高等数学答案 平面与直线

1、习 题 631、求下列各平面的方程：（1）过点且以为法向量的平面；（2）过三点的平面；（3）过点且与平面平行的平面；（4）通过x轴和点(4, -3, -1)的平面； （5）过点，且垂直于平面和的平面.（6）6 过原点及点，且与平面垂直的平面；解（1）：平面的点法式方程为.（2）设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.（3）依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为 即 .（4）平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, 即A=0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B

2、-C=0, 或C=-3B . 将其代入所设方程并除以B (B0), 便得所求的平面方程为y-3z=0.（5） 取法向量所求平面方程为化简得: （6）6设所求解 设平面为由平面过点知平由平面过原点知， ，所求平面方程为2、 求平行于而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为 由所求平面与已知平面平行得化简得令代入体积式 或所求平面方程为或.3、求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2） 过点且与直线平行的直线.（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.（5）通过点且与两直线和垂直的直线；（6）通过点且与平面垂直的直线.解：（1）所求

3、的直线方程为：即：，亦即.（2）依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为.（3）所求直线的方向向量为：，故直线方程为：.（4）因为直线和轴垂直相交, 所以交点为取所求直线方程（5）所求直线的方向向量为：，所以，直线方程为：.（6）所求直线的方向向量为：，所以直线方程为： .4、求直线的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点,取 解.所求点的坐标为,取直线的方向向量,所以直线的点向式方程为： 令则所求参数方程: 5、求下列各平面的方程：（）通过点，且又通过直线的平面；（）通过直线且与直线平行的平面；（）通过直线且与平面垂直的平面；（4）. 求过点与直线垂直的平面方程.解：（）因为所求的平面过

4、点和，且它平行于向量，所以要求的平面方程为：, 即.（）已知直线的方向向量为，平面方程为：,即（）所求平面的法向量为，平面的方程为：，即.（4）.所求平面的法向量为，则平面的方程为：, 即 .6、分别在下列条件下确定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使与表示二平行平面；（3）使与表示二互相垂直的平面；（4）使直线与平面平行；（5）使直线与平面垂直.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：，解之得 ，.（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：，所以，.（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以： .（4）欲使所给直线与平面平行，则须：即.（5）欲使所给直线与平面垂直，则须：，所以

5、：.7、求平面与的夹角；解：设与的夹角为，则 .8、验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角.解： 直线与平面相交.又直线的参数方程为：设交点处对应的参数为，从而交点为（1，0，-1）.又设直线与平面的交角为，则：，.9、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）与；（2）与.解：（1）将所给的直线方程化为标准式为： 二直线平行.又点与点（7，2，0）在二直线上，向量平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：，从而平面方程为：，即 .（2）因为，所以两直线不平行，又因为，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为，二直线所

6、决定的平面的方程为：.设两直线的夹角为，则.10、判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.解（1），而，所以，直线与平面平行.（2）,所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点，显然点在也在平面上（因为），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为，直线与平面相交但不垂直.11、 求点到平面的距离.解：利用点到平面的距离公式可得.12、求点到直线的距离.解：直线的标准方程为：所以p到直线的距离 .13、求点在平面上的投影.解： 过点作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量，所以垂线方程为，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程，代入平面方程求得，故投影为.14、求直线 在平面上的投影直线的方程 解：应用平面束的方法设过直线的平面束方程为即这平面与已知平面垂直的条件是,解之得代入平面束方程中得投影平面方程为，所以投影直线为.15、求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面： （1）通过原点； （2）与轴平行；（3）与平面垂直.解：