第2章逻辑代数与硬件描述语言基础

1、第第第第第第2 2 2章章章章章章 逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描述语言基础述语言基础述语言基础述语言基础述语言基础述语言基础学习要点：学习要点： 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第第第第第第2 2 2章章章章章章 逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描述语言基础述语言基础述语言基础述语言基础述语言基础述语言基础2.1 逻辑代数

2、逻辑代数2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式1 1、逻辑代数的定律、定理逻辑代数的定律、定理（1）常量之间的关系）常量之间的关系（2）基本公式）基本公式0-1 律：AAAA10 0011AA非 运 算 ：10 01互补律： 0 1AAAA等幂律：AAAAAA 双 重 否 定 律 ：AA 分别令分别令A=0及及A=1代入这些代入这些公式，即可公式，即可证明它们的证明它们的正确性。正确性。（3）基本定理）基本定理结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA利用真值表很容易证利用真值表很容易证明这些公式的正确性。明这些公

3、式的正确性。如证明如证明AB=BA：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂律等幂律AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1律律A+1=1A+1=1证明分配律：证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：证 明 ：)(BAAABAA)(1BABA 分配律分配律A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互补律互补律A+A=1A+A=10-10-1律律A A1=11=1BCAABCCAABBCAACA

4、AB)(互补律互补律A+A=1A+A=1分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC)1 ()1 (BCACABCAAB 0-10-1律律A+1=1A+1=12 2、常用恒等式、常用恒等式CAABBCDCAABCAABBCCAAB例如，已知等式例如，已知等式 ，用函数，用函数Y=AC代替等式中代替等式中的的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：，根据代入规则，等式仍然成立，即有：（1）代入规则：任何一个含有变量）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出的等式，如果将所有出现现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立

5、。这个规则称为代入规则。规则称为代入规则。BAABCBABACBAC)(（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式，如果将表达式中的所有中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，那么，那么所得到的表达式就是函数所得到的表达式就是函数Y的反函数的反函数Y（或称补函数）。这个规（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：则称为反演规则。例如：EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式）对偶规则：对于任何一个逻辑表

6、达式Y，如果将表达式，如果将表达式中的所有中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，而，而，则可得到的一个新的函数表达，则可得到的一个新的函数表达式式Y，Y称为函数称为函数Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：例如：EDCBAY：如果两个函数相等，则它们的对偶函：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：少一半。例如：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照

7、逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。非运算，否则容易出错。ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()(EDCBAY（1）与或表达式：ACBAY（2）或与表达式：Y)(CABA（3）与非-与非表达式：Y ACBA（4）或非-或非表达式：YCABA（5）与或非表达式：YCABA一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非与非-与非表达式、或非与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式或非表达式、与或非表达式5种表种表示

8、形式。示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。2.1.3 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1 1、逻辑函数的表达形式、逻辑函数的表达形式逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。的电路越简单，电路工作越稳定可靠。1)1)、最简与或表达式最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与的与或

9、表达式。或表达式。CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最简与或表达式最简与或表达式2)2)、最简与非最简与非-与非表达式与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非的与非-与非表达式。与非表达式。CABACABACABAY在最简与或表达式的基础上两次取反在最简与或表达式的基础上两次取反用摩根定律去用摩根定律去掉下面的非号掉下面的非号3)3)、最简或与表达式最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。的或与表达式。CABAYACBACBACBACABAC

10、ABAY)()(CABAY求出反函数的求出反函数的最简与或表达式最简与或表达式利用反演规则写出函利用反演规则写出函数的最简或与表达式数的最简或与表达式4)4)、最简或非最简或非-或非表达式或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非的或非-或或非表达式。非表达式。CABACABACABACABAY)()(求最简或与表达式求最简或与表达式两次取反两次取反5)5)、最简与或非表达式最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少量也最少的与或非表达式。的与或非表达式。

11、ACBACABACABAY求最简或非求最简或非-或非表达式或非表达式用摩根定律去用摩根定律去掉下面的非号掉下面的非号用摩根定律用摩根定律去掉大非号下去掉大非号下面的非号面的非号1)1)、并项法、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。理和规则来化简逻辑函数。利用公式利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。，将两项合并为一项，并消去一个变量。BCCBCBBCCBBCAACBBCAABCY)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY)()(2若两个乘积项若两个乘积项中分别包含同一个中分

12、别包含同一个因子的原变量和反因子的原变量和反变量，而其他因子变量，而其他因子都相同时，则这两都相同时，则这两项可以合并成一项，项可以合并成一项，并消去互为反变量并消去互为反变量的因子。的因子。运用摩根定律运用摩根定律运用分配律运用分配律运用分配律运用分配律2 2、逻辑函数的化简方法、逻辑函数的化简方法2)2)、吸收法、吸收法BAFEBCDABAY)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAY)()(2 如果乘积项如果乘积项是另外一个乘积是另外一个乘积项的因子，则这项的因子，则这另外一个乘积项另外一个乘积项是多余的。是多余的。运用摩根定律运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公

13、式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的变量。（）利用公式，消去多余的变量。CABCABABCBAABCBCAABY)(DCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAY)()( 如果一个如果一个乘积项的反是乘积项的反是另一个乘积项另一个乘积项的因子，则这的因子，则这个因子是多余个因子是多余的。的。3)3)、配项法、配项法（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。量，以便用其它方法进行化简。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()1 ()1

14、 ()()(（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY)()()(4)4)、消去冗余项法、消去冗余项法利用冗余律，利用冗余律，将冗余项消去。将冗余项消去。DCACBAADEDCACBADCADEACBAY)(1CBABFGDEACCBABY)(2例例：化简函数：化简函数)()()()(GEAGCECGADBDBY解解：先求出：先求出Y的对偶函数的对偶函数Y，并对其进行化简。，并对其进行化简。GCCEDBAEGGCCEDAGBDBY求求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。的对偶函数，便

15、得的最简或与表达式。)()(GCECDBY本节小结本节小结 逻辑代数是分析和设计数字电路的重要逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。 逻辑代数的公式和定理是推演、变换及逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。化简逻辑函数的依据。 逻辑函数的化简有公式法和图形法等。逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则公式法是利用逻辑代数的

16、公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。理，且具有一定的运算技巧。2.2 2.2 逻辑函数的卡诺逻辑函数的卡诺图化简法图化简法（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。

17、通常称为最小项。3个变量个变量A、B、C可组成可组成8个最小项：个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、（2）最小项的表示方法：通常用符号）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下来表示最小项。下标标i的确定：把最小项中的原变量记为的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为，反变量记为0，当变量，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量个变量A、B、C的的8个最小项可以分别表示为：个最小项可以分别

18、表示为：ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、2.2.1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质（3）最小项的性质：）最小项的性质： 3 变量全部最小项的真值表A B Cm0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。ABCABC任意两个

19、不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的乘积必为0。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的形式，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式形式，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和和A(B+C)ABAC来配项展开成最小项表达式。来配项展开成最小项表达式。)7 , 3 , 2 , 1 , 0()()(73210mmmmmmABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY2.2.2 逻辑函数的最

20、小项表达式逻辑函数的最小项表达式如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。项相加，便是函数的最小项表达式。A B CY最小项0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7m1ABCm5ABCm3ABCm1ABCCBACBACBACBAmmmmmY)5 ,3 ,2, 1(5321将真值表中函数值为将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。反函数的最小项表达式。2.2.3 用

21、卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1 1、卡诺图的构成、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。用卡诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使使，这样构成的图形就是卡诺图。，这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同

22、，又称为逻辑相邻项），即逻辑相邻变为几何相邻相同，又称为逻辑相邻项），即逻辑相邻变为几何相邻 。 BC A 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 3 变量卡诺图 每个每个3变量的最小项有变量的最小项有3个最小个最小项与它相邻，两个相邻最小项可以项与它相邻，两个相邻最小项可以合并消去一个变量：合并消去一个变量：BACCBACBACBA)( CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m 6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10 4 变量卡诺图 每个每个4变量的最小项有变量的最

23、小项有4个最小项与它相邻个最小项与它相邻最左列的最小项与最左列的最小项与最右列的相应最小最右列的相应最小项也是相邻的项也是相邻的最上面一行的最小最上面一行的最小项与最下面一行的项与最下面一行的相应最小项也是相相应最小项也是相邻的邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量两个相邻最小项可以合并消去一个变量DABDABCDCAB逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并4个对角的最小项个对角的最小项 ， ， ， ，也是相邻的，也是相邻的0m8m2m10m2 2、逻辑函数在卡诺图中的表示、逻辑函数在卡诺图中的表示（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺）逻

24、辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余，其余的方格内填入的方格内填入0。)15,14,11, 7 , 6 , 4 , 3 , 1 (),(mDCBAYm1m3m4m7m6m11m14m15（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公一个乘积项所包含的那些最

25、小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入，其余的方格内填入0。)(CBDAYCBDAY变换为与变换为与或表达式或表达式：如果求得：如果求得了函数的反函数，了函数的反函数，则对中所包含的各则对中所包含的各个最小项，在卡诺图个最小项，在卡诺图相应方格内填入相应方格内填入0，其，其余方格内填入余方格内填入13 3、卡诺图的性质、卡诺图的性质（1）任何两个（）任何两个（21个）标个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因

26、子）。CBACBAABCCBACAACDCBADCBADABCDBCADBCDCB（2）任何）任何4个（个（22个）标个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，的相邻最小项，可以合并为一项，并消去并消去2个变量。个变量。ACBBCCBCBACBABCACBACBA)(CCABBABABAABCCBABCACBA)(DCBADBDBDBBD（3）任何）任何8个（个（23个）标个）标1的相邻最小的相邻最小项，可以合并为一项，并消去项，可以合并为一项，并消去3个变量。个变量。BDi21 1、图形法化简的基本步骤、图形法化简的基本步骤逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图)15,13,12,11

27、, 8 , 7 , 5 , 3(),(mDCBAY 1 1 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数合并最小项合并最小项圈越大越好，但每个圈中标圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。的方格数目必须为个。同一同一个方格可同时画在几个圈内，但个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。就是多余的。不能漏掉任何一不能漏掉任何一个标的方格。个标的方格。i2最简与或表达式最简与或表达式DCABDCDDCBAY),(冗余项冗余项 2 2 3 3 将代表每个圈将代表每个圈的乘积项相加的乘积项相加CDBDDCA两点说明：两点说明： 在有些情

28、况下，最小项的圈法不只一种，得到在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简不是最简最简最简BCDCABDACBABCDCADBA 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。不是唯一的。BDAACDDCBCABCDACDDCBCA：函数可以随意取值（可以为：函数可以随意取值（可以为0，也可以为，也可以为1）或不会出现）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做任意项，用符号的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做任意项，用符号“”表示。表示。2 2、具有、具有无关项的化简无关项的化简例如：判断一位十进制数是否为偶数。例如：判断一位十进制数是否