3.1.1方程的根与函数的零点(优秀经典公开课比赛教案)

1、3.1.1方程的根与函数的零点一、教材分析1、本节内容在教材中的地位和作用本节内容是高中新课程数学必修1第三章“函数与方程”的第一节，“函数与 方程”这个单元体现了函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，也为今后 通过多次接触、反复体会、螺旋上升方式学习函数奠定了基础。本节”方程的根与函数的零点”正体现函数与方程及数形结合重要思想，同时为下节用二分法求 方程的近似解”和后续的算法等学习内容打下基础，起着承上启下的作用2、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点存在性定理。 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用。二、三维目标分析1、知识与技能结合二次函数的图象，判

2、断一元二次方程根的存在性及个数， 从而了解函数的零 点与方程的根的联系理解并会用零点存在性定理。2、过程与方法培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及 函数与方程互相转化的重要思想。3、情感态度与价值观在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和 求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。确定教学目标的依据：1、新课程标准的基本要求：注重基础，避免拓展，注重联系，突出本质2、学生的认知水平：已有的认知基础是初中学习过二次函数定义图象及性质和 一元二次方程解法，并且体会过“当函数值为O时，求相应自变量的值”的问题， 初步认识到一元二次方

3、程与相应二次函数的联系， 对二次函数图象与'轴是否相 交，也有一些直观的认识与体会.在高中阶段，学生已经学习了函数概念与性质， 掌握了研究部分基本初等函数性质的思想方法.三、教法学法为了达到三维目标，突出重点攻克难点，我制定了以下的教法和学法教法：探究式教学法教学手段：采用多媒体辅助教学，构建学生自主掌握的平台 学法：观察发现 自主探索 合作交流四、教学过程（以问题为载体，学生活动为主线探索、类比、猜想、发现并获得新知）仓U设建构问题>函数情境零点概念探究发现 零点存在 性定理演练 反馈 知识 内化环节教学内容师生互动设计意图实际问题情境：如图大姚在一栋楼的离地面10米高A处 引

4、导学生思1、创 设问 题情 境， 引入 新课斜抛一个篮球（篮球运动轨迹是一条抛物线段），已知 蓝球上升到最高点M时，球离地面垂直距离为40米，离3这栋楼的水平距离为1米，你能求出球落地点B离这座楼的水平距离是多少米吗？问题1求下列方程的根（1）X2 2x 30（2）X2 2 10（3）X2 2 30（4）In X 2x 60八7考把实际问题通过建立二次函数模创设实际问题 情境，让学生感 受到数学与生 活有着密切的 联系,同时体现 数学建模及函 数与方程的思 想，引出新课。型，并引导 转化为求相 应一元二次 方程的根来 :解决。问题1让学生通过自主解前3小题, 复习一元二 次方程根三 种情形。第

5、4 小题学生自 主完成遇到 困难，通过 合作交流用 所学的知识问题1中的（4） 引发认知冲突， 激起学生强烈 的求知欲，认识 到学习新知识， 探索新方法的 必要性，同时为 后面引出零点 存在判定方法 埋下伏笔。也无法解决、可题2 :填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函 数与X轴的交点的关系？让学生自主完成表格，观察并总结数学规律利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。一 元二次方程X2 2x 30X2 2x 10X2 2x 10二次函数X2 2x 10X2 2x 102y X 2x 3函数图像图象 与X轴 交占八、程根 方 的师生环节教学内容设计意图互动1、创 设问 题情

6、境， 引入 新课问题3 :完成表格，并观察一元二次方程ax2bx C 0(a 0)的根与相应二函数y ax2 bx c(a 0)图象与X轴交点的关b2 4ac000方IX2 bx c 0 (a 0)的根函数ax2 bx C(a 0)的图像图象与X轴的交点系？让学生通过 探究，归纳 概括所发现 结论，并能 用相对准确 的数学语言 表达。采用表格有利于帮助学生 对知识进行疏理，从而初 步体会利用二次函数图象 判断相应方程根的存在性 和个数，体现数形结合的 思想方法。问题2到问题 3创设符合学生从特殊到 一般的认知过程，注重数 与形的结合。让学生从熟 悉旧知识环境中，得到函 数零点新知识，使新旧知

7、识顺利的衔接并有机联系 起来。现代教育心理学研 究认为：有效的概念教学 是建立在学生已有知识结 论的基础上。教师逐一给为了帮助学生正确理解并函数零点的概念:出3个问题,掌握零点概念，设置3个问2、建构函数零对于函数y=f(),我们把使f()=0的实数X叫做函数y=f(x)的零点。思考:让学生思考回答，教师对回答正确题(1)强调：零点指的是一个实数(2)揭示函数f X的零点点概念（1）零点是一个点吗？（2）怎样理解“零点”概念双向性呢？（3）请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）学生给予表 扬，回答不 正确学生给 予提示与鼓 励。x 0fXoO并把概念符号化（3）让学生从数

8、与形两个方面去寻找零 点，既能让学生巩固零点 的概念又经历三个等价的 过程，从而很自然得出3 个命题的等价关系，让学 生体会到由具体到抽象的 数学思想环节教学内容师生互动设计意图知识分析等价性：（1 ）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命方程转化为函数的思想， 正是咼中数学学习的重 要思想，作为一名数学教的延（1）方程f（x）=O有实数根（2）题是从形的角度来刻画。师，不仅要传授给学生知伸，函数y=f（x）有零点（3）函数（1）（ 2）与（3）的等价识，更重要的是培养学生得出y=f（）的图象与X轴有交点就是方程转化为函数的思数学思想和数学意识。等价关系函数零点的求法：代数法

9、图象法想，并指出有了上述的等 价关系，我们就可用函数 的观点看待方程，方程 f X 0的根即函数 y f X的零点，可以把解方程f X 0的问题转化为思 考函数y f X图象与X 轴的交点问题。3、探问题：如何求方程Inx+2x-6=0究发的根？现零 点存 在性 定理在建立了函数零点概念和 得到三个等价关系基础上 让学生再次尝试解决问题 1中第（4）小题，求方程 根的问题等价转化为寻找 函数图象与X轴交点的横 坐标的问题，我利用几何 画板作出函数f X的图象 让学生直观感知图象与 X 轴有一个交点即函数f X 有一个零点。然后根据本 节的教学重点引导学生从 数的角度探索连续函数在 某个区间内存

10、在零点的判学了新知识，尝试解决开 始的疑问，引出新的思 考，延续学生的探究热情 与欲望，探究函数存在零 点的判断方法定方法来解决，引出探究环节教学内容师生互动设计意图(1)探究：观察二次让学生先自主探究再小组合作交流，鼓以二次函数为载体，通过函数 f X X2 2x 3励学生进行大胆的猜想。观察、发现、猜想、验证，3、的图像，如右图，我们体现了从特殊到一般，再探发现 f X 2 2x 3f 2 ? f 10则fx在 2,1内有零点、f 2 ? f 40则f X在2,4内有零点 /从一般到特殊思想，符合究在区间 2,1上有零辿想学生的认知规律。发点。计算f 2和f 1f a ?f b0一个好的猜

11、想将会推动数则f X在a,b内有零点现的乘积，你能发现这个学的发展，因此在数学教让学生自己任意画几个函数图象验证自J I -A 零乘积有什么特点？在区己的猜想 y /学中培养学生猜证结合的点八、间2,4上是否也具有这思想方法是至关重要的，存种特点呢？0 1 2 34为培养二十一世纪具有自在-3J主创新能力的人才奠定基性础。疋理（2 ）发现零点存在性定理如果函数y f X在（I） 区间a,b上的（2）图像 是连续不断的一条曲线，并且有（3）f a ? f b 0，那么，函数y f X在 区间a,b内有零点，即 存在C a, b使得f C 0这个C也就是 方程f X 0的根。 思考：你能说出应用零

12、 点存在性定理应注意哪(1)几个条件?a / Ja/ VV(4)bB我借助以上4个图形，引导学生注意应用定理时三个条件缺一不可（1）闭区间（2）图象连续（3）端点函数值异号, 注意强调区间中零点不一定唯一。通过图（4） B点的运动让学生明白零点 存在性定理不可逆。（若函f X在a,b内有零点，不一定得出f（a）?fb 0的结论）帮助学生理解定理并能够 正确应用、分析定理中各 条件的作用，通过特殊图 象将抽象的问题转化为直 观形象的图形，更有利于 学生理解定理的本质.从 而突出本节的重点，突破 难点。环节教学内容师生互动设计意图零点N J 、 存在 性定 理应 用利用计算器完成表的零点个数格，通

13、过动手实践获 得对书本表格的认同 感，并从表格中找出 零点所在的区间，最 后利用定理结合函数 的单调性求出f X 让学生体会运用零点 存在性定理去探求函 数零点的过程与方 法。借助表格和图象， 使学生对整个解题思 路有一个直观的认 识，同时也为下节课 用“二分法求方程的 近似解”做好铺垫设计思考的目 的：要说明函数f X 在区间0, 内只有 一个零点还必须说明f X在区间0, 内是单 调的(1)、函数f X大致区间A （1, 2）1C ,1 和（3,eIn X4)2的零点所在的X（2,3)e,学生自主完成，遇到自己无法解决的问 题，可以与同学合作 交流，教师恰当引导通过练习让学生初步 掌握零点

14、存在性定理 的应用，体会方程转 化为函数的思想，通馈，知识内化若方程2ax2 X 10在(0，1)内恰有一解，则a的取值范围()A a<-1 B a>1C-1<a<1 D 0<a<1学生自己总结解题的方法，培养学生善于归纳反思的能力过反馈既可以检验学 习效果，也便于查缺 补漏。知识与技能的 掌握需要一个不断深 化和完善的过程。5、小请你谈谈本节课的收获？让学生自己对本节课共同反思，优化学生结反内容小结：进行反思小结，教师的认知结构，培养学思(1)、函数零点的概念对学生的小结作出必生自主探究合作的学(2)、三个等价关系要的补充和说明习方式，提咼学生的(3)、应

15、用零点存在性定理判断函数零反思小结能力点的存在性以及个数方法布置作业，学以致用必做题1、求函数：y=-x 2+6x+7的零点2、 方程2x1 X 5的解所在的区间是()A( 0, 1) B.( 1 , 2)C.( 2, 3) D . (3 , 4)3、若函数f(x)=x 2-ax-b的两个零点是2和3 ,求log a25 + b 2。设计意图：必做题巩固学生所学的零点概念及零点存在性定理的应用等新知识，将学生的新知识向外延伸，达到掌握本质注重联系。选做题2求证：f X InX 在1,e2上存在唯一零点.X设计意图：由于学生学力水平的差异，注意分层教学，为学有余力的学生提供更多发展的空间 探究题

16、1、.设函数 f (X)2x ax 1 .(1) 利用计算机探求a 2和a 3时函数f(x)的零点个数；(2) 当a R时，函数f(x)的零点是怎样分布的？设计意图：激发学生学习潜能和热情，在探究学习中得到数学能力的提高，从小培养科学研究的素养。现代数学教学的新理念，就是想方设法在教学中培养学生的创新能力和探究意识，本题具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到培养探究能力的目的， 将学生思维引领到更高 的层次。五、评价与反思反馈式评价值得肯定的：积极探索勇于猜想合作交流敢于表达值得注意：注重用函数的思想解决方程问题零点存在性定理的灵活使用教学反思：现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立

17、在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：( 1)在学生已有知识结构和新概念间寻找最近发展区”(2)设法走出 概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进 重视探究、 重视交流、重视过程”的新天地。因此教学设计过程：逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次 函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形， 恰当地使用多媒体和计算 器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程。采用启发一探究一讨论”教学模式精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、 表现和成功的机会.并进行反馈式评价。教学设计说明：建构主义认为：知识不是被动接受，而是认知主体积极主动建构的。本节的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设问题情境一一建构概念一一探 究定理一一注重反思一一拓展应用”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发