高考新课标数学数列大题精选50题(含答案、知识卡片)

1、高考新课标数学数列大题精选50题（含答案、知识卡片）一解答题（共50题）1 （2019全国）数列an中，a1，2an+1an+an+1an0（1）求an的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+an1an的n的最大值2（2019新课标）记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5（1）若a34，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围3（2019新课标）已知数列an和bn满足a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式4（2019新课标）已知an是各项均为正数的等比数列，

2、a12，a32a2+16（1）求an的通项公式；（2）设bnlog2an，求数列bn的前n项和5（2018新课标）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值6（2018新课标）已知数列an满足a11，nan+12（n+1）an，设bn（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；（3）求an的通项公式7（2018新课标）等比数列an中，a11，a54a3（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和若Sm63，求m8（2017全国）设数列bn的各项都为正数，且（1）证明数列为等差数列；（2）设b11

3、，求数列bnbn+1的前n项和Sn9（2017新课标）已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2+b22（1）若a3+b35，求bn的通项公式；（2）若T321，求S310（2017新课标）记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列11（2017新课标）设数列an满足a1+3a2+（2n1）an2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和12（2016全国）已知数列an的前n项和Snn2（）求an的通项公式；（）记bn，求数列bn的前n项和13（2016新课标

4、）已知数列an的前n项和Sn1+an，其中0（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5，求14（2016新课标）已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn+1+bn+1nbn（）求an的通项公式；（）求bn的前n项和15（2016新课标）已知各项都为正数的数列an满足a11，an2（2an+11）an2an+10（1）求a2，a3；（2）求an的通项公式16（2016新课标）等差数列an中，a3+a44，a5+a76（）求an的通项公式；（）设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.6217（2016新课标）Sn为等差数

5、列an的前n项和，且a11，S728，记bnlgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg991（）求b1，b11，b101；（）求数列bn的前1000项和18（2015全国）已知数列an的前n项和Sn4an（）证明：数列2nan是等差数列；（）求an的通项公式19（2015新课标）Sn为数列an的前n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设bn，求数列bn的前n项和数列全国高考数学试题参考答案与试题解析一解答题（共50小题）1（2019全国）数列an中，a1，2an+1an+an+1an0（1）求an的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+an1

6、an的n的最大值【分析】（1）由2an+1an+an+1an0可得，可知数列是等差数列，求出的通项公式可得an；（2）由（1）知，然后利用裂项相消法求出a1a2+a2a3+an1an，再解不等式可得n的范围，进而得到n的最大值【解答】解：（1）2an+1an+an+1an0，又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ，；（2）由（1）知，a1a2+a2a3+an1an，a1a2+a2a3+an1an，4n+242，n10，nN*，n的最大值为9【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式和裂项相消法求出数列的前n项和，考查了转化思想，关键是了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根

7、据数列的递推公式构造新数列，属中档题2（2019新课标）记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5（1）若a34，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【分析】（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为d，由S9a5，即可得S99a5a5，变形可得a50，结合a34，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若Snan，则na1+da1+（n1）d，分n1与n2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案【解答】解：（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为d，若S9a5，则S99a5a5，变形可得a50，即a1+4d0，若a34，则d2，则ana3+

8、（n3）d2n+10，（2）若Snan，则na1+da1+（n1）d，当n1时，不等式成立，当n2时，有da1，变形可得（n2）d2a1，又由S9a5，即S99a5a5，则有a50，即a1+4d0，则有（n2）2a1，又由a10，则有n10，则有2n10，综合可得：n的取值范围是n|1n10，nN【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题3（2019新课标）已知数列an和bn满足a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式【分析】（1）定义

9、法证明即可；（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得【解答】解：（1）证明：4an+13anbn+4，4bn+13bnan4；4（an+1+bn+1）2（an+bn），4（an+1bn+1）4（anbn）+8；即an+1+bn+1（an+bn），an+1bn+1anbn+2；又a1+b11，a1b11，an+bn是首项为1，公比为的等比数列，anbn是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：an+bn（）n1，anbn1+2（n1）2n1；an（）n+n，bn（）nn+【点评】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题4（2019新课标）已知an是各项均为正数的等比数列，a

10、12，a32a2+16（1）求an的通项公式；（2）设bnlog2an，求数列bn的前n项和【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的an的通项公式代入bnlog2an，得到bn，说明数列bn是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由a12，a32a2+16，得2q24q+16，即q22q80，解得q2（舍）或q4；（2）bnlog2an，b11，bn+1bn2（n+1）12n+12，数列bn是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列bn的前n项和【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考

11、查对数的运算性质，是基础题5（2018全国）已知数列an的前n项和为Sn，a1，an0，an+1（Sn+1+Sn）2（1）求Sn； （2）求+【分析】（1）由数列递推式可得（Sn+1Sn）（Sn+1+Sn）2，可得Sn+12Sn22，运用等差数列的定义和通项公式可得所求Sn；（2）化简（）（），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和【解答】解：（1）a1，an0，an+1（Sn+1+Sn）2，可得（Sn+1Sn）（Sn+1+Sn）2，可得Sn+12Sn22，即数列Sn2为首项为2，公差为2的等差数列，可得Sn22+2（n1）2n，由an0，可得Sn；（2）（）（），即+（1+2+

12、）（1）【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的递推式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题6（2018新课标）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【分析】（1）根据a17，S315，可得a17，3a1+3d15，求出等差数列an的公差，然后求出an即可；（2）由a17，d2，an2n9，得Snn28n（n4）216，由此可求出Sn以及Sn的最小值【解答】解：（1）等差数列an中，a17，S315，a17，3a1+3d15，解得a17，d2，an7+2（n1）2n9；（2）a17，d2，a

13、n2n9，Snn28n（n4）216，当n4时，前n项的和Sn取得最小值为16【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题7（2018新课标）已知数列an满足a11，nan+12（n+1）an，设bn（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；（3）求an的通项公式【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项（2）利用定义说明数列为等比数列（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式【解答】解：（1）数列an满足a11，nan+12（n+1）an，则：（常数），由于，故：，数列bn是以b1为首项，2为公比的等比数列整理

14、得：，所以：b11，b22，b34（2）由于（常数），数列bn是为等比数列；（3）由（1）得：，根据，所以：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用8（2018新课标）等比数列an中，a11，a54a3（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和若Sm63，求m【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q±2，由此能求出an的通项公式（2）当a11，q2时，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，无解；当a11，q2时，Sn2n1，由此能求出m【解答】解：（1）等比数列an中，a11，a54a31×q44×（1×q2），解得q

15、±2，当q2时，an2n1，当q2时，an（2）n1，an的通项公式为，an2n1，或an（2）n1（2）记Sn为an的前n项和当a11，q2时，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，无解；当a11，q2时，Sn2n1，由Sm63，得Sm2m163，mN，解得m6【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（2017全国）设数列bn的各项都为正数，且（1）证明数列为等差数列；（2）设b11，求数列bnbn+1的前n项和Sn【分析】（1）对已知等式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可得证；（2）由等差数列的通项公

16、式可得，所以，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和【解答】解：（1）证明：数列bn的各项都为正数，且，两边取倒数得，故数列为等差数列，其公差为1，首项为；（2）由（1）得，故，所以，因此【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，考查构造数列法，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题10（2017新课标）已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2+b22（1）若a3+b35，求bn的通项公式；（2）若T321，求S3【分析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列

17、方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，a11，b11，a2+b22，a3+b35，可得1+d+q2，1+2d+q25，解得d1，q2或d3，q0（舍去），则bn的通项公式为bn2n1，nN*；（2）b11，T321，可得1+q+q221，解得q4或5，当q4时，b24，a2242，d2（1）1，S31236；当q5时，b25，a22（5）7，d7（1）8，S31+7+1521【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式

18、的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题11（2017新课标）记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【分析】（1）由题意可知a3S3S2628，a1，a2，由a1+a22，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得an的通项公式；（2）由（1）可知利用等比数列前n项和公式，即可求得Sn，分别求得Sn+1，Sn+2，显然Sn+1+Sn+22Sn，则Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列【解答】解：（1）设等比数列an首项为a1，公比为q，则a3S3S2628

19、，则a1，a2，由a1+a22，+2，整理得：q2+4q+40，解得：q2，则a12，an（2）（2）n1（2）n，an的通项公式an（2）n；（2）由（1）可知：Sn2+（2）n+1，则Sn+12+（2）n+2，Sn+22+（2）n+3，由Sn+1+Sn+22+（2）n+22+（2）n+3，4+（2）×（2）n+1+（2）2×（2）n+1，4+2（2）n+12×（2+（2）n+1）2Sn，即Sn+1+Sn+22Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题12（2017新课标）

20、设数列an满足a1+3a2+（2n1）an2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和【分析】（1）利用数列递推关系即可得出（2）利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（1）数列an满足a1+3a2+（2n1）an2nn2时，a1+3a2+（2n3）an12（n1）（2n1）an2an当n1时，a12，上式也成立an（2）数列的前n项和+1【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（2016全国）已知数列an的前n项和Snn2（）求an的通项公式；（）记bn，求数列bn的前n项和【分析】（）运用数列的递推式：a1S1；n2时，anSnSn1，计算

21、可得所求通项；（）化简bn（），再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算可得所求和【解答】解：（）数列an的前n项和Snn2，可得a1S11；n2时，anSnSn1n2（n1）22n1，上式对n1也成立，则an2n1，nN*；（）bn（），则数列bn的前n项和为（1+）（1）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题14（2016新课标）已知数列an的前n项和Sn1+an，其中0（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5，求【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列

22、的定义进行证明求解即可（2）根据条件建立方程关系进行求解就可【解答】解：（1）Sn1+an，0an0当n2时，anSnSn11+an1an1anan1，即（1）anan1，0，an010即1，即，（n2），an是等比数列，公比q，当n1时，S11+a1a1，即a1，an（）n1（2）若S5，则若S51+（）4，即（）51，则，得1【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n2时，anSnSn1的关系进行递推是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力15（2016新课标）已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn+1+bn+1nbn（）求an的通项公式；（）求bn的前n项和

23、【分析】（）令n1，可得a12，结合an是公差为3的等差数列，可得an的通项公式；（）由（1）可得：数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：bn的前n项和【解答】解：（）anbn+1+bn+1nbn当n1时，a1b2+b2b1b11，b2，a12，又an是公差为3的等差数列，an3n1，（）由（I）知：（3n1）bn+1+bn+1nbn即3bn+1bn即数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，bn的前n项和Sn（13n）【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档16（2016新课标）已知各项都为正数的数列an满足a11，an2（2an+1

24、1）an2an+10（1）求a2，a3； （2）求an的通项公式【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n1可得a12（2a21）a12a20，将a11代入可得a2的值，进而令n2可得a22（2a31）a22a30，将a2代入计算可得a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将an2（2an+11）an2an+10变形可得（an2an+1）（an+an+1）0，进而分析可得an2an+1或anan+1，结合数列各项为正可得an2an+1，结合等比数列的性质可得an是首项为a11，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，an2（2an+11）an2an+10

25、，当n1时，有a12（2a21）a12a20，而a11，则有1（2a21）2a20，解可得a2，当n2时，有a22（2a31）a22a30，又由a2，解可得a3，故a2，a3；（2）根据题意，an2（2an+11）an2an+10，变形可得（an2an+1）（an+1）0，即有an2an+1或an1，又由数列an各项都为正数，则有an2an+1，故数列an是首项为a11，公比为的等比数列，则an1×（）n1（）n1，故an（）n1【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到an与an+1的关系17（2016新课标）等差数列an中，a3+a44，a5+a76（）求an的通项

26、公式；（）设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62【分析】（）设等差数列an的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（）根据bnan，列出数列bn的前10项，相加可得答案【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a3+a44，a5+a76，解得：，an；（）bnan，b1b2b31，b4b52，b6b7b83，b9b104故数列bn的前10项和S103×1+2×2+3×3+2×424【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档18（2016新课标）Sn为等差数列an的

27、前n项和，且a11，S728，记bnlgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg991（）求b1，b11，b101；（）求数列bn的前1000项和【分析】（）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（）找出数列的规律，然后求数列bn的前1000项和【解答】解：（）Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728，7a428可得a44，则公差d1ann，bnlgn，则b1lg10，b11lg111，b101lg1012（）由（）可知：b1b2b3b90，b10b11b12b991b100b101b102b103b9992，b10，003数列bn的

28、前1000项和为：9×0+90×1+900×2+31893【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力19（2015全国）已知数列an的前n项和Sn4an（）证明：数列2nan是等差数列；（）求an的通项公式【分析】（）当n1时，解得a11，当n2时，Sn4an，Sn14an1两式相减，得2an，由此能证明数列2nan是首项为2，公差为2的等差数列（）求出2nan2+（n1）×（2）42n，由此能求出an的通项公式【解答】证明：（）数列an的前n项和Sn4an当n1时，解得a11，当n2时，Sn4an，Sn14an1两式

29、相减，得2an，2×2nan2×2nan2×2n1an14，2n1an12，又2a12，数列2nan是首项为2，公差为2的等差数列（）数列2nan是首项为2，公差为2的等差数列，2nan2+（n1）×（2）42n，anan的通项公式为an【点评】本题考查等差数列的证明，考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（2015新课标）Sn为数列an的前n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设bn，求数列bn的前n项和【分析】（I）根据数列的递推关系，利

30、用作差法即可求an的通项公式：（）求出bn，利用裂项法即可求数列bn的前n项和【解答】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3两式相减得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，当n1时，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，则an是首项为3，公差d2的等差数列，an的通项公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），数列bn的前n项和Tn（+）（）【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键考

31、点卡片1等差数列的性质【等差数列】等差数列的通项公式为：ana1+（n1）d；前n项和公式为：Snna1+n（n1）或Sn （nN+），另一重要特征是若p+q2m，则有2amap+aq（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列an中，a1a2a3an且a3，a6为方程x210x+160的两个实根（1）求此数列an的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由解：（1）由已知条件得a32，a68又an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a1+2d2，a1+5d8，解得a12，d2an2+（n1）×22n4（nN*）数列an的通项公式为an2n4（2）令26

32、82n4（nN*），解得n136268是此数列的第136项这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式ana1+（n1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的【等差数列的性质】（1）若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减等差数列；若公差d0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，nN+，则aman+（mn）d；（4）若s，t，p，qN*，且s+tp+q，则as+atap+a

33、q，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t2p时，有as+at2ap； （5）若数列an，bn均是等差数列，则数列man+kbn仍为等差数列，其中m，k均为常数（6）an，an1，an2，a2，a1仍为等差数列，公差为d（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1an+an+2，2ananm+an+m，（nm+1，n，mN+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）2等差数列的通项公式【知识点的认识】ana1+（n1）d，或者anam+（nm）d【例题解析】eg1：已

34、知数列an的前n项和为Snn2+1，求数列an的通项公式，并判断an是不是等差数列解：当n1时，a1S112+12，当n2时，anSnSn1n2+1（n1）212n1，an，把n1代入2n1可得12，an不是等差数列 考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下eg2：已知等差数列an的前三项分别为a1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：等差数列an的前三项分别为a1，2a+1，a+7，2（2a+1）a1+a+7，解得a2a1211，a22×2+15，a32+79，数列an是以1

35、为首项，4为公差的等差数列，an1+（n1）×44n3故答案：4n3 这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可【考点点评】 求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点3等差数列的前n项和【知识点的认识】Snna1+n（n1）d或者Sn【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d1，S515，则S10解：d1，S515，5a1+d5a1+1015，即a11，则S1010a1+d10+4555故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前

36、n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可eg2：等差数列an的前n项和Sn4n225n求数列|an|的前n项的和Tn解：等差数列an的前n项和Sn4n225nanSnSn1（4n225n）4（n1）225（n1）8n29，该等差数列为21，13，5，3，11，前3项为负，其和为S339n3时，TnSn25n4n2，n4，TnSn2S34n225n+78，点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值【考点点评】 等差数列比较常见，单独考察等差数列的

37、题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用4等比数列的性质例：2，x，y，z，18成等比数列，则y解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则182q4，解得q23，y2q22×36故答案为：6 本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*） （2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 a

38、kalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：或an是递增数列；或an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列5等比数列的通项公式【知识点的认识】1等比数列的定义2等比数列的通项公式 ana1qn13等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项 G2ab （ab0）4等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*）（2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，

39、anbn，仍是等比数列（4）单调性：或an是递增数列；或an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列6等比数列的前n项和【知识点的知识】1等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q（q0），其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn2等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn7数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：等差数列前n项和公式：Snna1+n（n1）d或Sn等比数列前n项和公式：几

40、个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列an×bn的前n项和，其中anbn分别是等差数列和等比数列（3）裂项相消法：适用于求数列的前n项和，其中an为各项不为0的等差数列，即（）（4）倒序相加法： 推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an） （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 【典型例题分析】典例1：已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为Sn（）求an及Sn

41、；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：解：（）设等差数列an的公差为d，a37，a5+a726，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；Snn2+2n（）由（）知an2n+1，bn，Tn，即数列bn的前n项和Tn点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考8数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任

42、一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an在数列an中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n2，当n1时，a1S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解3、数列的通项的求法：（1）公式法：等差数列通项公式；等比数列

43、通项公式（2）已知Sn（即a1+a2+anf（n）求an，用作差法：an一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解（3）已知a1a2anf（n）求an，用作商法：an，（4）若an+1anf（n）求an，用累加法：an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（n2）（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n2）（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）特别地有，形如ankan1+b、ankan1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an形如an的

44、递推数列都可以用倒数法求通项（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明9数列与函数的综合【知识点的知识】一、数列的函数特性： 等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题二、解题步骤：1在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建

45、立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案2在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通3在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论【典型例题分析】典例：已知f（

46、x）logax（a0，a1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），f（an）是首项为4，公差为2的等差数列（I）设a为常数，求证：an成等比数列；（II）设bnanf（an），数列bn前n项和是Sn，当时，求Sn分析：（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出an的通项公式，再用定义来证an是等比数列即可；（II）先求出数列bn的通项公式，再对数列bn利用错位相减法求和即可解答：证明：（I）f（an）4+（n1）×22n+2，即logaan2n+2，可得ana2n+2为定值an为等比数列（II）解：bnanf（an）a2n+2logaa2n+2（2n+2）a2n+2（7分

47、）当时，（8分）Sn2×23+3×24+4×25+（n+1）2n+2 2Sn2×24+3×25+4×26+n2n+2+（n+1）2n+3 得Sn2×23+24+25+2n+2（n+1）2n+3（12分）（n+1）2n+316+2n+324n2n+32n+3Snn2n+3（14分）点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列10数列与不等式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求

48、和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明常用的放缩方法有：，（n2），（）（n2），2（）2（）+【解题方法点拨】 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性（7）常见模型：等差模型；