Laplase变换与其应用

1、Laplase变换与其应用ourierLaplace变换的特点：变换的特点： 1、变换简单且容易计算；变换简单且容易计算； 2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义；可应用复频率的概念具有更普遍的意义；3、可处理的信号范围更广；可处理的信号范围更广； 4 4、在微分方程的求解中变微分运算为代数、在微分方程的求解中变微分运算为代数运算；运算； 5 5、自动引入初始条件，直接求出全解。、自动引入初始条件，直接求出全解。4-1 Laplace变换 一、一、 从从ourier变换到变换到aplace变换：变换： ourier变换对：变换对： deF21tfdtetfFtjtj 对某些增长信号引入收敛因子

2、对某些增长信号引入收敛因子为正实数 te dtetfsFjsdte etf Fsttjt1令则有：则有： jjsttj1tdsesFj21tfjj:s:jdsdjsdeF21etf 1、双边、双边aplase变换变换(double-sided Laplase transform)Laplase变换对：变换对： jjststdsesFj21tfdte ) t (f) s (F象函数原函数 2、单边、单边aplase变换变换(single-sided Laplase transform) jjst0stdsesFj21tfdte ) t (f) s (F注意：不特别强调讨论的都是单边拉氏变注意：不

3、特别强调讨论的都是单边拉氏变换。换。单边拉氏变换下限为单边拉氏变换下限为。这样考虑到。这样考虑到时刻可能发生冲激。时刻可能发生冲激。 二、二、aplase变换的收敛域：（变换的收敛域：（the region of convergence for Laplase transform） 1、单边拉氏变换的收敛域：单边拉氏变换的收敛域：记作：记作： f(t)=F(s) F(s)=f(t)-1) s (F) t (f)(0e ) t (flim0tt：收敛坐标：收敛坐标满足上式的函数称为指数阶函数。满足上式的函数称为指数阶函数。 2、双边拉氏变换的收敛域：双边拉氏变换的收敛域：)(0e ) t (fl

4、im)(0e ) t (flim2tt1tt特别注意：双边拉氏变换要和收敛域一起，特别注意：双边拉氏变换要和收敛域一起，才能和原函数一一对应。才能和原函数一一对应。例： 收敛域的特点：收敛域的特点： 1）收敛域为条状，平行于收敛域为条状，平行于轴；轴； 2）收敛域不包含拉氏变换有理式的极点；收敛域不包含拉氏变换有理式的极点； 3） f(t)为右边函数收敛域在为右边函数收敛域在的右边；的右边； 4） f(t)为左边函数收敛域在为左边函数收敛域在的左边；的左边； 5）f(t)为双边信号收敛域为条状。为双边信号收敛域为条状。三、常用信号的拉氏变换三、常用信号的拉氏变换 1、 (t) 2、 U(t)

5、3、 e-at 4、cos( ot ) 5、sin( ot ) 6、 te-ats1202ssas 12020s2)(1as15-3 拉氏变换基本性质拉氏变换基本性质)()(11sFtf1、线性性质：若、线性性质：若)()(22sFtf )()()()(22112211sFCsFCtfCtfC 其中：其中：C C1 1,C,C2 2为任意常数为任意常数则则例：例：)cos()(0ttftjtjee0021001121)(jsjssF e-atas 1202ss f(t)=sin( ot )tjtjeej0021001121)(jsjsjsF2020s dtetfsFts0)()(asFa a1

6、 1f f( (a at t) ) 2、尺度变换性：、尺度变换性：若若f(t) F(s)，则，则 3、时移性：、时移性：若若f(t)U(t) F(s)，则，则0)()stesF0 00 0t t) )U U( (t tt tf f( (t tsabeasF)(a a1 1b b) )- -f f( (a at t) 2()(tUetft例例1:) 2()2(2tUeetsesesF221)( 例例2:求图示信号的拉氏变换。求图示信号的拉氏变换。21s021stessts1102)()(ttUtf)()()(001ttUtttf)()()(02tUtttf例例3: 求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。

7、求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。 )(0)0 ()(1TttEtf ) )e e( (1 1s sE E( (s s) )F Fs s1 1【解解】设设 )2()()()(111TtfTtftftf sTsTesFesFsFsF2111)()()()(sTesFsF11)()(1sTseeSEsF11)()()(tUtUE)1)(21 sTsTeesF)sF(sf(t)ets00 4、频移性：、频移性：若若f(t) F(s)，则，则解：解： )cos(0t 2020cos sstet202ss的的拉拉氏氏变变换换。求求例例)cos(0tet 证明：证明：dtef(t)estts00dtf(t)e

8、tss0)(0)sF(s020200)sin(st同同样样对对于于),sin(0tet20200)()sin(stet sin( ot )若若f(t) F(s)，则，则。求求)(,sin)()111sFtttf。求求）)(,sin)(2202sFdxxxtft例：例：6、时域积分性：、时域积分性：解：解：2020s11sin2st7、频域微分性：、频域微分性：若若f(t) F(s)，则，则dsdF(s)tft)()(nnndsF(s)dtft)()( 8、频域积分性：、频域积分性：若若f(t) F(s)，则，则sdxxFtft)()(1ttsindxxs112sarctg1sarctgssF1

9、1)(2sF(s)dft0)(5、时域微分性：、时域微分性：若若f(t) F(s)，则，则)f(sF(s)(t)f0)(fsF(s)s(t)fmnmmnnn0)(101)( 9、时域卷积定理：、时域卷积定理：若若 )()(11sFtf)()(22sFtf )()()(*)(2121sFsFtftf 则则10、频域卷积定理：、频域卷积定理：)()(11sFtf )()(22sFtf 则则)(*)(21)()(2121sFsFjtftf若若初值初值: f(t)|t=0+=f(0+)若若f(t) 有初值，且有初值，且f(t) F(s)，则，则)(lim)0(00BAsFsfs)(lim)0(ssFf

10、s)0()(lim)0(fssFsfs)0()(lim)0()(101)(mnmmnnsnfssFssf 12、终值定理：、终值定理：终值终值: f(t)|t= =f( )若若f(t) 有终值，且有终值，且f(t) F(s)，则，则)(lim)(0ssFfs11、初值定理：、初值定理：注意：终值存在的条件：注意：终值存在的条件：F(s)在在s右半平面和右半平面和j 轴上无极点。轴上无极点。当当f(t)含有冲激含有冲激Ao (t)、Bo (t) 等时，有等时，有jS平面极点分布与时域波形对照图平面极点分布与时域波形对照图5-4 02100tdseF(s)jttftsjj（1 1）查表法）查表法（

11、2 2）利用常用信号拉氏变换与基本性质）利用常用信号拉氏变换与基本性质（3 3）部分分式法）部分分式法 ( (亥维赛德展开定理亥维赛德展开定理) )（4 4）留数法）留数法回线积分法回线积分法（5 5）数值计算方法）数值计算方法计算机计算机方法：方法：例例1:？，求求已已知知)()1()(2tfsesFs)()1()(0ntUtfnn例例2:)2()2() 1() 1(2)()(tUttUtttUtf？，求求已已知知)()1 (1)(tfessFs利用拉氏变换性质和常用信号变换，有利用拉氏变换性质和常用信号变换，有解：解：2)1()(sesFs)21 (122ssees解：解：)1 (1)(s

12、essF)1 (1432sssseeees)4() 3()2() 1()()(tUtUtUtUtUtf例例3:？，求求已已知知)(6116332)(232tfssssssF解：解： )3)(2)(1(3322 ssssssF 321321 sksksksF362511)( ssssF)(65)(32tUeeetfttt利用因式分解，有利用因式分解，有部分分式展开部分分式展开待定系数待定系数)() 1(lim11sFsks)3)(2)(1()332)(1(lim21sssssss1)()2(lim22sFsks)3)(2)(1()332)(2(lim22sssssss5)()3(lim33sFs

13、ks)3)(2)(1()332)(3(lim23sssssss6例例4：ssesFssse2122)(52 4) 1(14) 1(122sss)(2sin212cos)()(111tUtetesFLtftt)(2sin2cos221tUttet sesFLtf211)()( )2()2(2sin)2(2cos221)2(tUttet？，求求已已知知)(52)(22tfsssesFs4) 1()(21sssF练习练习: 已知信号的拉氏变换，求对应的信号已知信号的拉氏变换，求对应的信号f(t).sssssF234)(. 12312354)(. 2222sssssF222)(. 323ssssF21

14、)3(1)(.1sssFsssssF234)(. 22320)32()(22teetftt0)91391()(331teettftt2354)(.3223sssssF)()2()()(23tUeettftt0)4cos(2)(4ttetft222)(. 424ssssF)22)(1)(1(42)(.522235sssssssssF0)4cos(2)2cos(2)(5ttetetftt一、电路元件的复频域模型一、电路元件的复频域模型1、电阻元件、电阻元件u(t)=Ri(t)u(t)=Ri(t)U(s)=RI(s)U(s)=RI(s)2、电感元件、电感元件dttdiLtu)()(0)()i(sI(

15、s)LsUs)i(LssUI(s)0)(S域欧姆定理域欧姆定理Ls：运算感抗：运算感抗算算子子感感纳纳:1Ls附附加加内内电电源源、:00s)i()Li(3、电容元件、电容元件dttduCti)()(0)()u(sU(s)CsIs)u(CssIU(s)0)(5、模拟单元、模拟单元2）比例器）比例器y(t)=Af (t)dttdfty)()(tdf)(F1(s)F2(s)Y(s)Y(s)Y(s)Y(s)F(s)F(s)F(s)1）加法器）加法器y(t)=f1(t)+f2(t)0 (f3）微分器）微分器4）积分器）积分器二、二、s s域电路基本定律域电路基本定律1、基尔霍夫定律、基尔霍夫定律 KV

16、L定律：定律： 0)(1tukmk0)(1tiknk KCL定律：定律： 0)(1sUkmk0)(1sIknk2、欧姆定律、欧姆定律1)()(sCsLRsIsU)()()(sZsIsUsCsLRsZ1)(其中：其中：（运算阻抗）（运算阻抗）)(1)(sZsY（运算导纳）（运算导纳）三、电路三、电路s s域分析域分析基本步骤：基本步骤：1） 画画t=0-等效电路，求初始状态；等效电路，求初始状态；2） 画画s s域等效模型；域等效模型；3） 列列s s域电路方程（代数方程）；域电路方程（代数方程）；4） 解解s s域方程，求出域方程，求出s s域响应；域响应；5） 反变换求反变换求t域响应。域响

17、应。应用举例：应用举例：例例 1 ：图示电路，开关动作前已进入稳态，试：图示电路，开关动作前已进入稳态，试求开关打开后电感支路电流。求开关打开后电感支路电流。AiL5 . 0)0( ，VuC2)0( ssLisusILCL 5222)0()0()() 5)(1(5 . 02sss解：解：t0，开关打开，根据，开关打开，根据s域电路，有域电路，有)5(8/1) 1(8/3)(sssIL0)8183()(5tAeetittL 图示电路，图示电路，t0时时电路响应电路响应i1(t)和和 i2(t)。 练习：练习：解：解：t0 i=0,1,n 则则 D(s)称为霍尔维茨多项式称为霍尔维茨多项式 系统稳

18、定必要条件：系统稳定必要条件： H(s)H(s)中的中的D(s)D(s)应为霍尔维茨多项式。应为霍尔维茨多项式。 （一、二阶系统充要条件）（一、二阶系统充要条件）35342)(23sssssH稳定条件：稳定条件：A 0 、 B0BAss21As13、罗斯（、罗斯（Routh）判断法：）判断法：（1）D(s)应为霍尔维茨多项式应为霍尔维茨多项式（2）排列罗斯阵列）排列罗斯阵列（3）由罗斯准则判断）由罗斯准则判断D(s)=0根的分布根的分布（4）判断系统的稳定性。）判断系统的稳定性。35342)(23sssssH011n1nnnasasasa) s (D3212n5n3n1n1n4n2nnnbbb:saaa:saaa:s;aaaaab;aaaaab1n5nn4n1n21n3nn2n1n1罗斯阵列;bababc;bababc11n35n1211n23n113213n3212n5n3n1n1n4n2nnnccc:sbbb:saaa:saaa:s03213n3212n5n3n1n1n4n2nnnsccc:sbbb:saaa:saaa:s1232)(234sssssD 罗斯阵列中首列元素同号时，故罗斯阵列中首列元素同号时，故D(s)=0的根全位于的根全位于s左半平面。左半平面。罗斯准则