2013随机过程课件chapter

1、 概率论复习概率论复习三、三、 随机变量（随机向量）随机变量（随机向量）的数字特征的数字特征 随机变量的概率分布完全由其分布函数描述，随机变量的概率分布完全由其分布函数描述，但是如何确定分布函数却是相当麻烦的。在但是如何确定分布函数却是相当麻烦的。在实际问题中，我们有时只需要知道随机变量实际问题中，我们有时只需要知道随机变量的某些特征值就够了。所谓随机变量的数字的某些特征值就够了。所谓随机变量的数字特征，是指联系于它的分布函数的某些数字，特征，是指联系于它的分布函数的某些数字，如平均值、最大可能值等，它们反映随机变如平均值、最大可能值等，它们反映随机变量的某方面的特征。量的某方面的特征。 w2

2、022-3-6w郑州大学信息工程学院w2w2022-3-6w郑州大学信息工程学院w3 xF xdFx EXxdFx设设X是一个随机变量是一个随机变量，是其分布函数，若是其分布函数，若 ，则称则称为随机变量为随机变量X 的数学期望或均值的数学期望或均值。 可将可将E E看作一个算符或算子看作一个算符或算子数字特征易测，数字（而不是函数）表示形象数字特征易测，数字（而不是函数）表示形象若若X X是离散型随机变量，其分布值为是离散型随机变量，其分布值为则则若若X X是连续型随机变量，其概率密度函数为是连续型随机变量，其概率密度函数为 ，则则 w2022-3-6w郑州大学信息工程学院w4,1,2,ii

3、P Xxp iiiiEXx p xfE Xxfx d x w2022-3-6w郑州大学信息工程学院w5w因为因为p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6EX=1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+4(1/6)+EX=1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+4(1/6)+5(1/6)+6(1/6)=7/2=3.55(1/6)+6(1/6)=7/2=3.501xE Xxedx设设X X是一随机变量，其分布函数为是一随机变量，其分布函数为 ， 是连续函数，如果是连续函数，如果 存在存在，则则 w2022

4、-3-6w郑州大学信息工程学院w6 xF xgy xdFxg xdFxgzgEEY设设X=( ) ) 是是n n维随机变量，其联合分维随机变量，其联合分布函布函 数为数为 ， 连续函数连续函数, ,如如 果果 存在，则存在，则 w2022-3-6w郑州大学信息工程学院w7nXXX,21 nxxxF,21nxxxg,21 nnxxxdFxxxg,2121 nnnxxxdFxxxgxxxgE,212121w2022-3-6w郑州大学信息工程学院w812YaXbX 212121,21dxdxxxfbxaxYExx2121221211,2121dxdxxxfxbdxdxxxfxaxxxx 122112

5、1,xfdxxxfxxx所以，上式变成 12E YaE XbE X因因 可见，加权和的期望等于加权期望的和。这对可见，加权和的期望等于加权期望的和。这对n n维随机变量维随机变量的情况也是适用的。这说明了：求数学期望是线性运算；的情况也是适用的。这说明了：求数学期望是线性运算；这里没有规定随机变量之间非要相互独立不可，所以加权这里没有规定随机变量之间非要相互独立不可，所以加权和的期望等于期望的加权和，它不受两个随机变量是否相互和的期望等于期望的加权和，它不受两个随机变量是否相互独立的限制。独立的限制。 |E|kXEkkXm |E|kkXEkkXEX w2022-3-6w郑州大学信息工程学院w9

6、K K阶原点矩，阶原点矩，k k阶中心矩阶中心矩定义定义：设设X X是随机变量，若是随机变量，若则称则称为随机变量为随机变量X X的的k k阶原点矩阶原点矩为为X X的的k k阶原点绝对矩阶原点绝对矩为为X X的的k k阶中心矩阶中心矩由定义知：均值为一阶原点矩，而方由定义知：均值为一阶原点矩，而方差为二阶中心矩差为二阶中心矩miikikkxXxXm1PE xxfxXmXkkkdE niikikxXXx1PE xxfXxXkkdEw2022-3-6w郑州大学信息工程学院w10离散型随机变量原点距离散型随机变量中心矩连续型随机变量原点矩连续型随机变量中心矩矩的重要性：如果对于所有的K， 存在且已

7、知，则由 的集合，可以唯一的确定随机变量X的概率分布函数。kXEkXEnkkknknknnkknkknknnmmCXXC0101EE1!knknCknnkknkknnmCm01w2022-3-6w郑州大学信息工程学院w11EKjYXmnnmknjmKjyYxXPyxYX,E yxyxfyxYXXYkjkjdd,Ew2022-3-6w郑州大学信息工程学院w12两个随机变量X,Y，其联合矩当X,Y为离散型随机变量时：当X,Y均为连续型随机变量时：一个特别重要的联合矩是互相关矩一个特别重要的联合矩是互相关矩EXYEEEYYXXCXYw2022-3-6w郑州大学信息工程学院w13中心化的两个随机变量X-EX，Y-EY的互相关矩称为随机变量X,Y的协方差协方差描述随机变量X,Y的概率相关程度若CXY=0，表明X，Y之间不相关CXY=0 即 EXY=EXEY若EXjYk=EXjEYk，则X，Y相互统计独立故，X，Y统计独立意味着X，Y不相关，但反之不成立；说明不相关条件比统计独立条件弱些。 xXFjuXeEjuXe iijuxju