清华大学2019年自主招生数学试题(2019.06)

1、清华大学自主招生数学试J2019.061 . 一个四而体棱长分别为6, 6, 6, 6, 6, 9,求外接球的半径.2 .求值：11 (1-sin2 x)x2dx.3 .已知P为单位圆上一动点,A(0,2), 5(0-1),求I已尸的最大值.4 .他为圆。的直径，CO_LAB，M为AC中点，CH_LM8,则下列选项正确的是()A. AM=2OH B. AH = 2OH C. BOH BMA D.忘记5 . 5 = 1,2,3,15, 8 = 1,2,3,4,5, / 是A到5的映射，若满足/(x) = /(y),则称有 序对(x,y)为“好对”，求“好对”的个数最小值.6 .若对TceR, ,

2、使得= c)成立,则称函数/3)满足性质7,下列 a-b函数不满足性质了的是()A. /(x) = x3-3x2+3x B. /(x) = -J C. f(x) = ex D. f(x) = sin(2x + l) 尸+17 .已知 1。1=11=1, a b = - , (c-fl)(c-/?) = 0,若l7 cl=l,求I川的最大值. 2228.椭圆工+:=1,过产(2,0)的直线交椭圆于4、8两点，点。在直线x = 3上，若62 MC为正三角形，求ABC的面枳.9 .圆/+产=4上一点(见0)处的切线交抛物线产=8%于4、8两点，且满足ZAOB = 90°,其中。为坐标原点，

3、求工.10 .设。为44M*4各位数字和，是。的各位数字之和，c为匕的各位数字之和，求c的值.11 .实数x、y满足/+()，2尸41,求；遭'' 的最大值和最小值.+ >,212 .在三棱柱 A3C 44G 中，已知 NA8C = 90。，AB = 6, BC = BB、=3a ,动点尸在 线段用。上，求4尸+ 3P最小值.13 .若集合A、8是正整数的一个二划分，则()A.集合A中不存在三项等差，集合8中不存在无穷项等差B.集合A中不存在三项等比，集合8中不存在无穷项等比C.忘了D.忘了14 .数列4满足：% =3, %7=片-34+4,则()A. 6单调递增 B.

4、6无上界 C.忘了 D. limY1= 1 f仁4T15 .若正实数a、匕满足。伏。+ 8) = 20,则。+ 3的最小值为16 .设/(x)=lx-11 + lx-31, g(A)= 2ex,求/(x) + g(x)最小值.11317 .设乂yeN,则方程+ = 一的解的个数为 x y 100?一2 7k -718 .令 q=cos j4 + isin 二二汽(i = 1,2,3,4,5 ),若=口(马一勺)，则()55i*jA. 4避32 = 125 B. aa2a3aAa5 = 5s C. a2a =125 D. q=519.若实数、y满足/+8./+6Q1 = 0 ,求x'y的

5、范围.参考答案I?1 .设/W = AC = 4) = 8C = 8£> = 6, 8 = 9,易知 BCD的外接圆。半径为八=万,12同理可得 ACD的外接圆O2的半径为G =方， 设外接圆的圆心为0,易知OO?=g, 则外接球半径R =而+阻 =H ,.外接球半径为3串.2 . j * (1 - sin2 x)x'dx =j' j+ j r': cos , 由分部积分法可知:sin 2xdx2) = ； (/ sin 2x - j 2xsin 2xdx)卜2 cos 2xdx = " x2d sin 2x =sin 2x - j=(x2 s

6、in 2x + J M cos 2x) =(x2 sin 2x + xcos 2x-j cos 2Ady) 22=；(a2 sin 2x + xcos2x-，(1 - sin v)x2v = 1(-!- + - (sin 2 + 2cos 2) = - -(sin 2 + 2cos 2)."2 3 3 23 43 .设尸(cosc,sine),在S =1 APIx| Jcos?a + Rina-ZFlcQsa + a-sina)c c /+ sinc、0/5 .、整理得：S = 8 /(厂(一一sine),V 241+-由三元均值不等式可知：S<8xU(A)3 =3x/3.当且

7、仅当sina ='时，等号成立，则IAPIxQpF的最大值为36. 24 ,设圆。的半径为2,易知8河=府，BH =与,AM =CM =&, BC = 20 Vio16 + 10 ? 4 "I- - OH"在08”与中，由余弦定理可知：cos48M= 一二-=一吗8710 卫Vio2解得：OH=-=, AM2OH,选项A错误,在AC中，由中线定理可知：AH?+2 =点+ 4,解得：AH =。 1U 1Uyjj则A" = 2O".选项B正确,j?。 RH CH 9而= =y ：XBOHs4BMA,选项C正确，综上：选B, C.BM BA M

8、A 晒35 .情形一：当只对应8中1个元素时，此时“好对”有15x15 = 225对，情形二：当只对应8中2个元素时，设有q组/(x) = ,f(y),乙组/'(x) = /(y)，则此时 “好对”有。：十月对，且4+7=15,则由柯西不等式可知：/+月2(/”=生, 22情形三:当只对应8中3个元素时，设有二组f(x) = /(y),仇组x) = /(y),。2组f(x) = /( y),则此时“好对”有6+C；对，且+&+心=15，则由柯西不等式可知：W+疗+72"，+ "：31=75,依次可得：易知当对应8中5个元素时，此时“好对”的最小值为45,当且

9、仅当A中每3 个元素对应8中一个元素时，等号成立，则“好对”的个数的最小值为45.6 . VVceR,全力，使得J ) “")= c),则“外的值域是广(x)值域的子集， a-bA 选项：/z(x) = 3x2-6.r + 30,+oo), /(x) e R ,满足题意，?r1B 选项：/(注)=5y,令 x = tana,则 g(a) = -sin 2a(1 + cosZz),(a +1)2当sin2a, cos%>0时，则由四元均值不等式可知：sin2 2a(1 + cos2 2a) = 27x(1+cos26Z)i -Cos2a) <27x(-)4, 34当且仅当c

10、os2a = g时，等号成立，./。)曰手，手,/(x)£(0刀，满足题意,C选项：f(x) = ex+, /(x)eR, ff(x)eR,不满足题意，D 选项：/'(x) = 2cos(2x + l),r(x)e2,2,不满足题意,综上：选A, B.7 .建立平而直角坐标系，且。= (1,0), /； = (1,半)，易知点2的终点的轨迹方程为 (x-)2+(y-)2=l,又.,.此时面需=曰 + ； + 1 =苧.x = my + 28 .设直线/:x = /y + 2, A(再,M)，4(x”力), AB 中点、为 E ,联立，r+3)广=6整理可得：(/+3)/+4厅

11、一2 = 0,则A5=26(/+ D,厂+3 io I1r 1O 6 , 3(W +l)jw +1 ,.AB 2nu EA = Jl t-x 13-Xr-1= Jl hx 13 1=；, ifu =V nr E V m2机2+3"+3)|7| EA 小解得：,2=i, .s正xA82=dlx6 = 上£,则ABC的面积为生.A 44229 . NAO3 = 90。，直线45恒过定点(&0),而切线方程为岫：x“+ »。=4 , 则8凡=4,解得：=；.10 . V10004<44444+h<100004444,则3x4444< 1g444

12、4的 < 4 x 4444 , 则。<9x(4444 x 4 + 1)x9 = 159993,情形一：当。的位数为6,则6<1+4+9x4 = 41,情形二：当。的位数小于6,则。<5x9 = 45,由情形一和情形二可知：b<45,情形三：当。的位数为2位时，则c<3+9 = 12，情形四：当。的位数1位数时，则cS9,由情形三和情形四可知：c<2,又4444 三7(mod9), 73 = l(mod9),贝IJ4444”14 三74144 三产 x7 三7(mod9), 而 4444"" =a = b = c = 7(mod 9), /. c = 7 .11 .情形一：当x = 0时，此时尸= -= = 6, Jx2 + V