线性代数期末复习题

1、线性代数一.单项选择题1 .设A B均为n阶方阵，则下列结论正确的是 。(a)若A和B都是对称矩阵，则 AB也是对称矩阵(b)若 A 0 且 B 0,则 AB 0(c)若AB是奇异矩阵，则 A和B都是奇异矩阵(d)若AB是可逆矩阵，则 A和B都是可逆矩阵12 .设A、B是两个n阶可逆方阵，则 AB 等于(),、1111(a)AB(b)B A(c)B 1(A1)(d)B1 A13 . m n型线性方程组 AX=b，当r(A尸m时，则方程组.(a)可能无解(b)有唯一解 (c)有无穷多解(d)有解4 .矩阵A与对角阵相似的充要条件是 .(a)A可逆(b)A有n个特征值(c) A的特征多项式无重根

2、(d) A有n个线性无关特征向量5. A为n阶方阵，若A20 ,则以下说法正确的是 .(a) A可逆(b) A合同于单位矩阵(c) A=0(d) AX 0有无穷多解6 .设A, B, C都是n阶矩阵，且满足关系式ABC E,其中E是n阶单位矩阵,则必有()(A)ACB E(B) CBAE (0 BAC E(D) BCA Ea11a2a133a114a11a12a137.若Da21a22a232 ,则 Di3a214a21 a22a23( )a31a32a333a314 a31a32a33(A)6(B) 6(C) 24(D)24二、填空题为 n 阶矩阵，冏=3，则 | AA |=,| 2A 1

3、A |=.1 122 .设A021,则A的伴随矩阵A* ；00321 一13 .设 A=,则 A =34 . R 中的向量 1 2 3,2 2 2 ,22 ,则 , | |=.5 .设3阶矩阵A的行列式| A| 8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 6二次型 f (x1,x2,x3,x4) x2 2x2 2x2 4x1x2 4x2x3 对应的矩B$是 .7.已知三维向量空间的一组基为:1 1,1,0, 21,0,1, 3 0,1,1,则向量 2,0,0在这组基下的坐标为:8.如果二次型 f(x,x2,x3)2x2 3x2 txf 2x1x2 2x1x3是正定的，则t的取值范围是三、解

4、答题1.设AX B X ,其中A1120 ，求 X53a02.计算 b00 ca 00 db 00c0 d23.求向量组 15 , 214 ,33 ,411311639的一个极大线性无关组，并将其9x2x22x304.设线性方程组2x1X2X30,何 取何值时方程组后非零解并求通解3x1X2X30他向量用该极大线性无关组线性表出写出其基础XiX2kx345.已知方程组XiX22x34Xikx2X3k2解系.(1) k为何值时，方程组有唯一解无穷多解无解(2)在有无穷多解时，求出方程组的通解。6.已知二次型f (Xi,X2,X3) 2XiX2 2xiX3 2x2x3，利用正交变换化 f为标准形，并写出相应的正交矩阵四、证明题若 A2 2A4E 0,证明AE可逆，并求(AE) 1.答案(2)a(4)(6) d二、(1)9 ; 3n(6)三、(1)因为A(A(3)(2)由AXE)11T1时,(2) 0 01,1,1(3)(8)(4);.14(5) -2X得:(AE)X0,所以E可逆k取任意数17(A(k 1)(k4时,4)方程组有唯一解r(A b) r(A),方程组无解;E)1B为基础解系2(ad bc)(4)时有非零解4416r(Ab)r(A) 2 3,方程组有无穷多解,114(3)当k 4时，A b112141为30通解为