高等数学模拟练习80题

1、高等数学模拟练习80题一、单项选择题1、曲面是（ ）（A）平面上曲线绕轴旋转而成的旋转曲面（B）平面上曲线绕轴旋转而成的旋转曲面（C）平面上曲线绕轴旋转而成的旋转曲面（D）平面上曲线绕轴旋转而成的旋转曲面2函数在处的偏导数存在是在该处可微的（ ）条件A. 充分. B. 必要. C. 充分必要. D. 无关的3 函数在处可微是在该处连续的( )条件A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关的4. 函数在处的偏导数存在是在该处连续的( )条件A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关的5二元函数在点的偏导数存在，是在该点可微的（ ）.A充分条件. B必要条件. C充要条件. D无关

2、条件.6. 函数在（0，1）处的全微分（ ）A B C D.7、函数，则极限=（） 。(A)不存在(B)等于1 (C)等于零(D)等于2 8、设则（）(A) (B) (C) (D) 8设,则二重积分=（ ）A. B. C. D10. 设D为：，二重积分的值=（ ）A B C D11. 设D为：，二重积分的值=（ ）A B C D12设是圆域（其中）,是在第一象限部分区域，则=（ ）.A. B. C. D0.13.微分方程 的特解可设为( )A. B. C. D. 14微分方程 的特解应设为（ ）.A. . B. . C. . D. 15. 微分方程的特解可设为( )A. B. C. D. 16

3、微分方程的一个特解应有形式（式中为常数）（ ）.A. B. C. D.17下列级数中收敛的是（ ）. A . B . C . D 18. 若正项级数 收敛，则（ ）A1 B1 C1 D119. 若级数 绝对收敛，则（ ）A1 B1 C1 D120下列级数中发散的级数是（ ）.A. B. C. D.二、填空题1设向量，则向量积=2已知,如果与相互垂直，则3. 设向量，则数量积= -44已知向量与方向相反，且，则=。5. 已知，则=6设在点处的偏导数存在，则=7已知函数，则=8在点（2，1）处的全微分.9函数 在点处的梯度=10化二次积分为极坐标系下的二次积分=11，其中.12设，则二重积分=13

4、. 设D为：，二重积分的值=14若某二阶线性非齐次微分方程的两个解为和，且相应齐次方程的一个解为，则该非齐次方程的通解为 .15幂级数 的收敛半径=1016若级数收敛，则= .17幂级数的收敛区间是 .18. 幂级数 的收敛半径=119.已知级数的前n项部分和则此级数的通项。20.设幂级数的收敛半径是4，则幂级数的收敛半径是2 。三、计算下列各题1. 求过点M(3, 1, -2)且通过直线的平面方程在直线取点P=(4, -3, 0)，则，已知直线的方向向量为，设所求平面的法线向量与向量， . 所求平面的方程为 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0.

5、 2.证明：曲线上点处的法平面与直线 平行. 由已知得直线的方向向量 将曲线的交面式方程视为参数方程：，则曲线在点处的切向量为：此也为点处的法平面的法向量.易证有，故法平面与直线平行.3已知平面过点，且与两平面和都垂直，求平面的方程 平面的法向量又因为平面过点，所以平面方程为.4. 写出直线的对称式方程及参数式方程.，对称式方程为；参数式方程为.5. 已知直线L过点（1，2，3），且与两平面和平行，求直线L的方程由已知得直线的方向向量所以直线方程为.6求过点且通过直线的平面方程.由已知得所以平面方程为.7设，其中具有二阶连续偏导数求.，.8. 已知，其中具有二阶连续偏导数，求， .9. 已知，

6、求和由已知可得； 同理得10. 设，求和.由已知得，；.11设，具有二阶连续偏导数，求.；12设生产某种产品需用原料A和原料B，它们的单位价格分别是10元和15元，用单位原料A和单位原料B可生产该产品件，现要以最低成本生产该产品112件，问需要原料A和原料B各多少单位？设拉格朗日函数，分别对、求导，并令其为零，得，解得由实际问题知最值一定存在，所以要以最低成本生产112单位的该产品，需要A原料4单位和B原料2单位13.设方程确定函数，求全微分与及，于是， 14已知，其中具有二阶连续偏导数，求和，15改换二次积分的积分次序并且计算该积分原式=16计算二重积分，其中是由圆周所围成的闭区域.原式=1

7、7计算，其中是直线，以及曲线所围成的闭区域.=18. 计算二次定积分原式=19交换积分次序求.=20计算二重积分，其中.=21.计算, 其中D是由直线y=x、x=1及y=0围成的闭区域. 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: 0£x£1, 0£y£ x于是.22.设L是由曲线与直线所围成区域D边界正向一周，求 , , ， 由Green公式有=23.设曲面为抛物面，取上侧，计算补充平面取下侧，则与围成空间区域于是 24. 求微分方程的通解设，解得方程的通解为25. 求微分方程在初始条件，下的特解方程的特征方程为，特征根为.所以通解为由，故方程的特解为.2

8、6. 求微分方程满足初始条件的特解27.求微分方程在初始条件，下的特解方程的特征方程为特征根为.通解由，得特解.28求微分方程的通解.将视为自变量，相对应于及其导数而言，此为一阶线性非齐次微分方程，其中故 29.求微分方程的通解把方程改写为, 则 30将展开成的幂级数.，其中 ，；，31. 求级数的收敛域与和函数.由已知得级数收敛域为.设和函数，则显然.由，得于是，从而.32.设为单调增且有界的正数列，试证明级数收敛.因为单调增且有界的正数列，且有界.的部分和，所以部分和有界，从而正项级数收敛.33. 把函数在区间内展开成为的幂级数.，.34在区间内求级数的和函数.= 35.将函数，展开为的幂级数并给出收敛域 收敛域满足解出得 36 设c=asinx,acosy,bz,u=|c|2,计算div(c×gradu).u=c·c=a2sin2x+a2cos2y+b2z2. gradu=a2sin2x,a2sin2y,2b2z =2ab2zcosy+a2bzsin2y,a2bzsin2x+2ab2zsinx,a3sinxsin2ya3sin2xcosy div(c×gradu)=0. 37求微分方程满足初始条件的解：特征方程为特征根为通解为：由初始条件得原问题的解为