中考数学压轴题专项汇编专题等腰三角形的存在性

1、专题21等腰三角形的存在性破解策略以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示:等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以 A, B为圆心、AB长为半径的圆上(不与线段 AB共线).图27 / 9解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论.通常这类问题的解题策略有：(1)几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算.如图2,若AB= AC过点A作ADL BC,垂足为D,则BD= CD / BAD= /CAD从而利 用锐一角三角函数、相似三角形等知识解决问题.(2)代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验.有时候将几何法和代数法相结

2、合，可以使得解题又快又好.例题讲解一D例1 如图，正方形 ABCD勺边长是16,点E在AB边上，AE= 3, F是BC边上不与B, C重 合的一个动点，把 EBF沿EF折叠，点B落在B'处.若 CDB恰为等腰三角形，则 DBC解16或4而如图1,当CB = CD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去；如图2,当DB = CD时，DB = 16;如图3,当DB = B C时，过点B作GH/ AD交AB于点G,交CD于点H 显然G H分别为AB CD的中点.由题意可得 B' E= 13, DH= BG= 8,所以EG= 5,从而 B' G= BB' E2- EG2 =

3、12, B' H= 4,所以 DB = JBH2DH 2 =4 V5 .DB =16 （易知点F在BC上且不与点 C B重合）.图2如图3所示：当 B D= B' C时，过B'点作GH/ AD则/ B G290°图3，一 一一一 一一 1 一当 B' C= B D时，AG= DH= DC= 8.2由 AE= 3, A* 16,得 BE= 13.由翻折的性质，得 B E= B& 13.EG= AG- AE= 83=5,B，G=，B'E2 EG2 12 ,.B' H= GH- B' G= 1612 = 4,，DB =、. B

4、'H2 DH2 4,5例2 如图，在 ABC43, / AC290° , AC= 4cm, BC= 3cm.如果点 P由点B出发沿BA方 向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连0接PQ设运动时间为t (s) (0<t<4),解：如图，过点P作P也AC于H, . / C= 90 , AC BCPH/ BC APHT ABCPH AP=,BC ABAC= 4cm BC= 3cm,一 9QH= 4 9t ,59 23 2哈w 95t)在 APC,当AQ= AP即t =5-t时，解得：ti =当PQ= AQ即聘t2 3

5、* 18t25 =t 时，解得：t2=N5, t3=5；13当PQ= AP即18t2. 518t 25=5-t 时，解得：t4=0,40一；13 . AB= 5cm- 0<t <4,1. t 3= 5, t 4= 0不合题意，舍去,当t为5s或PH | 15 t =5s或40s时， AP德等腰三角形.21313例3如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC勺边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的5正半轴上，OA= 1, OC= 2,点D在边OC±且OD= 5.4(1)求直线AC的解析式；(2)在y轴上是否存在点 P,直线PD与矩形对角线 AC交于点M使得 DMC；等腰三

6、角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设直线 AC的解析式y = kx+b,又 OA 1, OG= 2,.M的横坐标为13则点M的坐标为(138直线DM军析式为:.P (0,58)；83)1615y = x -28- A (0, 1), C (2, 0)代入函数解析式求得:1直线AC的函数解析式：y= x 12(2)若DE底边,3若D曲底，则CD= CM= 3 ,4，AM= AN=、5 34N ( 55 3,1),可求得直线DM勺解析式为y= ( J5 + 2)(V5+2 ),.P (0, - 点M的坐标为( 5 ( V5+2 )3若C曲底，则CD=

7、DM=4直线DM勺解析式为y = -x+综上所述，符合条件的点 P的坐标为(0, 5),(0, 5 (J5+2 ), (0,刍)843例4已知抛物线y= x2+mx n的对称轴为x= 2,且与x轴只有一个交点.(1)求m n的值；(2)把抛物线沿x轴翻折，再向右平移 2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线 C, 求新抛物线C的解析式；(3)已知P是y轴上的一个动点，定点 B的坐标为(0, 1),问：在抛物线 C上是否存在点 D,使 BPM等边三角形？若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1) ;抛物线的对称轴为 x= 2,. mR 4.抛物线与x轴只有一个交点，2，m4n

8、=0. 从而 n=4.(2)原抛物线的表达式为 y = x 4x 4 = ( x+ 2).所以抛物线C的表达式为y= x2-1.(3)假设点D存在，设点D的坐标为(d, d21).如图，作DHL y轴于点H, 则 DH= d2, BH= (d22)若aBPD等边三角形，则有也= 73,即d2= 3 (d22)BH3所以满足条件的点 D存在，分别为D (#, 2),。(春，2), 6(量，-), 33D (-际 1). 33例5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 1x23x8与x轴交于A, B两点，与2y轴交于点C,直线l经过原点Q与抛物线的一个交点为 D,与抛物线的对称轴交于点 E(3, 4

9、),连结CE若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0, rm,直线PB与直线l交于点Q.试探究：当 m为何值时， OPO等腰三角形.2(x8) Qx+2),2可得点A, B, C的坐标分别为（一2, 0）, （8, 0） （0, 8）.所以 CE= (3 0)2 (4 8)2 =5=OE所以 OEO顶角为钝角的等月三角形，即/ OEO 90。， OPQft等腰三角形有三种可能：当P0= PQ时，即/ OPQ；顶角，显然/ P0年/ COE所以/ OPQ= / OEC> 90 ,由题意可知这种可能性不存在；当 0P= 0Q寸，则/ OPR / OQP如图1,过点E作PQ的平行线，分别交

10、 x轴-，y轴于点F, G,则/ OG£ / OP® / OQPZ OEG所以O隆OE= 5,即点G的坐标为（0, 5）,所以直线GE的表达式为y= -x-5,3所以点F的坐标为（5, 0）.而OP.，OG OF所以二m 8，即 m 8 ;5153当 QO= QP寸，则/ QPO= / QOP / OCE 所以 CE/ PQ 如图2,设直线CE与x轴交于点H.由C, E两点的坐标可得直线 CE的表达式为，y=4x 8.3所以点H的坐标为（6, 0）.OC OHOP OB所以 _8_ g ,即 m - 32 .一m 83综上可得，当m的值为一8或一32时，OPQ1等腰三角形.

11、33进阶训练1 .如图，在 Rt ABC, / ACB= 90° , AC= 6, BC= 8,点D以每秒1个单位长度的速度 由点A向点B匀速运动，到达 B点即停止运动，M N分别是AD CD勺中点，连结 MN设点 D运动的时间为t ,若 DMN1等腰三角形，求t的值.【答案】t=5, 6或契时， DMN1等腰三角形. 522 .设二次函数y = x2 + 2ax+ （a<0）的图象顶点为 A,与x轴的交点为B, C.2（1）当 AB8等边三角形时，求 a的值，（2）当 ABS等腰直角三角形时，求 a的值.【答案】（1） a=- ,6; （2） a=- &3 .如图，在

12、平面直角坐标系中，点A的坐标为（一2, 0）,点B的坐标为（0, 2）, E为线段AB上的一个动点（不与点 A, B重合），以E为顶点作/ OFF 45。，射线ET交线段OB于点F, C为y轴正半轴上一点，且 OC= A3.抛物线y=J2x2+mx+ n经过A, C两点.(1)求此抛物线的函数表达式；(2)求证：/ BE已 Z AOE(3)当 EO耽等腰三 涌形时，求此时点 E的坐标.【答案】(1) y= %.2x2 "X+ 2J2; (2)略；(3)点 E 的坐标为(一1, 1),(一寸2 ,2-g).【提示】(2)由/ BA® / FEQ= Z ABO= 45。即可证；

13、(3)分类讨论：当 OE= OFM,点E与点A重合，不符合题意；点E0= EF时(如图1),易证 AF8ABFE从而 BE= AC= 2,再过点 E作EHL y轴，即可求得点 E ( 72 , 2- 72);当FE= FD时(如图2),此时 BFE和 OFE匀为等腰直角三角形，求得点 E ( 1,1).【答案】 APDI归为等腰三角形，点 P的坐标为(2, 3),(或(2, -62-7).【提示】由点 A, B的坐标可得抛物线的表达式为y=ax2-6x-C (0, 5).所以直线 AC y=- x-5.可设点 P (m m2 - 6m- 5),则 D (m m- 5). APM等腰三角形后二种

14、情况，由/ADP= 45°或135。8 / 91, 0), (- & , 6s/2-7),y1-5.从而得到PA_4.如图，抛物线 y=ax26x+c与x轴交于点A (5, 0), B(1, 0),与y轴交于点C, P是抛物线上的一个动点，连结PA过点P作y轴的平行线交直线 AC于点D,请问： APD能否为等腰三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由.解决问题.当 A鼻AD时，/ FAD= 90 ,得 P ( 2, 3);当 A鼻 PD时，/ APD= 90 ,得 P (1, 0);当AD= PD时，可列方程 m2 5m J21m 5 ,从而 m= 、：2 ,得 P ( <2 , 6y2 7),或(<2 , 6.；12 7).25 .如图，抛物线y=ax + 2x 3与x轴交于A, B两点，且点B的坐标为(1, 0).直线y= 2x4分别与x轴，y轴交于C, F两点.Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过39点Q作y轴的平行线，交直线 CF干点D.点E在线段CD的延长线上，连结 QE问：以QD为腰的等腰 QDE勺面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.9 / 9【答案】存在，以 QD腰的等腰 QDE勺面积.最大值为上13【提示】有题意可得抛物线的解析式为y = x2+2x3,点C ( - , 0),