高压锅的销量的三种数学模型的研究

1、辽宁工程技术大学数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表学 期09-10学年1学期姓 名刘思奇 梁景龙 马宝强专 业涉外机械班 级07-2课程名称数学建模论文题目高压锅的销量评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师时 间08年 月 日备 注高压锅的销售量一、摘要本文通过对从1981到1993年高压锅在某地的销量的研究，分别建立指数增长模型、Logistic组织增长模型、Gompertz模型，通过线性回归，采用最小二乘法与三点微分法来确定参数系数，来研究高压锅销量的增长率的变化，以此来预测

2、未来该地区高压锅的销量的增长率的变化趋势。同时对三种不通模型的所得到的结果进行比较，来验证三种模型应用的范围。二、问题背景Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型是计量经济学等学科中的两个常用模型，可以用来拟合销售量的增长趋势。记Logistic增长曲线模型为，记Gompertz增长曲线模型为，这两个模型中L的经济意义都是销售量的上限。表中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台）。 高压锅的销售量（单位：万台）年份ty年份ty1981043.65198871238.7519821109.86198981560.0019832187.21199091824.291984331

3、2.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25表1 要求：（1）运用适当的方法，建立高压锅的销售量模型，并作出模型的分析与检验。（2） Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型吗？如果是可线性化模型，取L=3000，建立Logistic的线性回归模型。利用线性回归模型所得到的a和k的估计值和L=3000作为Logistic模型的拟合初值，对Logistic模型做非线性回归。（3） 拟合Gompertz模型。（4） 将几个模型作出比较与分析。三、模型假设由于表中的数据都是逐年增长的，所

4、以我们很容易想到建立指数增长模型，这其中我们假设高压锅销量的增长率为常数，且销量函数为连续函数。但是考虑到消费人群数量的限制，高压锅的销量不会无限增长，以此我们在第二次讨论中建立Logistic阻滞增长模型，其中我们依然假设销量函数为连续函数。在Gompertz模型中也是假设销量函数为连续函数来言进行研究。四、模型的建立与求解1 指数增长模型表中的数据都是逐年增长的，所以我们很容易想到建立指数增长模型，记今年的高压锅销量为,年后的销量为，年增长率为，则显然这个公式的基本条件是年增长率保持不变。1.1模型建立 记时刻时的高压锅销量为，由于是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将视为连续可

5、微函数。记时刻的人口为。假设高压锅的销量增长率为常数，即单位时间内的增量等于乘以。考虑到到时间内高压锅的增量，显然有 令，得到满足的微分方程： 由这方程很容易解出 式表示高压锅的销量将按指数规律随时间无限增长，为指数增长模型。1.2 参数估计 式的参数可用表1的数据估计。为了利用线性最小二乘法，将取对数，可得 以年的数据拟合式，用MATLAB软件通过表2的程序计算可得所 即 t=0:11;y=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89;z=log(y);p,s=p

6、olyfit(t,z,1);k=p(1),a=p(2)，y0=exp(a)表2将全部数据（）拟合式，得1.3 结果分析 将上述模型在MATLAB中与实际数据进行拟合后作图得图1、图2（+号是实际数据，曲线是计算结果）。可以看出，用这个模型基本上能够描述1990年以前的高压锅的销量增长，但是从此以后的，高压锅的销量增长明显变慢，这个模型就不再适合了。 图1图22. Logistic模型 一般来说，当开始的时候，高压锅的销量基数较小，增长较快，增长率较大；当高压锅的销量基数达到一定的数量后，增长就慢下来，即增长率减小。而且由于消费人群的数量不会有很大变化，高压锅的更新换代有事很慢的一件事，所以这些

7、因素都就阻滞高压锅销量的增长，所以我们就就采用Logistic模型，来改进我们的模型。2.1模型建立 阻滞作用主要体现在对高压锅销量的增长率的影响上，是得随高压锅销量基数的增大而下降。若将表示为销量的函数，则它应是减函数。于是方程写作 对的一个简单的假定是，设为的线性函数，即， 这里称为固有增长率，表示高压锅的销量基数很少时的增长率。为了确定系数的意义，引入所有人类所需要的高压锅的最大数量，称为高压锅的最大需求量。当时，高压锅的销量不再增长，即增长率，代入式为 式的另一种解释是，增长率与高压锅尚未普及的那部分的人的比例成正比，比例系数为固有增长率。将代入方程得 方程右端的因子体现了高压锅销量的

8、增长趋势，因子则体现了使用人数等因素对高压锅销量增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，高压锅的销量的增长是两个因子共同作用的结果。2.2参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数，我们将方程式表示为 记时刻的高压锅的销量为，则高压锅的销量的（相对）增长率为，表示每年高压锅的增长的比例。对于题目给出的数据，用数值微分的三点公式计算得结果为下表：年份198219831984198519861987198819891990199165.337754.166449.472339.761032.765427.658924.207918.767317.513713.9745

9、表3有端参数是线性的。我们用1982年至1991年的数据，用MATLAB软件通过，程序如下y=109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00;k1= 65.3377 54.1664 49.4723 39.7610 32.7654 27.6589 24.2079 18.7673 17.5137 13.9745;k2=k1./100;z=log(y);p,s=polyfit(y,k2,1);Y,detal=polyconf(p,y,s);p表4从而求出 ,从而，在时最大，可以看出上述结果的一致性。2

10、.3结果分析 用上面得到的参数代入式得： 将计算结果与时机数据作比较用MATLAB作图，程序如下t=0:12;y1=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71;y2=3000./(1+30.01.*exp(-0.4574.*t);plot(t,y1,'+b');hold onplot(t,y2,'r');xlabel('年份t')ylabel('销售量y')title('高压锅

11、阻滞增长模型')表5将上面得到的参数通过计算得出估计的高压锅销量与实际的高压锅销量数据作比较列表,得表6图3，如下所示：年份计算销量实际销量1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990199119920.0967 0.1500 0.2304 0.3485 0.5158 0.7411 1.0242 1.3507 1.6922 2.0146 2.2908 2.50850.0437 0.1099 0.1872 0.3127 0.4966 0.7076 0.9603 1.2388 1.5600 1.8243 2.1990 2.4389 表

12、6图3从图表中可以看出当在时曲线的斜率最大，即最大，也就是高压锅的销量的增长率最大，与实际情况也比价吻合。再从图表中的数据可以发现这个模型开始与实际数据有比较大的差距，但是从1984年以后的数据就都吻合的很好（除了个别差一点）。2.4模型检验 在估计组织增长模型的参数时没有用到1993年的实际销量数据，是为了用它做模型检验。我们用模型计算1993年的高压锅销量，与已知的实际数据（2737.71）作比较，老检验模型是否合适。与实际数据的误差约为1.6%，可以认为该模型是相当的满意的。2.5销量预测 将1993年的数据加进去重新估计参数,得,，然后利用此模型去预测1994年的高压锅的销量，即的值，

13、得到。对Logistic模型进行非线性回归，在MATLAB中输出结果如图4，在画面中绿色曲线为拟合曲线，它两侧的红线是的置信区间。图43 Gompertz模型 我们接下来来建立Gompertz模型，3.1建立模型 记时刻时的高压锅销量为，由于是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将视为连续可微函数。 3.2参数估计 为了利用简单的最小二乘法，对式两边取对数得 再对式再两边取对数得Gompertz的线性化模型 在MATLAB中通过如表7中的程序t=1:13;y1=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.00

14、 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71;y2=y1./3000;w=log(1./log(1./y2);p,s=polyfit(t,w,1);k=-p(1),a=p(2),b=-exp(a)表7求得 ，所以高压锅销量的Gompertz模型为 3.3结果分析 在MATLAB中作出图像如图5所示图5从图5中可以看出该模型与实际数据在起初出入较大，后来吻合的还算不错。五、模型的比较 我们通过不通的方法对高压锅的销量的增长这一问题建立起来了三个不通的模型，下来的问题是我们对这三个模型进行一下比较，首先在MATLAB中将三个模型的曲线画在同一起，如图6。其中蓝色的曲线表示高压锅

15、销量的指数增长模型，从图中可以看出在前九年也就是1981年至1990年的时间段内，与实际的销量是比较吻合的。但是从1990年以后的数据就与实际有很大差距，并且可以看出随着时间的推移，差距就会越来越大。所以用此模型来预测高压锅的销量所得出的结果与实际数据可能会存在很大差距。绿色的曲线表示的是Logistic组织增长模型，在这个例子中除了中间有几个点不大好之外，开始与最后都吻合的很好，尤其是最后的走向与实际销量的趋势吻合的十分完美。所以用次模型来预测高压锅的销量所得结果会较为理想。蓝绿色的曲线表示的是Gompertz增长模型，在此例中该模型中间段的数据与实际销量相差较大，但是从总体的曲线的走势来说，还是与实际相符合的，所以用此模型所作的预测还是具有一定的可信度。通过上面的比较我们发现在此例中，Logistic模型是其中最优的一个。图6六、模型的应用与推广本文研究的是某地区的高压锅的销量的增长率问题，文中建立的模型