高二定积分及其简单应用

1、 定积分及其简单应用定积分f(x)g(x)dx(f(x)>g(x)的几何意义是什么？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa，xb之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数3直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积为_解析：x2dxx3. 答案：4dx_.解析：由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2y21在第一象限内部分的面积，所以dx. 答案：例1、利用微积分基本定理求下列

2、定积分：(1)(x22x1)dx； (2)(sin xcos x)dx； (3)x(x1)dx；(4)dx； (5) sin2dx.解答(1)(x22x1)dxx2dx2xdx1dxx2x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3x2.(4)dxe2xdxdxe2xln xe4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(5) sin2 dxdxdxcos xdxxsin x.变式练习1求下列定积分：(1)|x1|dx；(2) dx.解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.(2)

3、 dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) 1(1)22.例2、dx_.解答dx表示y与x0，x1及y0所围成的图形的面积由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y与x0，x1及y0所围成的图形为个圆，其面积为.dx.在本例中，改变积分上限，求dx的值解：dx表示圆(x1)2y21在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以dx.变式练习2(2013·福建模拟)已知函数f(x)(cos tsin t)dt(x>0)，则f(x)的最大值为_解析：因为f(x)sindtcoscosc

4、os sin xcos x1sin11，当且仅当sin1时，等号成立答案：1归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小4、 拓展延伸 能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、 (2012·山东高考)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4 C. D6解答 由y及yx2可得，x4，即两曲线交于点(4,2)由定积分的几何意义可知，由y及yx2及y轴所围成的封闭图形面积为(x2)dx. 答案C若将“yx2”改为“yx2”，将“

5、y轴”改为“x轴”，如何求解？解：如图所示，由y及yx2可得x1.由定积分的几何意义可知，由y，yx2及x轴所围成的封闭图形的面积为f(x)dxdx(x2)dxx. 变式练习3(2013·郑州模拟)如图，曲线yx2和直线x0，x1，y所围成的图形(阴影部分)的面积为()A. B. C. D.解析：选D由x或x(舍)，所以阴影部分面积Sdxdx.定积分在物理中的应用例2、列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.设t s后的速度为v，则v200.4

6、t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20×500.2×502500(m)，即列车应在进站前50 s和进站前500 m处开始制动变式练习4一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为()A44 JB46 J C48 J D50 J解析：选B力F(x)做功为10dx(3x4)dx10x202646.例3、(2012·上海高考)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函数yxf(x)(0x1)

7、的图象与x轴围成的图形的面积为_解析由题意可得f(x)所以yxf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx(10x10x2)dxx3.答案变式练习1由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A. B. C. D.解析：选A由得x0或x1，由图易知封闭图形的面积(x2x3)dx.2(2012·山东高考)设a>0.若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析：由题意dxa2.又，即xa2，即aa2.所以a.5、 课后作业 巩固提高1.dx()Aln xln2xB.1 C. D.解析：选Cdx.2(2012·湖北高考)已知二次函数yf(x)的图象如图所示

8、，则它与x轴所围图形的面积为()A. B. C. D.解析：选B由题中图象易知f(x)x21，则所求面积为2(x21)dx2.3设f(x)则f(x)dx()A. B. C. D不存在解析：选C如图f(x)dxx2dx(2x)dxx3.4以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A. m B. m C. m D. m解析：选Av4010t20，t2，(4010t2)dt40×2×8 (m)5(2013·青岛模拟)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析：选D结合

9、函数图象可得所求的面积是定积分cos xdxsin x.6设asin xdx，则曲线yf(x)xaxax2在点(1，f(1)处的切线的斜率为_解析：asin xdx(cos x)2，yx·2x2x2.y2xx·2xln 22.曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率ky|x142ln 2.答案：42ln 27在等比数列an中，首项a1，a4(12x)dx，则该数列的前5项之和S5等于_解析：a4(12x)dx(xx2)18，因为数列an是等比数列，故18q3，解得q3，所以S5.答案：8(2013·孝感模拟)已知a，则当(cos xsin x)dx取最大值时，a_.解

10、析：(cos xsin x)dx(sin xcos x)sin acos a1sin1，a，当a时，sin1取最大值答案：9计算下列定积分：(1) sin2xdx； (2)2dx； (3)e2xdx.解：(1) sin2xdxdx0.(2)2dxdx(24ln 2)ln 3ln 2ln .(3) e2xdxe2xe.10如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解：抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx.又由此可得，抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.11如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线yx2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线yx2及直线