椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

1、. WORD 格式.资料 . 专业.整理 椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例例 1 1：双曲线：双曲线的两个焦点为的两个焦点为，若，若为其上一点，且为其上一点，且，则双曲线离心，则双曲线离心2222yx1 a0,b0ab12F ,FP12PF2 PF率的取值范围为（率的取值范围为（ ）A.(1,3)A.(1,3)B.B.C.(3,+C.(3,+) )D.D.1,33,【解析】，（当且仅当三点共线等号成立）12PF2 PF12PFPF

2、2a121 2PFPFFF12PFF，,选 Bc6a2ce3,e1a又e1,3 例例 2 2、如果椭圆、如果椭圆上存在一点上存在一点 P P，使得点，使得点 P P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭2222yx1 ab0ab圆的离心率的取值范围为圆的离心率的取值范围为（ ）A AB BC CD D(0,21 21,1)(0, 31 31,1)解析解析设，由题意及椭圆第二定义可知2PFm1PFme122aPFPFm(e1)2ame1（当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得2112PFPFFF12PFF，mme2c2ame1又, ,选 B

3、2a1e2ce12e2e10e21 e1e21,1 二、二、利用三角函数有界性利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系结合余弦定理建立不等关系例例 1 1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离22221(0,0)xyabab12,F FP122PFPF心率的取值范围是（ ） (1,3)(1,3(3,)3,)【解析】设，当点在右顶点处，2PFm12(0)FPFP222(2 )4cos254cos2mmmceam11,(1,3e 三、利用三、利用曲线的几何性质曲线的几何性质数形结合建立不等关系数形结合建立不等关系例例 1 1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率222

4、2yx1 a0,b0ab12F ,FP12PF2 PF的取值范围为（ ）A.(1,3)B.C.(3,+)D.1,33,解：,即在双曲线右支上恒存在点使得可知12PFPF2a2PF2aP2PF2a，又,选 B222AFPF ,OFOAca2acc3ae3a e1e1,3 例例 2 2已知双曲线的左、右焦点分别是 F1、F2，P 是双曲线右支上一点，P 到右准线的距离22221(0,0)xyabab为 d，若 d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。解：由题意得因为，所以，从而 ，. WORD 格式.资料 . 专业.整理 。又因为 P 在右支上，所以。 。 例例 3

5、3椭圆22221()xyabab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） （A）20,2 （B）10,2 （C） 2 1,1 （D）1,12解析解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，而|FA|F w |PF|ac,ac 于是ac,ac即 acc2b2acc222abccc2bc222222accacacacc m 又 e(0,1)故 e 答案：D1112caccaa 或1,12例例 4 4、已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使22221(

6、0,0)xyabab12(,0),( ,0)FcF cP，则该双曲线的离心率的取值范围是 1221sinsinPFFaPF Fc【解析】（由正弦定理得） ，212211sinsinPFPFFPF FPF211PFaPFce21e PFPF又，由双曲线性质知，122 (1)PFPFa e2(1)2ePFa221aPFe2PFca，即，得，又，得21acae211ee2210ee 1e (1,21)e 例例 5 5、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点 P，使=900，求离心22221(0)xyabab12FF、12FPF率 e 的取值范围。解析：P 点满足F1PF2=90，点 P 在以 F1

7、F2为直径的圆上又P 是椭圆上一点，以 F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，F1、F2是椭圆的焦点以 F1F2为直径的圆的半径 r 满足：r=cb，两边平方，得 c2b2 即22221(0)xyababc2a2-c2 由此可得， ）e 221. WORD 格式.资料 . 专业.整理 四、利用圆锥曲线中四、利用圆锥曲线中的的范围建立不等关系范围建立不等关系、xy例 1、双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值22221(0,0)xyabab范围是（）(1,2 2,)(1,21 21,)【解析】 22000(1)aaexaxexacc0,xa2(1) ,aaeac而

8、双曲线的离心率，211 112101212,aeeeece 1e (1,21,e 例 2、设点 P 在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点 P 到左准线)0b, 0a ( 1byax222221FF、|PF|1的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。ld|PF|2解析：解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半|PF|d|PF|221|PF|PF|d|PF|121ed|PF|1e|PF|PF|12径公式得：，则，即，解得。eexaexaaeea ) e1 (x201e2e221e1归纳：归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上P1

9、byax2222则；若点在双曲线的右支上则。axp1byax2222ax 例 2 设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点 P，使=900，求离心率22221(0)xyabab12FF、12FPFe 的取值范围。解析 1：设 P（x，y） ，又知，则FcFc1200（， ），（ ， ） 将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得F PxcyF PxcyF PFF PF PF P F Pxc xcyxyc1212121222229000()()()()，由，知，则，即得 xa ca babF PFxaa ca baba2222222122222222229000但由椭圆范围及知即. WORD 格

10、式.资料 . 专业.整理 可得，即，且从而得，且所以， ）cbcaccaecaecae2222222221221 解析 2：由焦半径公式得 |PFaexPFaexPFPFF Facxe xacxe xcae xcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220 ，又由，所以有即，又点 （ ， ）在椭圆上，且，则知，即 022212222caeae得， ）例 3 已知椭圆=1（ab0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得APB=1200，求椭圆的离心2222xyab率e的取值范围解解：设P（x0，y0） ，由椭圆的对称性，不妨令 0 x0a,

11、0y0bA（a，0） ，B（a，0） ，=，=PAkaxy00PBkaxy00APB=1200，tanAPB=-，又 tanAPB=，=， 31PBPAPBPAkkkk2202002ayxay2202002ayxay3而点P在椭圆上，b2x02+a2y02=a2b2由、得y0=0y0b，0b)(32222baab)(32222baabab0，2ab（a2-b2） ，即 4 a2b23 c4，整理得，3e4+4e2-40考虑 0e1，可解得e1336四、利用判别式建立不等关系四、利用判别式建立不等关系例 1、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点 P，使=900，求离心率22221(0)xya

12、bab12FF、12FPFe 的取值范围。解：由椭圆定义知| |PFPFaPFPFPFPFa121222122224. WORD 格式.资料 . 专业.整理 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此F PFPFPFF FcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220|()|() 4801222222222aacecae() 因此，e )221例 2、已知双曲线与直线 ：交于 P、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。)0a ( 1yax222l1yx解析：解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个x0a1 , 0a1y2y)a

13、1 (2222不同的交点则，即且，所以00)a2(a4)a1 (4422222a21a ，即且。23a11ace222226e 2e 五、利用五、利用均值不等式均值不等式建立不等关系建立不等关系例例 1 1、已知椭圆(ab0)的两个焦点为 F1，F2，P 为椭圆上一点，F1PF2=60则椭圆离心率 e 的22221xyab取值范围 ；解：设|PF1|=m，|PF2|=n 则根据椭圆的定义，得 m+n=2a， 又F1PF2中，F1PF2=60由余弦定理，得 m2+n2-mn=4c2 联解，得mn224()3ac又mna2， a2，化简整理，得 a24c2，解之得e12()2mn224()3ac1

14、2 例例 2 2、已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，P22221(0,0)xyabab21FF、|PF|PF|221a8则双曲线离心率的取值范围 。解析：解析：，由均值定理知：当且仅当时取得a8a4|PF|a4|PF|PF|)a2|PF(|PF|PF|222222221a2|PF|2最小值，又所以，则。a8ac|PF|2aca23e1. WORD 格式.资料 . 专业.整理 例例 3 3、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点 P，使=900，则离心22221(0)xyabab12FF、12FPF率 e 的取值范围 。解析：由椭圆定义，有 平方后得212aPFPF| |422

15、28212221212221222aPFPFPFPFPFPFF Fc|(| )| 得ca2212所以有， ）e 221六、六、利用二次函数的性质利用二次函数的性质建立不等关系建立不等关系设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）1a 22221(1)xyaae ( 2,2)( 2, 5)(2,5)(2, 5)【解析】，根据二次函数值域可得222(1)11(1)1aeaa11,01aa 25e七、利用非负数性质七、利用非负数性质例例 已知过双曲线左焦点的直线 交双曲线于 P、Q 两点，且（为原)0b, 0a ( 1byax22221FlOQOP O点） ，则双曲线离心率的取值范围 。解析：解析：设，

16、过左焦点的直线 方程：，代入双曲线)y,x(Q)y,x(P2211、1Flctyx方程得：，由韦达定理得：，0btcyb2y)atb(422222222221atbtcb2yy，由 OPOQ 得，2212122121222421c)yy(ctyyt) cty)(cty(xx,atbbyy0yyxx2121即：，解得：，因为，所以，则0catbctb2atb) 1t (b222222222224222242bacabt0t20cab224，所以。253e, 01e3e, 0cca3a2244224215e练习1、设 F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足F1PF2=120，则椭圆的

17、离心率的取值范围是（A）A，1) B.（，1) C.(0，) D.(0，32323232解：设，P（x1，y1） ，F1（-c，0） ，F2（c，0） ，c0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1. WORD 格式.资料 . 专业.整理 在PF1F2中，由余弦定理得 cos120，解得 x12 x12（0，a2，2221111()()42()()aexaexcaexaex22243cae4c2-3a20且 e21 e，1)322、设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过12、FF22221(0)xyababP1PF点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）2F2(0

18、,23(0,32,1)23,1)3【解析】设若为右准线与轴的交点，可知，即，又在右准线上可知，所以离Px22accc213e P22accc心率的取值范围为3,1)33、椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为若 ，则该椭圆离心率22221xyab12,F Fx,M N122MNFF的取值范围是（ ） 1(0, 22(0,21 ,1)22,1)2【解析】因为两准线距离为，又因为，所以有，即，所以22ac122FFc224acc222ac212e4、已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有22221(0,0)xyababFF60一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

19、 (1,2(1,2)2,)(2,)【解析】如图与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线 为过且倾斜1l2l22221xyablF角为的直线，要使 与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使60ltan603ba21 ( )2bea 5、设点 P 在双曲线的右支上，双曲线两焦点，求双曲线离心)0b, 0a ( 1byax222221FF、|PF|4|PF|21率的取值范围。解析解析 1 1：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：a2|PF|PF|21|PF|4|PF|21，由三角形性质得：解得：。a32|PF| , a38|PF|21|FF|PF|PF|2121c2a32a3835e1解析解析

20、2 2： ，点 P 在双曲线右支上由图 1 可知：，即a32|PF| , a38|PF|21ac|PF|1acPF |2，两式相加得：，解得：。aca32, aca38ca 3535e1Fxyl1l2l. WORD 格式.资料 . 专业.整理 6、已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使22221(0,0)xyabab12(,0),( ,0)FcF cP，则该双曲线的离心率的取值范围是 1221sinsinPFFaPF Fc【解析】因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPF F则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF，且知点 P 在双曲线的右支

21、上，设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaex PFexa则00()()a aexc exa解得0()(1)()(1)a caa exe cae e由双曲线的几何性质知0(1)(1)a exaae e则，整理得2210,ee 解得2121(1,)ee ，又，故椭圆的离心率(1,21)e7、若点 O 和点分别是双曲线的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则( 2,0)F 2221(a0)axy的取值范围为 ( )OP FP A. B. C. D. 3-2 3,)32 3,)7-,)47 ,)4解析解析: 因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点 P(

22、2,0)F 214a 23a 2213xy，则有，解得，因为，00(,)xy220001(3)3xyx220001(3)3xyx00(2,)FPxy ，所以=，此二次函数对应的00(,)OPxy 2000(2)OP FPx xy 00(2)x x 2013x 2004213xx抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值034x 03x 03x OP FP 432 313 ，故的取值范围是，选 B。32 3OP FP 32 3,)7、已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于 A、B 两12F、F222210,0 xyabab1Fx点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ A ）2ABFABC.D1,1212,12,122,218、已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离FCBBFCDFDBF2C心率为 。. WORD 格式.资料 . 专业.整理 【解析解析】如图，,作轴于点 D1,则由，得22|BFbca1DDyFDBF2,所以,1|2|3OFBFDDBD