不可压缩流体平面势流

1、不可压缩流体平面势流不可压缩势流的势函数方程和流函数方程不可压缩势流的势函数方程和流函数方程9.1.1 9.1.1 势函数势函数: : 在流场中存在一个函数,它的方向导数分别等于该方向的流动分速，这一函数就称为速度势函数，简称势函数或速度势 势函数只有在无旋流中才存在。即某一流动势无旋的，则这一流动就是有势的 ,即流场中流体微团的旋转速度处处为零 yxVxyV21zxzVzxV21yzyVyzV21x有各方向上的旋转速度为则可得:zVyVyz， xVzVzxyVxVxy势函数的定义知,存在),( zyx它的方向导数zyxVVV,zyx,分别等于该方向的流动分速 Vgrad, ,即 zVyzzy

2、zyyVyz2xVzxxzxzzVzx2yVxyyxyxxVxy2如果速度势是具有连续导数的单值函数，则上述无旋条件即可得到： 在无旋定常流中，势函数只是空间坐标的函数，所以势函数的全微分可以表示为：dzVdyVdxVdzdydxdzyxzyx注意：注意：在无旋流中必存在势函数。反之，如果流场中存在势函数，则该流场一定是无旋流。所以无旋流与有势流是等价的。9.1.2 9.1.2 平面流的流函数平面流的流函数在平面流中，如果该流动满足连续方程，则在这平面流中就存在一个流函数 ，它的作用与有势流中的势函数类似，也可以用来描述整个流场。 平面流的流函数存在条件是满足连续方程： 0 yVxVyxyxV

3、dyVdxdyVdxVxy对于平面流，流线方程可以写成即由于式(9.4) 是式 (9.5) 的左边为某一函数对坐标全微分的充分必要条件，我们记这个函数为，称为流函数。则有 0dyVdxVxy),(yxdyVdxVdyydxxdxyxVyyVx即 一旦一个连续流场的流函数得知后，通过交叉偏导数可以得到平面流的速度分布，再由柏努利方程即可求得全场的压强分布。因此找到一个特定的平面流的流函数，就等于知道了该流场的速度、压强。注意注意: :一切平面流动的流场，不论是无粘流体还是有粘流体，也不论是有旋流动还是无旋流动，只要它满足连续方程(94)，都存在着流函数 .但是，只有无旋流动才存在势函数。因此，对

4、于平面流动，流函数具有更普适的意义，它是研究平面流的有力工具。 势函数方程和流函数方程拉普拉斯方程势函数方程和流函数方程拉普拉斯方程9.1.3.1 9.1.3.1 势函数方程势函数方程 在平面定常无旋流中，同时存在势函数和流函数 ，如果将势函数与速度的关系 : 即 和 VxVxyVy将之代入连续方程(9.4)，则有0 2222yxyyxxyVxVyx即可记为0 2 即是不可压平面势流的势函数方程，该方程为拉普拉斯方程。说明平面不可压势流的势函数是调和函数。在势函数和流函数同时存在的条件下，流场中任意点的速度可表示为:0zyxVxyVyx9.1.3.2 9.1.3.2 流函数方程流函数方程 将流

5、函数 与速度的关系(9.7)式代入无旋关系 的式中，有02222yxxxyyxVyVyx02即为: 在推导上述方程时我们使用了无旋条件，因此流函数方程只是在平面定常不可压势流的情况下才存在。如果平面流是有旋的，那么该流动有流函数存在，但是此时流函数并不满足拉普拉斯方程。 等势线和等流函数线的正交性等势线和等流函数线的正交性等势函数线等势函数线是是指 的曲线 ，沿等势线 ， 即C 0d0dyVdxVdyydxxdyx由上式，可得到等势线在流场中任意点(x,y) 的斜率 yxCVVxdyd等流函数等流函数是指 的曲线，即流线，沿等流函数， 即C 0d0dyVdxVdyydxxdxy等流函数线在流场

6、中任意点 (x,y) 的斜率 xyCVVxdyd等势线和等流函数线在点(x,y ) 的斜率乘积 由此可见，在平面定常不可压势流中，等势线和等流函数线正交。 1 xyyxCCVVVVxdydxdyd平面势流叠加原理和几种简单的平面势流叠加原理和几种简单的平面定常势流平面定常势流势流叠加原理势流叠加原理 面不可压势流的势函数方程和流函数方程均是拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程是线形方程，线形方程有一个重要的特征，即方程解的可叠加性。两个或数个拉普拉斯方程解的和或差仍是拉普拉斯方程的解。的势函数，从而获得复杂势流的解。这样，我们就可以用一些简单的势函数叠加来获得一个复杂势流 函数分别为 和 的两个有势流

7、动，根据势函数的性质，它们都满足拉普拉斯方程，即可得到210)( )( 22122212yx即为0)(212两个势流叠加，得到一个速度势为 的新的复合流动，并且新的复合势流的速度场也可以直接将各简单势流速度场叠加而得212121)(xxxVVxxxxV21 21 212121)(yyyVVyyyyV 类似地，新的复合势流的流函数 ， 等于两个原来的简单流动流函数之和。 均匀直线流动均匀直线流动 设一平面流动的速度在全场处处相同，它与轴的夹角为，则它的两个分速分别为：bVVaVVyxsincos式中a,b为常数 这是一个无旋流动，同时又满足连续方程，利用势函数和流函数的性质，有dybdxadyV

8、dxVdyydxxdyxdyadxbdyVdxVdyydxxdxy 积分这两式，得到 如果取 (0,0)点的 则有 即 于是有等势线和流线方程分别为 则有流线和 等势线如右图所示21CxbyaCybxa0, 0021CCxbyaybxaConstxbyaConstybxaxy图图9.1 9.1 均匀平行流均匀平行流点源和点汇点源和点汇2222vvrqqVrxy其分速为22cos22vvxrqqxxVVr rxy22sin22vvyrqqyyVVr rxy 设在无限大平面上，流体以一恒定的体积流量 ， 源源不断地从一个点沿径向向四周均匀地流出，这种流动称为点点源，源，这个点称为源点。源点。 称为

9、点源强度； 若为负值，则意味着流体沿径向均匀地从四周流入一点，这种流动称为点汇。点汇。 若将坐标原点作为源点或汇点，显然，在这种流动中，从源点流出或向汇点流入都只有径向速度 ,切向速度为0rVvqvqvq根据以上速度分布，就可以容易地求出点源 (点汇) 的势函数和流函数来：222222()24vvxyqqxdxydyd xydV dx V dyxyxy222( / )221 ( / )vvyxqqxdyydxd y xdV dx V dyxyy x积分之，得到 22ln()ln42vvqqxyr122vvqqytgx点源 (点汇) 的等势线是 的一族同心圆，而等流函数线则是从源汇点发出的射线，

10、如图9.2 所示。 Cr 注意注意: : 点源和点汇都是无旋流动，即势流。图 点源 (点汇)动画演示动画演示PLAYPLAY点涡（有势涡）点涡（有势涡）点涡点涡: :形式上，流体在作旋转运动，但是除了原点以外，本质上这是一种无旋流动，故我们称这种涡流为有势涡。点涡的径向速度为零，而切向速度与半径成反比，它的流线是同心圆，等势线是射线，因此，它的两个分速可以表示为： 0, 2rVrV式中 称为点涡强度。 取正值表示流动为逆时针方向转动，负值表示顺时针方向转动。上式表明，其切向速度与半径成反比，离圆心越远，流速越小。位于坐标原点的点涡的势函数和流函数分别为xytg1 2222ln22rlnxy根据

11、速度势的性质，由速度势即可求得直角坐标下的各分速 即yxVV ,222yxyxVx222yxxyVy02221212222yxyyyxxxyVxVxyz点涡运动是无旋运动即有势运动，除原点以外的流场旋转角速度为零 在原点， ，因此在原点附近的流动是有旋的 .Vr,0同理,可以求得极坐标下的速度和角速度表达式几种简单平面势流的叠加势流几种简单平面势流的叠加势流 螺旋流螺旋流( (点源或点汇点涡点源或点汇点涡) ) 将平面势流点源(或点汇)流动和平面势流点涡流动叠加便得到一种新的平面势流，称为螺旋流或源环流(汇环流)，螺旋流中流体既作旋转运动，同时又作径向运动，它的轨迹呈螺旋状，故称螺旋流螺旋流。

12、根据势流叠加原理，螺旋流的势函数和流函数分别为：ln 22vqr ln22vqr由流函数便可得到流线方程 该式可以写为 lnvqrCvqCre这是一族对数螺线，它的速度分布为22vrqVrrVrr 流体一面在作径向运动，一面又在作旋转运动，二者的合成运动即为螺旋运动。 偶极流偶极流( (点源点汇点源点汇) )为了研究叠加以后的流场，首先研究图所示的源汇叠加问题。此时源点和汇点相距 。则在流场中任意点 处的势函数为点源和点汇的势函数之和2),( yxM 将强度为 和- 的点源和点汇无限地靠近并叠加起来，得到一种新的有势流动，这种流动称为偶极流。偶极流。 vqvq112122(lnln)ln22v

13、vqrrrqr1r2r式中式中 和和 为为M M点至源点和汇点的距离。由图可知点至源点和汇点的距离。由图可知221222)()(yxryxr2222222222 () ()4lnlnln 12()4()4()vvvxyxyxxyxxqqyyq代入得代入得若使源点和汇点无限地接近，即若使源点和汇点无限地接近，即 ，并将上式按级数，并将上式按级数 展开，并近似取第一项，可展开，并近似取第一项，可得得03/2/)1ln(32zzzz2244()vqxxy当当点源和点汇无限靠近时，令源、汇的强度 不断增大，即 时 ，但二者乘积的极限趋于某一常值，保持 常数，M称为偶极流的偶极矩，偶极矩，或称为偶极子的

14、强度。于是有偶极流的势函数表达式 0vq 2vqM222yxxM1212( )2vqxytgxytg21,2222222121212)()(1)(yxyyxxyxytgtgtgtgtg偶极流的流函数也可用类似的方法求得： 代入流函数表达式，并用级数展开，保留第一项，得到vq当点源和点汇无限靠近时，令源、汇的强度 不断增大，即 时 ，但二者乘积的极限趋于某一常值，保持 常数。于是得到偶极流的流函数为122222222 22vvqqyytgxyxy 0vq 2vqM222yxyM从偶极流的势函数表达式(9.22)和流函数表达式(9.23)可以看出，等势线和流线都是圆。并且两者正交.还可以得到得到偶

15、极流的两个速度分量： 22222)(2)(yxxyMxVx222)(2)2(yxyxMyVyvq不带环量的圆柱绕流不带环量的圆柱绕流 ( (均匀直线流偶极流均匀直线流偶极流) ) 我们将一个均匀平行流和偶极流叠加，就可以得到理想流体绕圆柱的平面有势流动。图绘出了这两个势流叠加后流动的示意图。 图图9.5 9.5 均匀平行流偶极流理想流体绕均匀平行流偶极流理想流体绕圆柱的流动圆柱的流动对于一个流动平行于 x 轴的流速为 的均匀平行流，其流函数和势函数分别为：VxVyV11, 2222222, 2yxxMyxyM)(212222221yxVMyVyxyMyV)(212222221yxVMxVyxx

16、MxV对于偶极流，它的流函数和势函数则分别为 根据势流叠加原理，新构成的势流的势函数、流函数分别为上述势流的势函数、流函数的代数和。由上述流函数公式可知，在y=0 及半径为R的圆柱上，流函数 等于零，这是一条零流线，由此得到代入上述流函数和势函数公式得复合流动的流函数和势函数表达式 : RVM2rRrVrRyV222sin1rRrVrRxV222cos109-249-251 1 零流线零流线令(9.24) 式为零，即 ，有 y=0 及r=R 两个解，显然零流线是 x轴和半径为R 的圆柱面，即零流线是一条从负无穷远沿轴来的流线，在圆柱的前驻点与圆柱相撞，分为图图9.6 9.6 零流线零流线分为上

17、下两条流线，研圆柱的上表面和下表面流动，然后在圆柱的后驻点又汇合成一条流线，再沿x 轴正向朝正无穷远流去。 2 2 远场流动远场流动 将势函数表达式 (925)分别对x,y求偏导数，可得这两个方向的分速为 2222222222sincos1)(rRVyxyxRVVxVx222222sincos2)(2rRVyxyxRVyVyr 由上两式可知，当时 ， ，这表明，在离圆柱体无穷远处，流体速度是平行于 x轴的流动，且等于均匀平行来流的速度 。这有力地说明，复合速度势是代表了圆柱绕流问题。0,yxVVVV3 3圆柱表面流动圆柱表面流动 将速度势对径向和切向求偏导数，得到复合流动的径向和切向分速：)1

18、 (cos22rRVrVr)1 (sin22rRVrV在圆柱表面， ，根据上两式，可得 ，这表明在圆柱表面这新的复合流动是紧紧贴着圆柱表面的，各处的流动速度与圆柱表面相切。在前驻点， ，在后驻点 ，圆柱表面各点的绝对速度 ，当 ，圆柱表面的速度大小只与角度 有关。 又一次证明这复合流动是理想流体绕圆柱的流动。Rrsin2, 0VVVr0,V0, 0Vsin2 VVVV2, 2 /4 4圆柱表面压强分布圆柱表面压强分布因为这复合流动是有势流，故柏努利方程全场满足。若建立无穷远处与圆柱表面的柏努利方程，则可以导出圆柱表面的压强分布规律来： )sin4(2121212222VpVpVpss)sin41 (21)sin4(212122222VpVVpps2