 .二兀函数z=ln(y -2x+1)的止义域为。T 2 .设向量 a =(2,1,2) , b = (4, 1,10), c = b Ka,且 a _L c ,贝 U 九=3 .经过(4,0, -2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为 。4 . & u =xyz,贝Udu =。1 15.级数工(-1)n Jp,当p满足 条

2、件时级数条件收敛。n 1 n得分二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)A. y =Ce2x1 .微分方程2(xy+x)y'= 丫的通解是D . e2y =CxyB. y2 = Ce2xC. y2e2y =Cx2.求极限(x烛0)2 - ； xy 4xyA.B.C.D.-23.直线L:x=X=*和平面n :3x2y + 7z8 = 0的位置关系是 3-2 7A .直线L平行于平面nB .直线L在平面江上C.直线L垂直于平面nD .直线L与平面n斜交4 . D 是闭区域( x, y) | a2 < x2 + y2 <b2,则 jj jx2 + y2do = D,

3、：.33_ 2'：.33_ 4,：.33A. (b3 _a3) B. 一(b3 a3) C. 一(b3a3) 2335 .下列级数收敛的是1: 1 - n:1A. Z B.£-iC. Z n4 (n 1)(n 4)n4 n 1n2n -1_ 3二 33D. 一(b3-a3)2O0D.工n 113 n(n1)得分三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1 .求微分方程y'+y =ex满足初始条件x = 0, y =2的特解。2 .计算二重积分 1-x-yydxdy,其中 D =( x, y) x2 + y2 E1, x + y 之1 d x ya3 .设 z

4、=z(x, y)为方程 2sin( x+2y-3z) =x-4y+3z确定的隐函数，求+ 二 x 二 y4 .求曲线积分j(x+y)dx+(x _y)dy ,其中L沿x2 + y2 = a2(x之0, y之0),逆时针方L向。5 .计算JJ y5 Ji+x2 _ y6 dxdy ,其中D是由y = #x, x = -1及y =1所围成的区域 D线6,判断级数f (一D"，二 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n i n - 1. n得分四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1 .抛物面z=x2+y2被平面x + y+ z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与 最短

5、距离。二 (j)n n的和函数2 .求幕级数Z ( 1) n i (n 1)!3 .设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)=1, g(0)=0, L为平面上任意简 单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知xydx十yf(x)+g(x)dy=yg(x)d。,D求 f (x)和 g(x)。参考答案、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)/-21. (x,y)|y -2x+1 >02. 33. 9y-z-2=0 4. yzxyz'dx + zxyz ln xdy + yxyz ln xdz 5. 0 < p < 1二、单项选择题(本大题共5小题

6、，每小题3分，共15分)1. C 2. C 3. C 4. B 5. A三、计算题(本大题共7小题，每小题7分，共49分)1 .求微分方程y' + y =ex满足初始条件x = 0, y =2的特解。解：先求y'+y = 0的通解，得y=C1e 2分采用常数变易法，设y=h(x)e/，得y'= h'(x)e=-h(x)e 43分代入原方程得 h'(x)e。h(x)e+h(x)e'=ex 4分1 o得 h(x) =-e2x +C 5分2故通解为yex +Ce» 6分2将初始条件x=0, y=2带入得C=3,故特解为y=1ex+-e 222

7、2 .计算二重积分 ff-xyydxdy ,其中 D =( x, y): x2 + y2 E1, x + y 至 1 d x y解：& x =r cos6, y = rsin9 1 分1 八贝(j0 <6 < , <r <1 3分2 sin - cos -所以口之 dxdy=12d" 1rCOSe：rSin6rdr 5分D x ysin : cos 71rH=(sin9 +cos -1)d9 6分4 一二 23 .设 z =z(x, y)为方程 2sin( x+2y-3z) = x-4y+3z确定的隐函数，求+ < t:x ；:y解：设 F(x,

8、 y,z) =x-4y+3z-2sin(x+2y-3z) 1分Fx = 1 -2cos( x 2y -3z), Fy = -4 一4cos(x 2y -3z), Fz = 3 6cos(x 2y -3z)4分Jz _ _ Fx _ 2cos(x 2y -3z) -1x - " Fz -31 2cos(x 2y-3z):zFy4cos(x 2y - 3z) 4:y - "Fz -31 2cos(x 2y-3z)所以 上之二1x ：:y 4.求曲线积分J(x+y)dx+(xy)dy,其中L沿x2 + y2 = a2(x之0, y之0),逆时针L方向。JC解：圆的参数方程为：x

9、= acost, y =asint (0 <t <) 1分2J(x + y)dx +(x - y)dy =12 (acost +asint)dacost + 1: (acost -asint)dasint3 分L=a2 12 (cos2t-sin 2t)dt 4分2二a -= £sin 2t +cos2t(26分=-a 7 分(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)5.计算Hy5,1 +x2 -y6dxdy ,其中D是由y =3/x , x = -1及y =1所围成的区域 D角单：D =( x, y) | 次 M y <1,1 <x<1 1分口 y5

10、,1 +x2 -y6dxdy = (dx /y5 Ji +x2 - y6dy 2分D36 3 ；(1 X -x -y6)2!xdx1 i 3八二一 j (| x| -1)dx 5分92 i 3=- J (x -1)dx 6分9 0=-7分66 .判断级数£ ("1)nn .J的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。n4 n 1、n解:(-1)nn 1n 1 n_ n，工n 1 , n所以级数发散。4分又(T)nnn 11n(-1) (17n(-1)n显然,(-Dn.nQO，Znd(-1)n(n 1), n都收敛，所以原级数收敛。因此是条件收敛。7分17 .将函数1展开成x的

11、幕级数，并求其成立的区间。(1-x)(2 -x)解： =-一 一- 2分(|x| < 2)(1 -x)(2 -x)1 -x2 -x所以1=1 +x + x2 + |-1 +- + (-)2 +用 5分(1 x)(2 -x)222=£ (l-二r)xn 6 分n2成立范围|x |<1 7分 四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1.抛物面2=*2+丫2被平面*+丫+2=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最 短距离。解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x, y, z) , P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2+y2 +z2, 1分 构造拉

12、格朗日函数F =x2 +y 2+z2 + ,x2 + y2 -z) + N(x + y+z-1) 2分'Fx =2x+2x 九+ N =0Fy =2y +2y 九+ N =0,Fz=2z-九十N=0 4分Fa =x2 +y2 z =0 /ljJFj=x y z-1=01 八得两个驻点为 P| = ( - ,- , 2 - 3), P2 = (- - - , - - - ,2 3)斛行 x = (-1 土 s/3) 5分222222226分所以最短距离为 59-5内,最短距离为 79+5737分二(-1)nn .一 一2 .求幕级数工(1的和函数nm (n 1)!.二 xn.二(1)nx

13、n解：因为ex =£ L ,所以e- =£ ( 1) x , 1分nz0 n!n=0n!0aS(x)='n =0n n(T) nx(n 1)!aOn =0(-1)n(n 1 -1)xn(n 1)!00=zn旦co z n 0oO z n 0n n(-1) xn!00-zn z0n n(-1) x(n 1)!n nn n -1(-1) x 1 J (-1) x =z(n 1)! x n 卫(1 二= -Zx n 4(n 1)!n n(-1) x1 J (1)n 1xn 1 x n(n 1)!所以S(x) = e-x1 1 :-Z x x ngn!(-1)nxn1(-1

14、)n-|Zx 11nz0n!JI(x* 0 )n! x(1-e")(x = 0)故 S(x) =ex 1(1-e ) (x#0)6 分 x当x=0时,S(x)=0。另解:当x#0时,oO z n 1n n(-1) nx(n 1)!n n 1(-1) nx(n 1)!1 I (-1)nxJ ( 1)xnxnm _(n-1)! 0Lx=1 尸) x dx = x 0 nw _(n-1)!1(-1) x0n/ (n-1)! Jjn n1 x x. (-1) x一x.；. dxx 0 nz0 n!1 X *x - xe dx x 01 x xdex 0当x=0时,S(x)=0。3.设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)=1, g(0)=0, L为平面上任意简单 光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知qxydx+yf(x)+g(x)dy= JJyg(x)d。，D求 f (x)和 g(x) O解：由格林公式得口yf'(x)+g'(x)-xdxdy= 口yg(x)dxdy 2 分DD即Jyf'