高等数学中极限问题的解法详析

1、数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式,

2、 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数yf(x)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N时，有且则有 . 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方

3、法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。例1 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例：1 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以 得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令 则 则. 因为 解方程得 所以 2：利用极限的四则运算性质求极限 极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且

4、和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因为 所以 3：利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式 (1) (2) 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例：求下列函数的极限4 (1) (2)

5、解：(1) 1(2) 14：利用单侧极限求极限 这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例：求 f(x)在x=0的左右极限 解：1 1 5：利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点连续 g()=,而y=f(u)在点连续，那么复合函数y=f(g(x)在点连续。即也就是说，极限号可以与符号f互换顺序。 例：求 解：令 ylnu, u 因为 lnu 在点 处连续 所以 16：利用无穷小量的性质求极限： 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果

6、,g(x)在某区间有界，那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例：求 解： 因为 所以 07：利用等价无穷小量代换求极限： 等价无穷小量：当时，称y,z是等价无穷小量：记为 yz 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。 例：求 解：88：利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在附近有定义，则 如果存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 .即在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点的导数。 例：求 解：取f(x)= .则 9

7、：利用中值定理求极限： 1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 () 在 连续 .()在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点，使 例2：求 解： 2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 上连续;g(x) 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得 例：求 解： 10：洛必达法则求极限： 洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 等于 A 时，那么也存在且等于A. 如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 。 例1：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述极限是待定型1(2

8、) 它为型 由对数恒等式可得 = 11：利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。 例：求 解：由于 可取函数 f(x)区间为上述和式恰好是 在 上n等分的积分和。 所以 12：利用级数收敛的必要条件求极限 利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限 例： 求 解：设 则 = =0<1由比值判别法知收敛 由必要条件知013：利用泰勒展开式求极限 泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么 (其中在0

9、与1之间) 例： 解：泰勒展开式 于是- 所以14：换元法求极限： 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。 例：3 求 解：令 则 1附:各种求极限问题及解题方法1约去零因子求极限例1：求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。【解】=42分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求极限例3：求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】例4：求极限【解】【注】本题除了使用分子有理化方法外

10、，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时,；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7：求极限【解】 .例8：求极限【解】6用罗必塔法则求极限例9：求极限【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔

11、法则求解例10：设函数f(x)连续，且，求极限【解】 由于,于是 =7用对数恒等式求极限 例11：极限 【解】 =【注】对于型未定式的极限，也可用公式=因为例12：求极限.【解1】 原式 【解2】 原式 8利用Taylor公式求极限 例13 求极限 .【解】 , ; .例14 求极限.【解】 .9数列极限转化成函数极限求解例15：极限【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限所以，10n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例16：极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成0,1定积分。【解】原式例17：极限【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解； (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】因为又所以12单调有界数列的极