重积分习题六

1、重积分习题六2、 设是由曲面,z=1,y=x以及y=0所围闭区域位于x0,y0的部分。试将I=f(x,y,z)dv化成先对z次对x再对y积分的三次积分式。3、 设是一以(1，0，0)、(0，1，0)、(1，0，0)及(0，0，1)为顶点的四面体。试将I=f(x,y,z)dv化成先对z，次对y再对x积分的三次积分式。4、 是一以(1，0，0)、(0，1，0)、(1,0,0)以及(0，0，1)为顶点的四面体。试将f(x,y,z)dv化成先对x次对z再对y积分的三次积分式。5、 设是由|x+y|1,|xy|1及0z1所确定的区域。试将I=f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。6

2、、 是由曲面x2+y2=1,z=0及z=1所围的有界闭区域。试将I=f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。7、 设是由曲面y=x2,y=1,z=y,z=y所围的有界闭区域。试将I=f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。8、 设是由所确定的有界闭区域。试将I=f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。9、 设是由x+ya, x2+y2a2 及0zay(a>0)所确定的有界闭区域。试将I=f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。10、 试将化成先对z再对x最后对y积分的三次积分式(a,h>0).11、 设

3、是由x2+y2+z2a2,|x+y|a,|xy|a所确定的区域(a>0).试将f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。12、 试将化成先对x次对y最后对z积分的三次积分式。13、 设是由x+y+z=1,x+y=1,x=0,y=0以及z=1所围的有界闭区域。试将化成先对z次对y最后对x积分的三次积分式。14、 设是由及z=1所围的有界闭区域，试将化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。15、 设是由曲面z=x2+y2,z=2x2+y2以及x2+y2=R2 (R>0)所围的有界闭区域。试将I=化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。16、 是由锥面及z=1所围的有界

4、闭区域。试将I=分别化成柱面，球面坐标下的三次积分式。17、 设是由x2+y2+(z2)24所确定的立体，试将化成直角坐标，柱面坐标以及球面坐标下的三次积分式。18、 是由x2+y2+z2R2;z0所确定的上半球体，试将分别化成直角坐标，柱面坐标及球面坐标下的三次积分式。19、 设是由z=x2+2y2及z=32x2y2所围的有界闭区域。试将分别化成直角坐标与柱面坐柱下的三次积分式。20、 设是由平面圆盘 (R>r>0)绕z轴旋转一周而得的立体。试将化成柱面坐标下的三次积分式。21、 设 由xoz平面上曲线z=x;z=x以及x=1所围的图形绕z轴旋转一周后所得的立体。试将分别化成直角

5、与柱面坐标下的三次积分式。22、 设 (p1),其中是第一卦限满足x2+y2+z2R2的有界闭区域(R>1).试讨论当R+时IR的极限及当极限存在时的极限值。23、 设是由z=x2+y2及z=1所围的有界闭区域，试将化成球面坐标下的三次积分式。24、 设是由，0xy所确定的立体，试将f(y,z)dv化成球面坐标下的三次积分式。25、 设是由及z=0所围的闭区域，试将分别化成球面、柱面坐标下的三次积分式。26、 是由x2+y2+z22Rz (R>0)所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分式。27、 设是由0z，x2+y2y0所确定的闭区域，试将化成柱面坐标下的三次积分式。28、

6、设是由x2+y22z，1z2所确定的闭区域，试将I=化成柱面坐标下的三次积分式29、 是由z=x2+y2，z=1，z=2所围介于1z2部分的立体，试将化成球面坐标下的三次积分式。30、 设是由z2=x2+y2;z=1及z=3所围的有界闭区域，试将化成柱面坐标下的三次积分式。31、 是由曲面2z=x2+y2,(x2+y2)2=x2y2及z=0所围的有界闭区域，试将I=f(x,y,z)dv化成柱面坐标下的三次积分式。32、 试将化成柱面坐标下的三次积分式。33、 设是由1x2+y2+z24以及所确定的闭区域，试将I=化成柱面坐标下的三次积分式。34、 设是由 (0<a<R)及z0所确定

7、的闭区域，试将I=化成球面坐标下的三次积分式。35、 设是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I=分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。36、 设是由x2+y2+z2a2, (a>0)及z0所确定的有界闭区域。试将f(x,y,z)dv分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式。37、 试将化成柱面及球面坐标下的三次积分式。38、 设是由x2+y2=4,z=0及z=x+y+10所围的有界闭区域，试将I=化成柱面坐标下的三次积分式。39、 设是由曲面x2+y2=2x,z=(x2)2+y2以及z=0所围的有界闭区域，试将f(x,y,z)dv化成柱面坐标下的三次积分式

8、。40、 设是由及y0所确定的立体，试将化成柱面坐标下的三次积分式41、 设是由x2+y2+z22z+3所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分式42、 设是由x2+y2+z22z+3所确定的有界闭区域，试将化成柱面坐标下的三次积分式43、 试将化成柱面坐标下的三次积分式。44、 设是由1x2+y2+z22,z0及x2+y21所确定的闭区域，试将化成球面坐标下的三次积分式。45、 试将柱面坐标下的三次积分化成球面坐标下的三次积分式。46、 试将柱面坐标下的三次积分化成球面坐标下的三次积分式。47、 设是由以及1x2+y2+z24所确定的闭区域，试将化成球面坐标下的三次积分式。48、 试将化成

9、球面坐标下的三次积分式。49、 试将化成球面坐标下的三次积分式，并由此计算上面的积分值。50、 设是由所确定的球体，试将化成球面坐标下的三次积分式。51、 设是由x2+y2+z24R2以及x2+y2+(z2R)24R2所确定的闭去域，试将I=化成柱面及球面坐标下的三次积分式.52、 设 m为实数(1) 试求I(m,); (2) 讨论.53、 设是由y=x;y=x,x=1,z=0,z=1所围的有界闭区域，试将I=化成柱面坐标下的三次积分式。54、 设是由及所围的有界闭区域，试将化成球面坐标下的三次积分式。55、 设是由曲面及所围的有界闭区域，试将化成柱面坐标下的三次积分式。56、 试用坐标变换将

10、积分化成新变量下的二次积分式。57、 设是单位球体x2+y2+z21,试将化成一元函数的积分式，其中a2+b2=1.58、 设D是由直线x+y=a (a>0),x=0,y=0所围的三角形域，试将积分化成新变量u,v下的二次积分式，其中u=x+y,.59、 试求第一象限由曲线x2+y3=axy所围图形的面积。60、 求在x0部分由曲线y=cosx及y=cos2x所围第一块封闭图形的面积。61、 D是由曲线y2=4(x+y)以及x+y=4所围的图形，试求D的面积。62、 试求在x0部分由曲线y=sin2x及y=cos4x所围第一块封闭图形的面积。63、 在部分，试求由y=sinx,y=cos

11、x所围图形的面积。64、 曲线所围图形被圆x2+y2=1截成两部分，试求位于圆x2+y2=1外部分图形的面积。65、 试用二重积分计算由曲线y2=x，yx+2=0所围图形的面积。66、 试求上半平面介于曲线x2+y2=a(+x)，x2+y2=b(+x) (b>a>0)之间图形的面积。67、 试求在极坐标下由ra(1+cos),r2acos (a>0)所确定图形的面积。68、 试用二重积分计算由曲线以及y2=2px+p2 (p>1)所围图形的面积S(p),并证明.69、 直线y=x将由x2+3y26y所确定的图形分成两部分，试求其中较小部分一块的面积。70、 在极坐标下求

12、由 (a>0)所确定图形的面积。71、 试求由极坐标方程ra(1+cos),ra(1cos)所确定图形的面积。72、 试求由与x2+y2a2所确定的平面图形面积。73、 试求由,y2x;y82x所确定的平面图形的面积。74、 试求由曲线(x2+y2)2=x3所围封闭部分图形的面积。75、 试求由曲线y2=x,y2=4x,x2=2y及x2=4y (x>0,y>0)所围闭区域的面积。76、 试求由(x2+y2)216xy及所确定的平面图形面积。77、 试求在第一卦限由曲面y2=x1,z=0,z=3y,x=5所围立体的体积。78、 试求柱面x2+y2=a2 (a>0)被平面z

13、=k1x和z=k2x (k1,k2>0)所截在y0部分曲面的面积。79、 试求由曲面z=x2+y2,x2+y2=x,x2+y2=x (>1), z=0所围空间立体的体积。80、 试求由曲面z=x2+2y2与z=2x2所围空间立体的体积.81、 试求在第一卦限由曲面z=x2y,x2+y2=2x,z=0所围立体的体积.82、 试求由,x2+y2+2y0,x2+y2+3y0所确定立体的体积。83、 试求由所确定的立体的体积。84、 试求由x2+y2+z22az及x2+y2+z2b2 (a>b>0)所确定的立体体积。85、 试求区域|x+2y|2,|x2y|2被平面z=0及曲面

14、z=x2+y2截下有限部分的体积。86、 试求圆锥面z2=x2+y2被柱面x2+y2=2ax (a>0)截下有限部分的曲面面积。87、 试求锥面 被柱面(x2+y2)2=2a2xy截下有限部分曲面的面积(a>0)。88、 试求z2=xy,x+y=a,x+y=b (0<a<b)所围有界闭区域的体积。89、 求第一卦限中的曲面y2+z2=a2被平面y=b (0<b<a)以及y=x所截下部分的面积。90、 求圆柱面y2+z2=a2在第一卦限中位于x+y2a,xy部分的面积(a>0).91、 试求柱面x2=2z被平面x2y=0,y=2x及所截下有限部分曲面的面

15、积。92、 求抛物面x=1y2z2被柱面y2+z2=1截下有限部分曲面的面积。93、 求曲面z2=2xy被平面x=1,y=4及z=0截下有限部分的面积。94、 求在第一卦限中曲面被柱面x4+x2y2y2=0及y=x所截下有限部分的面积。95、 试求由y2+z2=1,|x+y|=1,|xy|=1所围立体的体积。96、 试求由0zx2+y2,0xa,0yb所确定的立体的体积。97、 试求由x2+y2+z2a2及x2+y2ax (a>0)所确定的空间立体的体积。98、 求由曲面y=a2x2,z=x+2y,x=0,y=0,z=0所围位于第一卦限部分立体的体积 (a>0)。99、 试求抛物面

16、y2+z2=4ax被y2=ax及x=3a (a>0)所截下部分曲面的面积。100、 试求由x0,x2+y26a2 (a>0)以及0z2xy所确定立体的体积。101、 试求由封闭曲面(x2+y2+z2)2=az(x2+y2), (a>0)所围立体的体积。102、 试求由闭曲面(x2+y2+z2)3=a2(x2+y2)2 (a>0)所围立体的体积。103、 试求在第一卦限内由曲面(x2+y2+z2)2=axyz (a>0)所围立体的体积。104、 试求由z=x2+y2及z=x+y所围立体的体积。105、 空间立体r2x2+y2+z2R2,z0 (0<r<R

17、)被锥面z2=(cot2)(x2+y2) 分割成两部分，试求两部分的体积之比，并问为何值时两部分体积相同。106、 试求由z=lnx,z=lny,z=0及x+y=2e所围空间立体的体积。107、 试求第一卦限内由曲面(x2+y2+z2)2=axyz (a>0)所围立体的体积。108、 试求由(x2+y2+z2)2=a3x所围空间立体的体积 (a>0)。109、 试求球面x2+y2+z2=a2位于及 (a>0)之间部分的面积。110、 试求曲面z=2x2y2被平面z=1截下部分的面积。111、 试求曲面z=xy被柱面x2+y2=a2 (a>0)所截下部分的面积。112、

18、试求锥面被柱面(x2)2+y2=4截下部分的面积。113、 试求曲面x2+y2=2az介于柱面x2+y2=3a2及x2+y2=8a2 (a>0)之间部分的面积。114、 试求x2+y2+z2=a2含于柱面x2+y2=ax (a>0)之内部分的面积。115、 试求曲面x2+y2=az被曲面 (a>0)截下部分的面积。116、 试求抛物面y2+z2=4ax被柱面y2=ax及x=3a (a>0)所截下部分曲面的面积。117、 求半球面被圆柱面x2+y2Ry=0 (R>0)截下部分曲面的面积。118、 试求柱面y2+x2=2x被锥面x2+y2=z2所截下部分的面积。119

19、、 试求曲面被z2=2x截下有限部分的面积。120、 试求曲面被柱面(x2+y2)2=a2(x2y2) (a>0)截下部分的面积。121、 试求曲面4z=x2+y2含于球面x2+y2+z2=12内部部分曲面的面积。122、 试求柱面x2+y2=ax含于球x2+y2+z2a2内部分的面积 (a>0)。123、 试求锥面x2=y2+z2被曲面z=y2及平面z=y+2截下有限部分的面积。124、 试求曲面x2+y2=6z与所围立体的体积。125、 试求由x2+y2+z24与x2+y23z所确定的立体的体积。126、 试求立体z2x2y2被平面z=2x+2截下有限部分的体积。127、 试求

20、由z=4x2y2与z=4x+4所围立体的体积。128、 试求由z6x2y2,x2+y21所确定立体的体积。129、 试求由a2x2+y2+z2b2 (0<a<b),x2+y2z2,z0所确定立体的体积。130、 试求第一卦限中y2+z21被y=x截下有限部分的体积。131、 试求由x2+y2az=0,(x2+y2)2=a2(x2y2),z=0 (a>0)所围有限部分立体的体积。132、 试求由与x2+y2=ax (a>0)所围有限部分立体的体积。133、 试求由a2x2+y22ax,所确定立体的体积 (a>0)。134、 试求由xx2+y22x,所确定立体的体积。

21、135、 试求由x2+y2=az与 (a>0)所围立体的体积。136、 试求由z=x2+y2与z=8y2所围立体的体积。137、 试求在柱面坐标下由racos,r2+z2a2 (a>0)所确定立体的体积。138、 设v(k)为曲面 (k=2,3,)所围立体的体积，试证v(k)有上界，并求 之值。139、 试求由x2+y2+z2R2与所确定立体的体积。140、 试求由,x=0,z=x所围有限部分立体的体积。141、 试求由,0x1,0y2所确定立体的体积。142、 设均匀薄片由1,y0确定，试求薄片的质心坐标(0=1)。143、 设面密度(x,y)=y的平面薄片由1及y2|x|所确定

22、，试求该薄片的质心坐标。144、 设匀质薄片(0=1)由Rxx2+y22Rx所确定 (R>0)，试求其质心坐标。145、 试求体密度为1的均质球体(xR)2+y2+z2R2关于z轴的转动惯量。146、 试求边长分别为a,b,顶角为j，(的匀质平行四边形薄片关于其长度为a的一边的转动惯量 (0=1)。147、 试求边长为a的匀质正方体关于其一条棱边的转动惯量(设密度=1)。148、 设D是由极坐标方程确定的曲线r=,0££所围的匀质有界闭区域(=1),试求其重心坐标()中的值。149、 设是由(x2+y2)2a2(x2y2),x0,0z2 (a>0)所确定的空间匀

23、质体(=1),试求它关于z轴的转动惯量。150、 是边长分别为a,b,c的长方体，若其内任一点处的体密度等于该点到一顶点距离的平方，试求是质量。151、 试求匀质圆盘x2+y2R2对其某一切线的转动惯量(设密度为0)。152、 在匀质半圆盘x2+y2R2,y0上接一面密度相同，其一边与直径也吻合的矩形，若要使拼接后质心落在坐标原点，试求矩形另一边长度(设密度=1)。153、 试求由曲面az=a2x2y2 (a>0),z=0所围匀质立体的质心坐标。154、 是由a2x2+y2+z24a2 (a>0)所确定的空心球体，其体密度，试求的质量。155、 一圆锥由及z=h所围，其体密度为各点

24、到xoy平面距离的n次方(n>0).试求锥体的质量。156、 试求由0ysinx,所确定的匀质薄片的质心坐标。157、 试求在x0部分，由曲线y2=x2x4所围匀质薄片的质心坐标(设密度=1)。158、 设是一密度为1的球体x2+y2+z21挖去x2+y2R2 (0<R<1)后的剩余部分，试求关于z轴的转动惯量。159、 设球体上各点的体密度与该点到(0，0，2)的距离成反比，试求其质量。160、 设D是由曲线所围的有界闭区域，其上各点的面密度为(x,y)=|x|.试求薄片的质量。161、 试求由，x2+y2=a2(a>0)及z=0所围的匀质体关于z轴的转动惯量(设密度

25、=1)。162、 设空间立体由z22ax,x2+y2ax (a>0)及z0所确定，其体密度函数为(x,y)1.试求立体关于z轴的转动惯量。163、 匀质半球体(=1):x2+y2+z2a2,z0被柱面x2+y2=ax (a>0)截成两块，求其中含在柱面内一块质心坐标()中的值。164、 设面密度为=1的平面均质薄片由x2+y2ax0及x2+y22ax0 (a>0)所确定，试求其对于x轴的转动惯量。165、 面密度为=1的平面薄片由及yx10,x0所确定，试求其质心坐标中的坐标。166、 设是由xoy平面上x=0,x=1,y=0,所围的平面图形绕x轴旋转一周后所得的立体。试求其

26、关于x轴的转动惯量(设密度为r0).167、 设D是第一象限由y=kx, (k>1)及2xy=1所围的平面薄片，其面密度为试求薄片质量。168、 试求由x2+y2+z22z与所确定的均匀立体对z轴的转动惯量(设密度=1)。169、 平面薄片由曲线,x=0及所围成，其面密度函数为(x,y)=x.试求薄片质量。170、 均质薄片是由y=sinx和y=sin2x在x0部分所围的第一块封闭域，试求其质心坐标(,)中的坐标。171、 设平面薄片由(x2+y2)216xy及>0所确定，其面密度函数为(x,y)=x2+y2.求薄片质量。172、 设是第一卦限上由z1x2y2;所确定的立体，体密度

27、1.试求其质心坐标(,)中的。173、 设是由z=x2+y2，x2+y2=a2及z=0所围的匀质立体。试求其关于直线 的转动惯量(设密度为r0).174、 设是由z=x2+2y2及z=2x2所围的匀质立体，试求其关于z轴的转动惯量(设密度为0 ).175、 设是由x2+y2+2ax=0,x2+y2=2az (a>0)及z=0所围的立体，其体密度函数为(x,y)=.试求的质量。176、 设是由及x2+y22z所确定的匀质体(0=1).试求其关于z轴的转动惯量。177、 设是由z=x2+y2及z=x+y所围的立体，试求其质量(设密度为0).178、 设D是由y=0,y=x及x=1所围的平面薄

28、片，其上各点的面密度为(x,y)=x+y,试求薄片质量。179、 设平面薄片由曲线y=x2及x=y2所围，其面密度函数为(x,y)=xy3.试求薄片的质量。180、 设圆形薄片x2+y2R2的面密度函数为(x,y)=1+.试求薄片质量。181、 环形薄片由R2x2+y216 (R<4)所确定，其上各点的面密度与该点到圆心的距离成反比，且已知在内圆上各点的面密度为1。试问R为何值时质量最大，并求出该质量的最大值。182、 设由曲线与直线y=1,x=2所围的平面薄片上任一点的面密度与该点到两坐标轴距离的乘积成正比，且知(1，1)点的密度为4，试求此薄片的质量。183、 设D是由|x+y|1,|xy|1所确定的平面薄片，其面密度函数为(x,y)=(x+y)2.试求薄片的质量。