较好较难的几个立体几何

1、49、BFAFDAECM矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD， AD=1， EF= （）证明：AE 平面FCB； （）求异面直线BD与AE所成角的余弦值 （）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN平面FCB？证明你的结论解：(1) 平面ABCD平面ABEF,且四边形ABCD与ABEF是矩形,AD平面ABEF,ADAE, BCAD BCAE又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,所以四边形ABEF为正方形.AEFB,又BFBF平面BCF，BC平面BCF所以AE平面BCF4分(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 OH

2、/BD,HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=异面直线BD与AE所成的角的余弦值为.8分(3)当N为FD的中点时, MN平面FCB证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，则NG/FC,MG/BC, 又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G所以平面NGM/平面FBC,MN平面NGMMN/平面FBC12分50、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点。(1)求异面直线AE与A1C所成的角；(2)若G为C1C上一点，且EGA1C，试确定点G的位置；(3)在（2）的条件下，求二面

3、角A1-AG-E的大小（文科求其正切值）。解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AEA1E1，E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。设，则中， 。所以异面直线AE与A1C所成的角为。 -4分（2）.由（1）知，A1E1B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱BCC1B1,又EGA1C CE1EG. =GEC 即得所以G是CC1的中点 - -8分（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQAG于Q,连EP,EQ,则EPAC.又平面ABC平面ACC1A1 EP平面ACC1A1 而PQAG EQAG.PQE是二面角C-AG-E的平面角. 由EP=a,AP=a,PQ=

4、,得所以二面角C-AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的补角，故二面角的平面角是arctan -12分（文）二面角的平面角的正切值为。-12分45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中，ADBC，ABC =BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF (如图) .(1) 当x=2时，求证：BDEG ；(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的

5、余弦值.解:（1）（法一）平面平面,AEEF,AE面平面,AEEF,AEBE,又BEEF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。 1分则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）2分xyz（2，2，2），（2，2，0）3分H（2，2，2）（2，2，0）0， 4分（法二）作DHEF于H，连BH，GH，1分由平面平面知：DH平面EBCF，而EG平面EBCF，故EGDH。又四边形BGHE为正方形，EGBH，BHDHH，故EG平面DBH， 3分而BD平面DBH， EGBD。 4分（或者直接利用三垂线定理得出结果）（2）AD面BFC，所以 VA-BFC4(4-x

6、)x7分即时有最大值为。8分（3）（法一）设平面DBF的法向量为，AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），H_EMFDBACGF（0，3，0）,（2，2，2）, 9分则 ，即，取x3，则y2，z1， 面BCF的一个法向量为 12分则cos<>= 13分由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为 14分（法二）作DHEF于H，作HMBF，连DM。由三垂线定理知 BFDM，DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。9分由HMFEBF，知，而HF=1，BE=2，HM。又DH2，在RtHMD中，tanDMH=-，因DMH为锐角，cosDMH， 13分而DMH是

7、二面角D-BF-C的平面角的补角，故二面角D-BF-C的余弦值为。 14分46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点在斜边上。（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所 成角的大小；（III）（理）求与平面所成角的最大值。（文）当为的中点时，求与平面所成的角。解：（I）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面，平面平面4分（II）解法一：作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为8分解法二：建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成

8、角的大小为8分（III）（理）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为12分（文）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且45o。12分47、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)如图，在几何体中，面为矩形，面，（1）求证；当时，平面PBD平面PAC；（2）当时，求二面角的取值范围。以A为坐标原点，射线AP、AB、AD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设，由已知得（1）当时，4分，又，平面PBD平面PAC；6分解法二：当时，矩形为正方形，面，2分又，BD平面PAC，BD平面PBD，平面PBD平面PAC（2）由得设平面PDC

9、， 不妨设，则设平面PDB， 不妨设，则10分当变化时，即，又，40、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC=60°，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60°。 （）证明：BDAA1； （）求二面角DA1AC的平面角的余弦值； （）在直线CC1上是否存在点P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。解：连接BD交AC于O，则BDAC，连接A1O在AA1O中，AA1=2，AO=1，A1AO=60°A1O2=AA12+AO22AA1·Aocos60°=

10、3AO2+A1O2=A12A1OAO，由于平面AA1C1C平面ABCD，所以A1O底面ABCD以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），A1（0，0，）2分（）由于则BDAA14分 （）由于OB平面AA1C1C平面AA1C1C的法向量设平面AA1D则得到6分所以二面角DA1AC的平面角的余弦值是8分（）假设在直线CC1上存在点P，使BP/平面DA1C1设则得9分设则设得到10分又因为平面DA1C1则·即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP12分法二：在A1作A1OAC于点O，由于平

11、面AA1C1C平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O平面ABCD，又底面为菱形，所以ACBD4分（）在AA1O中，A1A=2，A1AO=60°AO=AA1·cos60°=1所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点由（）可知DO平面AA1C过O作OEAA1于E点，连接OE，则AA1DE则DEO为二面角DAA1C的平面角6分在菱形ABCD中，AB=2，ABC=60°AC=AB=BC=2AO=1，DO=在RtAEO中，OE=OA·sinEAO=DE=cosDEO=二面角DA1AC的平面角的余弦值是8分（）存在这样的点P连接

12、B1C，因为A1B1ABDC四边形A1B1CD为平行四边形。A1D/B1C在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP10分因B1BCC1，12分BB1CP四边形BB1CP为平行四边形则BP/B1CBP/A1DBP/平面DA1C112、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. （）求证：平面；DA1D1C1B1E1BACPO（）当时，求直线与平面所成角的大小； () 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心? 解法一：（）过P作MNB1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N分别为 A1B1、D1C1的中点，连MB、NC，

13、则四边形BCNM是平行四边形 2分DA1D1C1B1E1BACPOMNFE、M分别为AB、A1B1中点，A1EMB 又MB平面PBC，A1E平面PBC。 4分（） 过A作AFMB，垂足为F，连PF，BC平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，AFBC， BCMB=B，AF平面PBC，APF就是直线AP与平面PBC所成的角， 7分设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，sinAPF=。所以，直线AP与平面PBC所成的角是。 9分（）连OP、OB、OC，则OPBC，由三垂线定理易得OBPC，OCPB，所以O在平面PBC中的射影是PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是PBC的重心，则PBC为正三

14、角形。即PB=PC=BC，所以。反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心 13分zxyDA1D1C1B1E1BACPO解法二：以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、 2分()由上得、，设得解得， ， 平面 4分_（）当时，由、得、设平面的法向量为，则由，得，7分，直线与平面所成角的大小为. 9分() 由()知的重心为，则，若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得当时，在平面内的射影恰好为的重心. 13、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=120°

15、，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一动点(可ABCDA1B1C1D1以与A1或B1重合），过D1和C1C的平面与AB交于D.（）证明BC平面AB1C1；（）若D1为A1B1的中点，求三棱锥B1-C1AD1的体积；（）求二面角D1-AC1-C的取值范围.方法1：ABCDA1B1C1D1（）证明：依条件有CBC1B1， 又C1B1平面A B1C1，CB平面A B1C1， 所以CB平面A B1C1.3分（）解： 因为D为AB的中点， 依条件可知C1DA1B1.所以=×C1D1×(×A1A×D1B1)= ××(×1×

16、;)=.7分（）解：因为D1是A1B1上一动点， 所以当D1与A1重合时，二面角D1-AB(D)CA1B1(D1)C1EFAC1-C的大小为； 9分当D1与B1重合时，如图，分别延长A1C1和AC1，过B1作B1EA1C1延长于E，依条件可知平面A1B1C1平面ACC1A1，所以B1E平面ACC1A1. 过点E作EFA1C1，垂直为F. 连结FB1， 所以FB1A1C1. 所以B1FE是所求二面角的平面角. 11分 容易求出B1E=，FE=. 所以tanB1FE=.所以B1FE= arctan. （或arccos）所以二面角D1-AC1-C的取值范围是arctan，（或arccos，）.13分

17、AB(D)CA1B1(D1)C1xyz方法2：（），（）略（）解：如图建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B1(-，1)，C1(0，0，1). 因为D1是A1B1上一动点， 所以当D1与A1重合时，二面角D1-AC1-C的大小为；9分当D1与B1重合时， 显然向量n1=(0，1，0)是平面ACC1A1的一个法向量. 因为=(1，0，-1)， =(-，1)，设平面C1AB1的法向量是n2=(x，y，z)，由·n2=0，·n2=0，解得平面C1AB1的一个法向量n2=(1，1).因为n1·n2=，| n1|=1，| n2|=，设二面角B1-AC1-C的大小为，所以cos=.即=arccos.所以二面角D1-AC1-C的取值范围是arccos，（或arctan，）.29、(福建省莆田一中20