案例第五组炀2014b

1、2014 高教社杯大学生数学建模竞赛编 号页赛区评阅编号（由赛区评阅前进行编号）：赛区评阅（可供赛区评阅时使用）：统一编号（由赛区送交前编号）：评阅编号（由评阅前进行编号）：创意平板折叠桌参数的优化设计摘要某公司生产一种创意平板折叠桌。本文根据设计要求，通过建立数学模型对该创意平板折叠桌的参数进行优化设计，并描述其从平板到完全展开的动态变化过程。问题一：将桌面视为与各桌腿木条等宽等高且共线的多个木条拼接成的圆面。将桌视为各桌腿木条宽边中点的连线。首先运用平面几何知识，求出平板所有木条面的长度，及平板状态时钢筋到各桌面木条宽边中点的距离。然后建立空间直角坐标系，运用空间几何知识，求出完全展开时钢

2、筋到各桌面木条宽边中点的距离，从而求出各桌腿木条的槽长；求出该桌各展开状态下各桌脚的坐标，用拟合，确定各展开状态下桌脚问题函数。立稳定性更大、量更小、用料更小的多目标优化模型，来设计参数。基于等截面细长中心受压直杆临界载荷计算公式（公式）考虑的最长木条承重量、四根最长木条与地面的四个接触点围成的面积、所有木条形成的结构重心高度综合反映创意平板折叠桌的稳定性。以木条数量以及空槽的总长反映量。所有木条体积和（即平板体积）反映用料量。通过将次级目标纳入限定条件以及逐层选优的方法将多目标转化为单目标进行求解。问题三：首先，建立投影接木模型，以钢筋位置为变量，定量确定基于客户期望的平板折叠桌的各参数函数

3、。从而在问题二模型基础上，确定量函数、用料函数、以及稳定性函数。运用熵权法赋权重后，求解使目标函数最优的钢筋位置，从而求解各参数。：平面及空间几何 拟合 多目标逐层优化 投影接木 熵权法1一、问题重述一种平板折叠桌，若干木条桌腿被分成两组，通过铰链连于桌面，可以旋转。每组有一根钢筋穿过该组木条空槽，空槽有一定长度保证木条可滑动。未展开平板，完全展开后，均直纹曲面。1.给定长方形平板长、宽、高、木条宽度、完全展开后桌高的数据，并已知钢筋固定在最外侧木条重心。建立数学模型描述该桌从未展开到完全展开这一动态过程，计算其设计参数并用数学方法描述桌角。2.给定完全展开时的桌高与圆形桌面直径，求出桌子的最

4、优设计参数，使得桌子的稳固性好，易与用料少。3.建立数学模型，对任意完全展开时的桌高和桌面、桌脚边缘形状，求出可行最优设计参数和未展开时平板形状意图描述其动态变化。运用该模型给出几个设计，并画 8 张及以上示二、模型假设假设 1：钢筋横截面积很小，忽略不计。假设 2：钢筋远远重于木条。假设 3：铰链非常稳固。假设 4：平板状态时，各木条没有间隙。三、符号说明2符号说明li第 i 个桌腿木条长度li '平板上与第 i 个桌腿木条共线的桌面木条长度a、b、c平板长、宽、高d木条宽度ai第i 根木条所在直线与 Y 轴的夹角bi第i 根木条底面所在直线与 Z 轴夹角h桌面下表面到地面高度H桌面

5、上表面到地面高度Ci桌腿木条开槽长度M桌的载重量F每根最长木条可受的临界力m长度系数E材料的弹性模量I压杆横截面对中心轴的最小惯性矩四、模型建立与问题求解（一）问题一1. 题目分析问题一中给定平板与桌子的，钢筋的位置，可以把桌子底面的中心为原点，通过建立相应的空间坐标系，计算木条开槽长度等设计参数及描述折叠过程中桌脚中点连接形成的的变化过程及其最终的数学描述。由图可以发现钢筋在最前与最后的两根木条形成的线段与桌面平行。2. 模型建立2.1 建立坐标系如图，把桌子底面的中心为原点，以平行钢筋的x 轴，以桌面的平面上垂直y 轴方向，以竖直向上为 z 轴正方向，建立相应的空间坐标系（桌折叠后钢筋的的

6、状态如图 1），其中 A 为最长桌腿与桌面的点，C 为最长桌腿与地面的接触点。的交点，B 为钢筋固定在最长木条上图 1 坐标系示意图3S四个支撑点所围成的面积Y各木条空槽的总长度（量）S '用料量zB钢筋高度2.2 描述折叠桌的动态变化过程首先我们需要求得桌未折叠时各桌腿的长度li 以及组成桌面的木条长度的li ' ，其中a、b、c 分别为木板的长、宽、高， d 为木条的宽， i 表示从最长桌腿数起的第i 根木条（因折叠桌的对称性，故先只描述折叠桌 1/4 的情况，即以下公式中i = 1,2,.,10 ）：li = (a - li ')/ 2ö2（1.1）2i

7、 -1æl ' = 2r 2 - ç r -d ÷iè2ø根据所建立的坐标系，我们可以得到从 X 轴负方向所看到的折叠后桌的示意图，（如图 2），其 A、B、C 点与图 1 中相同，CD 为最长木条的末端线段，ai 表示第i 根木条与 Y 轴夹角， bi 表示第i 根木条底面所在直线与 Z 轴夹角。图 2 折叠后桌的示意图ZAYa1b1B（钢筋固定点）DC利用桌的折叠过程中的几何关系分析可得每条桌腿边缘点随ai 变化的过程，以最长桌腿的运动为例，可知其运动过程中桌腿底面中点即 C 点的坐标变化如下：x = r - dC2yC = l1

8、' / 2 + l1 ´sin b1zC = -l1 ´ cos b1（1.2）hl其中cos b1 =， h = H - b ， H 为桌面高度。1根据相同规律即可求得剩余桌腿的对应 C 点的坐标变化。2.3 桌腿木条的开槽长度由折叠桌的动态变化过程可知在平板状态第 210 根木条的铰链处距钢筋最近，此距离用Ci min 表示，而在折叠状态时铰链处距钢筋最远，此距离用Ci max 表示，则由几何求得桌腿木条的开槽长度Ci (i = 2,3,.,10)：4= li - l1 / 2Ci minlC=´sina / sina1（1.3）i max1i2= C

9、i max -Ci minCi折叠状态时表示第i 根木条与 Y 轴的角度ai 的值可由以下公式求得：ö2æ b ö2æ lsina1+ çç1 ÷÷tana =è 2 øè 2 øiö2æ b ö2æ ll 'l '+ ç´ cosa1 - i 12ç1 ÷÷（1.4）è 2 øè 2 ø2hsina =122æ b &#

10、246;l +ç÷1è 2 ø2.4 桌角结合图 1 和 2，先根据ai 的值求得bi ，即：pbi =-ai - arctanæ dö（1.5）ç÷lè1 ø2并结合各桌腿长度及桌折叠后的状态，可求得各桌角底面末端中点的坐标值(xCi，yCi，zCi )，如下：= r - 2i -1 dxCi2= li ' / 2 + li ´sin bi= -li ´ cos bi的形状与方程。yCi zCi（1.6）将这些点进行拟合即可得桌面3. 模型的求解3.1 折叠桌的动态

11、变化过程的求解根据桌的折叠状态下所求得的ai 最大值，选取ai 在(5°，70°) 范围内以5° 为间距的值，利用公式（1.2）和（1.6），拟合出这些值所对对应时刻的桌角的变化过程描述折叠桌的动态变化过程，经求解可得每个角度的桌角下图，其坐标轴对应为图 1 所建坐标轴：，以此桌角的如图 3 动态变化过程图53.2 桌腿木条开槽长度的求解根据公式（1.3）和（1.4），可求解得第 2 到 10 根桌腿木条的开槽长度分别为表 1 桌腿木条开槽长度表其余木条开槽长度根据对称性即可对应得到。3.3 桌角的求解根据公式（1.5）和（1.6），可求得折叠后各桌腿末端的坐标，

12、经拟合可得其曲线图如下：图 4 桌角曲线图经多项式拟合后计算可得得此曲线方程为：x = 0.0224 y2 + 7.0985z = -0.0345 y2 - 30.9716（1.7）6编2345678910号开槽长度/cm4.04747.15749.723811.848413.576814.935415.941216.605916.9365（二）问题二1. 题目分析折叠桌参数优化设计以稳固性好、易、用材少为目标，所以首先需要用函数量，求解最外侧木条的最优长度和该木条上钢化上述目标。将多目标转化单目标筋的最优固置，从而求解对应的最优设计参数。2. 模型建立2.1 稳定性描述2.1.1 木条承重角

13、度定量描述稳定性：从材料力学角度，此折叠桌应保证桌面放置一定重量物体后，承重木条折断。则可用折叠桌的承重量描述桌的稳定性。其中一条最长桌腿的受力分析如下图所示（忽略钢筋固定点的受力），其中M 为桌的载重量， F 为每根最长木条可受的临界力：图 5 最长桌腿受力分析图ZAYMg4Fb1DC根据等截面细长受压直杆临界载荷计算公式（公式），根最长木条可受的临界力只与木条的长度和性质有关，当木条所受力大于临界力时，木条会朝 CD 方向弯曲并断裂。故由木条的长度、性质以及桌的折叠状态的几何关系，结合桌的载重量与木条长度的关系：公式，可得到折叠p2EIF =(l )2m（2.1）1cos b = Mg14

14、F其中m为长度系数，此系数大小与杆端支承有关，因折叠后最长桌腿相当于两端固7定，则取m= 0.5 ； E 为材料的弹性模量，查表可知木材的弹性模量为11Gpa ； I 为压杆横截面对中心轴的最小惯性矩，其计算方法如下：d ´ b3I =（2.2）122.1.2 整体结构角度定性描述稳定性由工程力学知识可知，折叠桌的稳定性也与折叠桌的支撑面面积和重心位置有关， 支撑面面积越大，重心位置越低，越靠近中心轴，则折叠桌越稳定。其中支撑面的面积即为四个支撑点所围成的面积，由几何计算得到：S = 4ræ l1 ' + l sin b öç21 ÷（

15、2.3）1èø而由于钢筋质量远大于木条质量，所以在计算重心时忽略木条质量对重心的影响， 只考虑钢筋位置对重心的影响。则分析桌的折叠状态，可知重心始终位于中心轴上，所以钢筋位置越低，重心位置就越低。2.2.3 稳定性函数结合以上对稳定性的分析可知则折叠桌的承重量和支撑面积越大，则折叠桌的稳定性越强，即：ìMax MÞ Max SMí Max Sî故所求的目标函数即为稳定性函数表。2.3量函数因折叠桌量，即可得过程中各零件的量的函数为：量相差不大，故以各木条空槽的总长度衡量10Y = 4åCii=2其中各木条槽长计算方法见公式（

16、1.3）。（2.4）2.4 用料函数忽略过程中木条原材料的损耗，所有木条体积和（即展开状态时平板体积）可反映用料量，即可得用料量的函数为：æ l'öS ' = 4r+ç21l÷（2.5）1èø2.5 多目标转化为单目标模型2.5.1 多目标由题意可建立一个多目标个目标，即：，其目标分别为使稳定性最大、量及用料最少三8Max SM Min S 'Min 4åCii=2102.5.2 将多目标转化为单目标结合实际生活，根据上述三个目标函数的重要性，选择稳定性作为首要的目标.同时根据生活中一般桌椅的承重量设

17、定最低承重量为 100kg，此承重量所对应的最长桌腿的长度即为其长度的最大值，并通过几何得最长桌腿的最短长度。所得单目标模型如下：Max z = SMìS ' > pr 2ïrl1 's.t.íl1 > 2 -2ï M³ 100î求解此模型可得到最优的最长木条长度l1 。2.5.3 确定钢筋位置求得最长桌腿的最优解后，即可进一步确定钢筋位置，此时钢筋被限制在最长桌腿所在直线上运动。不断改变钢筋高度，所对应的量也会随之发生变化，其变化的曲线为一递增曲线，故量会随着钢筋高度的降低而减小，而当钢筋位置减小时，重心

18、也会随之而减小，故钢筋位置越低越好。然而折叠状态时钢筋固定点距最短桌腿铰链处的距离需小于或等于最短桌腿的长度，据此可确定钢筋位置的最低点。3. 模型的求解由题意已知需算桌面圆半径r = 40cm ，桌面高度 H = 70cm ，本文认为木条的宽度与桌面半径成正比，木板高度与问题一一致，即b = 3cm ，则结合问题一数据可得问题二需求的桌面底面距地面高度h = 67cm ，木条宽度d = 4cm 。结合公式（2.1），（2.2），（2.3）和（2.5），求解单目标 模型，可求得最优值为l1 = 87.1cm 。由所求得的最长桌腿长度及公式（1.1），可求得木板为199.2 ´ 80

19、´ 3(cm3 )，钢筋固定点在折叠后离地面高度为33.95cm ，第 210 根桌腿长度的开槽长度见下表：表 2 开槽长度表9编2345678910号开槽长19.7832.1340.8247.2352.0055.5158.0059.5860.36（三）问题三1.问题分析用户通过给出桌高、桌面形状大小和桌脚大致形状定制折叠桌。首先建立投影接木模型,定量地对桌子的形状进行数学描述，基于模型二，以钢筋高度为变量，求出量函数和用料函数，生成数据。熵权法赋权重，求出使量少、用料少、重心低的最优钢筋高度。通过钢筋高度给出设计参数。2.模型建立2.1 投影接木模型2.1.1 建立空间直角坐标系、

20、极坐标系重新建立新的空间直角坐标系并在此基础上建立极坐标系，其中Oi 为每条桌腿木条的铰链处，以此为原点建立i 个不同的极坐标系，其部分如下图所示：图6空间直角坐标系与极坐标系示意图10度/cm2.1.2 单目标模型基于问题立以稳定性函数的最大值为目标函数的单目标模型，其约束条件也与问题二相似，则建立单目标模型如下：Max z = SMìS ' > pr 2ïrl1 's.t.íl1 > 2 -2ï M³ 100î（3.1）求解此模型可得到最优的最长木条长度l1 。2.1.3投影在所建立的直角坐标系中，确定

21、每根木条桌脚在地面上的投影坐标。在极坐标系中，根据钢筋位置和铰链位置，确定各木条长度及木条方向。具体函数见附录二。2.2 基于熵权法的逐级多目标根据各桌腿末端均要高于地面，且钢筋的位置须在桌面边缘与 X 轴平行的切线平面（该平面垂直于地面）与地面的所隔成的空间范围内移动，可以确定钢筋高度的约束范围。在钢筋高度的范围内以一间距取值，求各个值所对应的用料量及量。利用这些数据，对其进行处理，并用熵权法求出钢筋高度、用料量及量的权重。利用这些权重可将多目标转化为单目标，此单目标的目标函数为：nMin z = w1 zB + w2 S '+w3 4åCii=2求解可得满足最优解的钢筋高

22、度，从而可求得优化的各设计参数。（3.2）3 模型求解我们选取桌的高度为 100cm，桌面为半径为 30cm 的圆形，桌脚投影为半圆，其方程如下）为一设计方案。x2 + (y - 70.5226)2 = 28.752求解步骤如下：为一弧形（其（3.3）求解（3.1）的单目标模型，可求得最长木条长度l1 = 93.478 ，结合钢筋高度的约束条件，可得到钢筋高度的范围即 zB = 45.8，65.2。根据钢筋高度范围内取得的用料量及量，采用熵权法可求得权重：w1 = 0.8389, w2 = -0.4091, w3 = 0.5702的目标函数，求解可得满足最优解的钢筋高度 zB = 56.5cm

23、 ，以从而确定单目标及开槽长度：11表3开槽长度表可求得动态图如下：12编号23456789101112开槽长度/cm2.194.256.258.169.9111.4612.7813.8614.6815.2215.491314五、模型的误差分析1.忽略钢筋横截面积会造成微小误差。2 计算重心时忽略木条重量会使计算重心比实际重心偏低六、模型的评价优点：第一题采用平面几何和空间几何求解，简单清楚。第二题对于从材料和结构15两个角度考虑稳定性，较为全面。多目标，能很好地兼顾客户和生产者的利益需求。第三题开创性的建立投影接木的模型，较准确地对定制桌子进行数学描述。缺点：多目标转单目标时，采用递进选优，

24、未必是最优解七、模型的推广本文根据设计要求，通过建立数学模型对创意平板折叠桌的参数进行优化设计，并描述其从平板到完全展开的动态变化过程。基于本文的模型，可以解决类似家具的加工参数优化设计。16八、参考文献1234公路，2016，数学建模方法及其应用M，北京：高等教育，2005。，但琦，数学建模与数学实验(第 2 版)M，北京：高等教育，2003。，数学模型M.北京：高等教育，2003。，桥梁下部结构的稳定性分析及其计算长度的实用计算方法J，5肖晓阳，“结构与稳定性”教学问题探讨J，福建教育学院学报，201417九、附录附录一问题一clc clearfor i=1:10x(i)=sqrt(625

25、-(25-2.5*i+1.25)2);%以圆的下方中心为原点，每个凹槽的横坐标，凹槽长度y(i)=25-2.5*(i-1);%凹槽前面纵坐标changdu(i)=60-sqrt(625-(25-2.5*i+1.25)2);%假设圆经过每个凹槽的中点endfor i=11:20 changdu(i)=changdu(21-i); x(i)=x(21-i);y(i)=-1*y(21-i); end%凹槽前面纵坐标gangjing(1)=changdu(1)/2;%钢筋到第一条末端，凹槽的距离aocao(1)=x(1);aocao(20)=x(20); for i=2:19gangjing(i)=c

26、hangdu(i)-gangjing(1);%钢筋到每个凹槽的距离aocao(i)=x(i)-x(i-1);if aocao(i)<=0aocao(i)=x(i)-x(i+1); %每个凹槽“凸出/凹进”的长度end endj=asin(1.5/sqrt(changdu(1)2/4+1.52); b=sqrt(changdu(1)2/4+1.52);for aa=5:5:70 %最外面木条转过的角度a=aa/180*pi;g=aa/5; zgang(g,1)=b*sin(a-j);xgang(g,1)=b*cos(a-j)+60-changdu(1);%钢筋的坐标zmo(g,1)=cha

27、ngdu(1)*sin(a)*(-1);ymo(g,1)=25-1.25;xmo(g,1)=changdu(1)*cos(a)+60-changdu(1);%第一条末端中点坐标jiao(g,1)=0.5*pi-a;for i=2:10jj=atan(1.5/gangjing(i); if xgang(g,1)-x(i)>0jiao(g,i)=0.5*pi-atan(zgang(g,1)/(xgang(g,1)-x(i)-jj;%木条与竖直18垂线夹角elsejiao(g,i)=0.5*pi-atan(zgang(g,1)/(x(i)-xgang(g,1)+jj; %木条与竖直垂线夹角en

28、dendfor i=11:20jiao(g,i)=jiao(g,21-i);endfor i=2:20ymo(g,i)=25-1.25-(i-1)*2.5;xmo(g,i)=changdu(i)*sin(jiao(g,i)+60-changdu(i);zmo(g,i)=-1*changdu(i)*cos(jiao(g,i); end%后面的中点的立体坐标endfor i=1:10 x1=xmo(i,:);y1=ymo(i,:);z1=zmo(i,:); a1(:,i)=polyfit(y1,x1,2);b1(:,i)=polyfit(y1,z1,2);%拟合后的表plot3(x1,y1,z1)

29、;hold on End%clc clearfor i=1:10x(i)=sqrt(625-(25-2.5*i+1.25)2);%以圆的下方中心为原点，每个槽的横坐标y(i)=25-2.5*(i-1);%凹槽纵坐标changdu(i)=60-sqrt(625-(25-2.5*i+1.25)2);%假设圆经过每个槽的中点endfor i=11:20 changdu(i)=changdu(21-i); x(i)=x(21-i);y(i)=-1*y(21-i); endgangjing(1)=changdu(1)/2;%钢筋到第一条末端，前端的距离for i=2:20gangjing(i)=gang

30、jing(1)+x(1)-x(i);%平板时钢筋到每个槽的距离endjiajiao=asin(50/changdu(1)*180/pi;%外侧木条与地面夹角jiao(1)=90-jiajiao;%外侧木条与竖直垂线夹角j(1)=atan(1.5/gangjing(1);%钢筋与槽下端连线与木条夹角a=1.5/sin(j(1);jj=(jiajiao-j(1)*180/pi)/180*pi;19zz=sin(jj)*a;%钢筋的 z 轴坐标*（-1）xx=cos(jj)*a+60-changdu(1);%钢筋的坐标for i=2:19cao(i)=sqrt(zz2+(i)2-1.52)-gang

31、jing(i); if i>10cao(i)=cao(21-i);end endfor i=2:10%每根木条相对钢筋槽长度yy(i)=y(i);%钢筋在每一条外面的纵坐标j(i)=atan(1.5/gangjing(i);if(i)>0jiao(i)=0.5*pi-atan(zz/( jiao(i)=jiao(i)*180/pi; else(i)-j(i);%木条与竖直垂线夹角 角度值jiao(i)=0.5*pi-atan(zz/(x(i)-xx)+j(i);jiao(i)=jiao(i)*(-1)*180/pi; %木条与竖直垂线夹角 角度制end endfor i=11:20

32、jiao(i)=jiao(21-i);%木条与竖直垂线夹角 角度值yy(i)=y(i);%钢筋在每一条外面的纵坐标endfor i=1:20y1(i)=25-1.25-(i-1)*2.5;x1(i)=changdu(i)*cos(0.5*pi-jiao(i)/180*pi)+60-changdu(i);z1(i)=-1*changdu(i)*sin(0.5*pi-abs(jiao(i)/180*pi); endplot3(x1,y1,z1);aa=polyfit(y1,x1,2); bb=polyfit(y1,z1,2)%后面的中点的立体坐标问题二clc clearh=70;%桌子高度,厚度仍

33、未 3 厘米r=40;%圆半径,一根木条 4 厘米，20 根y=12.4899959967968,21.0713075057055,26.4575131106459,30.3973683071413,33.40 65861769801,35.7211421989835,37.4699879903904,38.7298334620742,39.5474398665704,39.9499687108764,39.9499687108764,39.5474398665704,38.7298334620742,37.4699879903904,35.7211421989835,33.406586176

34、9801,30.3973683071413,26.4575131106459,21.0713075057055,12.4899959967968;%铰链槽的一侧长度y1=12.4899959967968,8.58131150890868,5.38620560494043,3.93985519649542,3.00921786983881,2.31455602200337,1.74884579140689,1.25984547168378,0.817606404496210,0.402528844305976;%槽的“相对长度”20za=67;%第一个铰链槽中点坐标zc=0;%桌脚中点坐标ya=

35、12.4899959967968;%最中间木条的坐标39.9499687108764syms yb zb%木条向下的一面中间钢筋投影坐标yc=ya+(yb-ya)/(zb-za)*(zc-za);zuiduan=sqrt(zc-za)2+(yc-ya)2)+y(1)-y(10);%最短的木条长度zuiduangang=sqrt(yb-y(10)2+(zb-za)2);%第十根木条钢筋到铰链距离zuiduan=simplify(zuiduan);yongliao=(sqrt(yc-ya)2+(zc-za)2)+ya)*2*2*40*3; yongliao=simplify(yongliao);%

36、用料多少p=pi2*11*106*10(-8)*64*3*4/(0.5*0.01*sqrt(yc-ya)2+(zc-za)2)2; p=simplify(p);zhongliang=sum(y)*2*3*2.5*0.5*sqrt(yc-ya)2+(zc-za)2)/67*10(-6);% 密度默认为0.5zhongliang=simplify(zhongliang);qianhoubi=sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2)/sqrt(ya-yc)2+(za-zc)2); qianhoubi1=sqrt(ya-yc)2+(za-zc)2)/sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2);

37、wengu=yc*2*40*2/zb;wengu=simplify(wengu);%稳固性能jiao1=atan(zb-za)/(yb-ya);j=atan(1.5/sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2); yy=ya+sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2+1.52)*sin(jiao1-j); yy=simplify(yy);zz=sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2+1.52)*cos(jiao1-j); zz=simplify(zz);for i=2:10cao(i)=sqrt(yy-y(i)2+zz2-1.52)-(sqrt(yb-y(i)2+zb2)+y(1)-y(

38、i);end jiagong=sum(cao)*4+sum(y1)*4;jiagong=simplify(jiagong);%量%clc clearh=70;%桌子高度,厚度仍未 3 厘米r=40;%圆半径,一根木条 4 厘米，20 根for i=1:20y(i)=sqrt(402-(40-2-4*(i-1)2); if i>10y(i)=y(21-i);%铰链槽的一侧长度end endy1(1)=y(1);for i=2:10y1(i)=y(i)-y(i-1);%每个铰链槽的“相对长度” end21xa=40-2;%第一个铰链凹槽坐标xb=xa;%木条向下一面中点坐标xc=xa;%桌脚

39、中点坐标za=0; zc=-67;ya=sqrt(402-382); m=1;n=1;for i=12.5:1:38.5for j=1:66yb(m,n)=i;%木条下面的中点坐标zb(m,n)=-1*j;%木条下面的中点坐标yc(m,n)=ya+(zc-za)/(zb(m,n)-za)*(yb(m,n)-ya);%桌脚中点坐标changdu(m,n)=sqrt(yc(m,n)-ya)2+(zc-za)2);%最外侧木条长度jiajiao(m,n)=atan(yb(m,n)-ya)/(za-zb(m,n)*180/pi;%最外侧木条与竖直的夹角 角度制jiajiao1(m,n)=90-jiaj

40、iao(m,n);%最外侧木条与水平的夹角 角度制wengu(m,n)=2*yc(m,n)*2*r/(zb(m,n)+67);%稳固性能yongliao(m,n)=2*(changdu(m,n)+ya)*3*2*r;%用料，平板 V j1(m,n)=atan(1.5/sqrt(yb(m,n)-ya)2+(zb(m,n)-za)2);%钢筋与槽下端连线与木条夹角a=1.5/sin(j1(m,n);%最外侧木条斜条的一半jj(m,n)=(jiajiao1(m,n)-j1(m,n)*180/pi)/180*pi;zz(m,n)=sin(jj(m,n)*a;%钢筋的 z 轴坐标*（-1）yy(m,n)

41、=cos(jj(m,n)*a+y(1);%钢筋的坐标for g=2:10gangjing(g)=changdu(m,n)+ya-y(g)-sqrt(yb(m,n)-yc(m,n)2+(zb(m,n)-zc)2);% 总长度- 槽长度-钢筋到末端距离cao(g)=sqrt(zz(m,n)2+(yy(m,n)-y(g)2-1.52)-gangjing(g); % 每根木条相对钢筋槽长度endjiagong(m,n)=sum(cao)*4+sum(y1)*4;% n=n+1;endm=m+1; n=1;end，槽+凹槽l=1;for i=1:66for j=1:27 jiagong1(l,1)=ji

42、agong(j,i); yongliao1(l,1)=yongliao(j,i); wengu1(l,1)=wengu(j,i); l=l+1;22endendmax1=max(jiagong1); max2=max(yongliao1); max3=max(wengu1); min1=min(jiagong1); min2=min(yongliao1); min3=min(wengu1); for i=1:1782jiagong2(i,1)=(max1-jiagong1(i,1)/(max1-min1); yongliao2(i,1)=(max2-yongliao1(i,1)/(max2-m

43、in2); wengu2(i,1)=(wengu1(i,1)-min3)/(max3-min3);end R=jiagong2,yongliao2,wengu2; for i=1:3for j=1:1782 if R(j,i)<=0R(j,i)=0.00001;endRR(j,i)=R(j,i)*log(R(j,i);end Rr=sum(RR);X(1,i)=-1*1/log(1782)*Rr(1,i); endfor k=1:3W(1,k)=(1-X(1,k)/(3-sum(X);for p=1:1782R1(p,k)=R(p,k)*W(1,k);end endRsum=sum(R1

44、,2); Rmax=max(Rsum); find(Rsum=Rmax); for i=68:200chang(i-67)=i;p1(i-67)=pi2*11*106*10(-8)*64*3*4/(0.5*0.01*chang(i-67)2; s(i-67)=(sqrt(chang(i-67)2-672)+ya)*2*40;p1(i-67)=p1(i-67)*s(i-67);end plot(chang,p1);问题三clearclc %以桌面中心在下底面的投影为原点r=30;%假设一根木条宽度 2.5 厘米，圆的半径 30 厘米，直径 60 厘米，一侧 24 根木条=12*2h=73;%假定

45、高度为 73 厘米，厚度 3 厘米for i=1:2423y(i)=sqrt(302-(30-2.5*i+1.25)2);%以圆的下方中心为原点，每个铰链槽的长度x(i)=30-2.5*(i-1)-1.25;%铰链槽侧面中点坐标/桌脚中点坐标if i>12y(i)=y(25-i);end endy1(1)=y(1);for i=2:24 y1(i)=y(i)-y(i-1); if i>12y1(i)=y1(25-i);%铰链槽的相对距离end end%for i=70:300%chang(i-69)=i;%假设最长木条最长木条长度 93.47821%p(i-69)=pi2*11*1

46、06*10(-8)*2.53*3*4/(0.5*0.01*chang(i-69)2;%s(i-69)=(sqrt(chang(i-69)2-702)+y(1)*2*30;%sj(i-69)=p(i-69)*s(i-69);%end%plot(chang,sj);mutou=sqrt(93.478212-702);%最长木条在水平面上的投影长度yc(1)=mutou+y(1); %yc=70.5226xc(1)=x(1);%方程为：x2+(y-70.5226)2=28.752 for i=2:24xc(i)=x(i);yc(i)=-1*sqrt(28.752-x(i)2)+70.5226; if

47、 i>12yc(i)=yc(25-i);%每个桌脚后缘中点的投影坐标end endjiao=acos(70/sqrt(702+(yc(1)-y(1)2);%syms zgfor j=1:61%假定木条底面中点高度zb(j)=4+j;mutiao(j,1)=93.47821; mutiao1(j,1)=93.47821+y(1);yb(j)=y(1)+mutou-zb(j)*mutou/70;%欠限制钢筋位置的条件ll(j)=sqrt(yb(j)-y(1)2+(zb(j)-70)2+2.25);jj(j)=atan(1.5/sqrt(yb(j)-y(1)2+(zb(j)-70)2); yg

48、(j)=y(1)+cos(jiao-jj(j)*ll(j);zg(j)=70-sin(jiao-jj(j)*ll(j);%钢筋坐标for k=2:12zc(j,k)=70+(yc(k)-y(k)*(zg(j)-70)/(yg(j)-y(k);%其余木条脚的高度mutiao(j,k)=sqrt(yc(k)-y(k)2+(zc(j,k)-70)2);%所有木条长度mutiao1(j,k)=mutiao(j,k)+y(k);cao(k)=sqrt(yg(j)-y(k)2+(zg(j)-70)2)-(sqrt(yg(j)-y(1)2+(zg(j)-70)2)+y(1)-y(k); end24mutia

49、o11=sum(mutiao1,2);%四分之一圆的木头长度mutiao2(j)=mutiao(j)*2*2;%桌子所有的木头长度cao1(j)=sum(cao);end subplot(2,1,1);plot(zg,mutiao11);%木条+木槽的总长度与钢筋高度的关系subplot(2,1,2);plot(zg,cao1);%钢筋槽总长与钢筋高度关系clc clear h=70; H=73;ya=8.56956825050131,14.5236875482778,18.3285978732690,21.1763429326218,23.4 187424939940,25.21780125

50、22900,26.6634112596269,27.8107443266087,28.6956007081225,29.3417364857638,29.7647022494766,29.9739470207045,29.9739470207045,29.7647022494766,29.3417364857638,28.6956007081225,27.8107443266087,26.6634112596269,25.2178012522900,23.4187424939940,21.1763429326218,18.3285978732690,14.5236875482778,8.569

51、56825050131;%铰链槽的长度 za=70 yc=70.5225806454131,58.7965606004414,54.3207482539804,51.1576832689629,48.7281052822966,46.8055175487372,45.2738376540948,44.0650868893541,43.1364721247417,42.4601695991954,42.0182143725216,41.7997867673099,41.7997867673099,42.0182143725216,42.4601695991954,43.1364721247417

52、,44.0650868893541,45.2738376540948,46.8055175487372,48.7281052822966,51.1576832689629,54.3207482539804,58.7965606004414,70.5226000000000;%桌脚坐标 zc(1)=0 xa=28.7500000000000,26.2500000000000,23.7500000000000,21.2500000000000,18.7500000000000,16.2500000000000,13.7500000000000,11.2500000000000,8.75000000

53、000000,6.25000000000000,3.75000000000000,1.25000000000000,-1.25000000000000,-3.75000000000000,-6.25000000000000,-8.75000000000000,-11.2500000000000,-13.7500000000000,-16.2500000000000,-18.7500000000000,-21.2500000000000,-23.7500000000000,-26.2500000000000,-28.7500000000000;%铰链槽的横坐标xc=28.7500000000000,26.2500000000000,23.7500000000000,21.2500000000000,18.7500000000000,16.2500000000000,13.7500000000000,11.2500000000000,8.75000000000000,6.25000000000000,3.75000000000000,1.25000000000000,-1.2500000000